Teorema di Kerin-Milman

Il teorema di Kerin-Milman è un teorema, dimostrato da Mark Kerin e David Milman nel 1940, che generalizza a certi spazi vettoriali topologici un risultato geometrico relativo a insiemi convessi dichiarati da Hermann Minkowski in dimensione finita (e spesso erroneamente si chiamava "Kerin-Milman teorema").

Si afferma una forma particolarmente semplificata del teorema: qualsiasi poligono convesso è l'inviluppo convesso dell'insieme dei suoi vertici. Questo vale anche per un politopo convesso.

Concetto di "punto estremo"

Sia un convesso e un punto di . Diciamo che è un punto estremo di quando è ancora convesso. Ciò equivale a dire che, con , l'uguaglianza implica . $VS$ $vs$ $VS$ $vs$ $VS$ ${\ displaystyle C \ setminus \ {c \}}$ ${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2} \ in C}$ ${\ displaystyle c = {\ frac {c_ {1} + c_ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle c_ {1} = c_ {2} = c}$

Enunciato in dimensione finita

Teorema - Qualsiasi convesso compatto di uno spazio affine di dimensione finita è l' inviluppo convesso dell'insieme dei suoi punti finali.

La dimostrazione non è molto lunga, lo strumento essenziale è il teorema di esistenza di un iperpiano di supporto in qualsiasi punto del confine di un convesso.

Dimostrazione

La dimostrazione è una ricorrenza sulla dimensione del convesso. Il risultato è ovvio per un singleton; supponiamo ora che il risultato sia vero per tutti i convessi di dimensione strettamente minore di un intero fisso , e sia un convesso di dimensione . $K$ $VS$ $K$

Anche se significa sostituire lo spazio ambientale con l' involucro affine di , possiamo supporre che sia uno spazio affine la cui dimensione è anche . $VS$ $K$

Prendiamo ora un punto di e mostrare che è nella busta convesso dei punti estremali. Per fare ciò, tracciamo una linea che passa attraverso . L'insieme è quindi un convesso di , compatto per l'assunzione di compattezza fatta su . È quindi della forma , dove . $m$ $VS$ $D$ $m$ $C \ cap D$ $D$ $VS$ $[a, b]$ ${\ displaystyle m \ in [a, b]}$

Ora poiché sono aderenti al complemento di , sono quindi punti di confine di questo convesso. Ci sono quindi iperpiani di supporto e in questi punti. Introduciamo il convesso e . $a$ $b$ $VS$ ${\ displaystyle H_ {a}}$ ${\ displaystyle H_ {b}}$ ${\ displaystyle C_ {a} = C \ cap H_ {a}}$ ${\ displaystyle C_ {b} = C \ cap H_ {b}}$

Notiamo quindi che ogni punto estremo di (rep. ) È ancora un punto estremo di . Sia infatti un punto così estremo di , quindi e due punti di . Se almeno uno dei due punti e non è in , dato il carattere separatore di questo iperpiano, tutto il segmento aperto rimane in un unico semispazio aperto delimitato da e quindi evita ; se e sono entrambi accesi , è la cui convessità assicura che evita . In tutti i casi il segmento è quindi abbastanza intero ed è quindi estremale in $It}$ $C_ {b}$ $VS$ $vs$ $It}$ $X$ $y$ ${\ displaystyle C \ setminus \ {c \}}$ $X$ $y$ ${\ displaystyle H_ {a}}$ ${\ displaystyle] x, y [}$ ${\ displaystyle H_ {a}}$ $vs$ $X$ $y$ ${\ displaystyle H_ {a}}$ ${\ displaystyle C_ {a} \ setminus \ {c \}}$ $[x, y]$ $vs$ $[x, y]$ ${\ displaystyle C \ setminus \ {c \}}$ $vs$ ${\ displaystyle C.}$

Inoltre, poiché e sono di dimensione , i due convessi e sono di dimensione strettamente minore di . Possiamo quindi applicare loro l'ipotesi di induzione. Questo mostra che (risp. ) È una combinazione lineare di punti finali di (risp. ), Quindi di punti finali di . Fintanto come quindi appartiene alla inviluppo convesso di questi punti finali, poi a sua volta poiché è sul segmento . ${\ displaystyle H_ {a}}$ ${\ displaystyle H_ {b}}$ $k-1$ $It}$ $C_ {b}$ $K$ $a$ $b$ $It}$ $C_ {b}$ $VS$ $a$ $b$ $m$ $[a, b]$

Generalizzazione in dimensione infinita

Teorema - Qualsiasi convesso compatto di uno spazio convesso localmente separato è l' inviluppo convesso-chiuso dell'insieme dei suoi punti finali.

Il "reciproco (parziale) di Milman" assicura che questa rappresentazione di un K convesso compatto come inviluppo convesso chiuso di una parte di K sia, in un certo senso, ottimale: l' adesione di tale parte contiene i punti estremi di K .

Note e riferimenti

(in) Mr. Kerin e D. Milman , " estremi Sulla punta degli insiemi convessi Regolarmente " , Studia Mathematica , vol. 9,1940, p. 133-138
(in) David Milman , " Caratteristiche del punto estremo degli insiemi convessi regolarmente " , Doklady Akad. Nauk SSSR (NS) , vol. 57,1947, p. 119-122.

Jean-Baptiste Hiriart-Urruty e Claude Lemaréchal, Fondamenti di analisi convessa , coll. "Grundlehren Text Editions", Springer, 2001 ( ISBN 3540422056 ) , p. 41-42, 57 e 246

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