Teorema di Radon-Nikodym-Lebesgue

Il teorema Radon - Nikodym - Lebesgue è un teorema di analisi , una branca della matematica che consiste nel calcolo e nei campi correlati.

Definizioni

Definizioni - Sia $ν$ una misura positiva su e sia $ρ$ , $ρ$ misure positive o complesse (en) su . $(X, {\ mathcal A})$ $(X, {\ mathcal A})$

Diciamo che $ρ$ è assolutamente continuo rispetto a $ν$ , e indichiamo con $ρ ≪ ν$ , se per tutto tale che $ν$ $($ $A$ $) = 0$ , abbiamo anche $ρ$ $($ $A$ $) = 0$ . $A \ in {\ mathcal A}$
Diciamo che $ρ$ è portato da (o concentrato su $E$ ) se per tutti abbiamo $ρ$ $($ $A$ $) =$ $ρ$ $($ $A$ $\cap$ $E$ $)$ . (Questo è equivalente all'assunzione: per ogni $ρ$ $($ $A$ $\$ $E$ $) = 0.$ ) ${\ displaystyle E \ in {\ mathcal {A}}}$ $A \ in {\ mathcal A}$ ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}},}$
Diciamo che $ρ$ e $ρ$ sono mutuamente singolari (o estranei ), e indichiamo con $ρ ⊥$ $ρ$ , se esiste tale che $ρ$ sia portato da $E$ e $ρ$ sia portato da $E$ $c$ . ${\ displaystyle E \ in {\ mathcal {A}}}$

Teorema di Radon-Nikodym-Lebesgue

Radon-Nikodym-Lebesgue teorema è un risultato di teoria della misura , tuttavia, una manifestazione che coinvolge spazi di Hilbert è stato dato dal matematico John von Neumann nei primi anni del XX ° secolo. Si legge come segue:

Teorema di Radon-Nikodym-Lebesgue - Sia $ν$ una misura σ-finita positiva su e $μ$ una misura σ-finita positiva (risp. Reale, risp. Complessa) su . $(X, {\ mathcal A})$ $(X, {\ mathcal A})$

Esiste una coppia unica ( μ 1 , μ 2 ) di misure positive σ-finite (rispettivamente reali, o complesse) come:
- ${\ displaystyle \ mu = \ mu _ {1} + \ mu _ {2},}$
- ${\ displaystyle \ mu _ {1} \ ll \ nu,}$
- ${\ displaystyle \ mu _ {2} \ perp \ nu.}$

Questa decomposizione è chiamata decomposizione di Lebesgue (en) di

μ

rispetto a

ν

Esiste un'unica (con uguaglianza $ν$ - quasi ovunque ) funzione misurabile positiva $h$ (risp. $Ν$ - reale integrabile, risp. $Ν$ - complesso integrabile) tale che per tutti abbiamo: $A \ in {\ mathcal A}$ ${\ displaystyle \ mu _ {1} (A) = \ int _ {A} h ~ \ mathrm {d} \ nu = \ int _ {X} 1_ {A} h ~ \ mathrm {d} \ nu.}$ Questa funzione $h è$ chiamata derivata Radon-Nikodym di $μ$ rispetto a $ν$ .

Densità di una misura

Definizione - Sia $ν$ una misura σ-finita positiva su e sia $ρ$ una misura σ-finita positiva (risp. Reale, risp. Complessa) su Diciamo che $ρ$ ha una densità $h$ rispetto a $ν$ se $h$ è un misurabile positivo funzione (risp. $ν$ -real integrabile, risp. $ν$ -complesso integrabile), tale che per tutto abbiamo: $(X, {\ mathcal A})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}).}$ $A \ in {\ mathcal A}$

{\ displaystyle \ rho (A) = \ int _ {A} h ~ \ mathrm {d} \ nu = \ int _ {X} 1_ {A} \, h ~ \ mathrm {d} \ nu.}

Notiamo

{\ displaystyle h = {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} \ nu}}.}

Come conseguenza del teorema di Radon-Nikodym, abbiamo la seguente proprietà:

Proposizione - Sia $ν$ una misura σ-finita positiva su e $μ$ una misura σ-finita positiva (risp. Reale, risp. Complessa) su Esiste l'equivalenza tra: $(X, {\ mathcal A})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}).}$

${\ displaystyle \ mu \ ll \ nu,}$
$μ$ ha una densità rispetto a $ν$ .

Dimostrazione

Se allora, chiaramente, è una decomposizione di $μ che$ soddisfa il teorema di Radon-Nikodym allora, in virtù dell'ultima parte del teorema, $μ$ ha una densità rispetto a $ν$ . Viceversa, sia $h$ la densità di $μ$ rispetto a $ν$ . sì ${\ displaystyle \ mu \ ll \ nu}$ ${\ displaystyle \ mu = \ mu +0}$

{\ displaystyle \ nu (A) = \ int _ {X} 1_ {A} ~ \ mathrm {d} \ nu = 0,}

allora è zero $ν$ -quasi ovunque. Ne consegue che è zero $ν anche$ quasi ovunque, quindi $1_ {A}$ ${\ displaystyle 1_ {A} \, h}$

{\ displaystyle \ mu (A) = \ int _ {X} 1_ {A} \, h ~ \ mathrm {d} \ nu = 0.}

L'ipotesi della σ-finitudine è importante: rispetto alla misura del conteggio , una misura è sempre assolutamente continua ma quella di Lebesgue su ℝ (ad esempio) non ha densità.

Densità di probabilità di un vettore casuale

Promemoria -

Chiamiamo densità di probabilità di una variabile casuale $X$ con valori in ℝ d di una funzione misurabile $f$ , tali che per ogni parte boreliana $A$ ⊂ ℝ d : ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (X \ in A) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ 1_ {A} (u) \, f (u) ~ \ mathrm {d} u = \ int _ {A} \ f (u) ~ \ mathrm {d} u.}$
La legge di probabilità di una variabile casuale con valori in ℝ d è la misura di probabilità definita, per ogni parte boreliana $A$ ⊂ ℝ d , da: $\ mathbb {P} _X$ $X$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X} (A) = \ mathbb {P} (X \ in A).}$
Se d = 1, $X$ è chiamata variabile casuale reale o var

In considerazione delle definizioni, il linguaggio probabilistico differisce leggermente dal linguaggio della teoria della misurazione. Esiste un'equivalenza tra le tre affermazioni:

Una variabile casuale $Z$ con valore in ℝ d ha una densità di probabilità.
La misura ha una densità rispetto alla misura di Lebesgue su ℝ d . ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {Z}}$
La misura è assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue su ℝ d . ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {Z}}$

L'ultimo punto può essere riscritto, in linguaggio probabilistico.

Criterio - Una variabile casuale $Z$ con valori in ℝ d ha una densità di probabilità se e solo se, per ogni Boreliano $A$ di ℝ d la cui misura di Lebesgue è zero, abbiamo:

{\ mathbb {P}} \ left (Z \ in A \ right) = 0.

Questo criterio è usato raramente nella pratica per mostrare che $Z$ ha una densità, ma è d'altra parte utile per mostrare che alcune probabilità sono zero. Ad esempio, se il vettore casuale $Z = ( X , Y )$ ha densità, allora:

${\ displaystyle \ mathbb {P} \ sinistra (X = Y \ destra) = 0,}$
${\ displaystyle \ mathbb {P} \ sinistra (X ^ {2} + Y ^ {2} = 1 \ destra) = 0,}$

perché la misura di Lebesgue (in altre parole, l'area) della prima bisettrice (risp. del cerchio unitario) è zero.

Più in generale, essendo zero la misura di Lebesgue del grafico di una funzione misurabile φ , ne consegue che:

${\ Displaystyle \ mathbb {P} \ sinistra (Y = \ varphi (X) \ destra) = 0.}$

Allo stesso modo, ci sono molti esempi in cui, poiché l'insieme ha una misura di Lebesgue pari a zero, possiamo concludere che: ${\ displaystyle \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mid \ psi (x, y) = 0 \ right \}}$

${\ displaystyle \ mathbb {P} \ sinistra (\ psi (X, Y) = 0 \ destra) = 0.}$

Il criterio Radon-Nikodym può essere utilizzato anche per dimostrare che un vettore casuale non ha densità, ad esempio se:

Z = \ sinistra (\ cos \ Theta, \ sin \ Theta \ destra),

dove $Θ$ denota una variabile casuale secondo la legge uniforme su $[0, 2π]$ , allora $Z$ non ha una densità perché:

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sinistra (X ^ {2} + Y ^ {2} -1 = 0 \ destra) = 1.}

Nota - Nel caso di d = 1, una variabile casuale $Z$ con valori in ℝ ha una densità di probabilità se e solo se la sua funzione di distribuzione è localmente assolutamente continua.

Valutazione e riferimento

Si veda ad esempio Walter Rudin , reale e analisi complesse [ dettaglio di edizioni ] per ulteriori dettagli.

Bibliografia

(en) Leo Egghe, Stopping Time Techniques for Analysts and Probabilists , coll. "London Mathematical Society Lecture Note Series",1984, 351 p. ( ISBN 978-0-521-31715-3 , leggi online )
(en) Gerald Folland (en) , Analisi reale: tecniche moderne e loro applicazioni , John Wiley & Sons ,2013, 2 ° ed. ( leggi online )
(en) J. von Neumann, " Sugli anelli degli operatori, III " , Ann. Matematica. , vol. 41, n o 1,1940, p. 94-161 ( leggi in linea ) (cfr. p. 127-130)
Otton Nikodym, " Su una generalizzazione degli integrali di MJ Radon ", Fondo. Albero. , vol. 15,1930, p. 131-179 ( zbMATH 56.0922.02 , leggi in linea )
(de) J. Radon, " Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen " , Sitz. Kais. Akad. Wiss. Vienna , matematica-Naturwiss. Kl. IIa, vol. 122,1913, p. 1295-1438