In matematica , in particolare in geometria , il teorema di standardizzazione di Poincaré dice che ogni area ammette una metrica Riemanniana di curvatura costante. Possiamo considerare che il teorema di standardizzazione di Riemann , che sostiene che qualsiasi superficie di Riemann semplicemente connessa è biiezione conforme al piano, la sfera o l'unità disco, è un caso speciale, e la congettura di geometrizzazione di Thurston , dimostrata nel 2004 da Grigori Perelman ne è una generalizzazione.
Nella sua forma più generale, il teorema di uniformazione di Poincaré afferma che qualsiasi superficie può essere ridotta a una superficie a curvatura costante, o, più precisamente, che:
Teorema - Qualsiasi varietà Riemanniana di dimensione 2 è in biiezione conforme con una varietà Riemanniana di curvatura Gaussiana costante .
Questo risultato fu gradualmente ottenuto dai lavori di Felix Klein intorno al 1880, poi quelli di Paul Koebe e Henri Poincaré intorno al 1900, prima che Poincaré ne desse una dimostrazione generale nel 1907, nel suo articolo sulla standardizzazione delle funzioni analitiche; questo è il motivo per cui il teorema è talvolta noto come teorema di uniformizzazione di Klein-Poincaré.
Il teorema di Poincaré permette la seguente classificazione delle superfici: ogni superficie è quoziente di una delle seguenti tre superfici per un sottogruppo discreto del gruppo di isometrie di questa superficie:
Il primo caso corrisponde alle superfici di caratteristica positiva di Eulero : topologicamente è la sfera e il piano proiettivo reale (il piano proiettivo è il quoziente della sfera per il gruppo di due elementi formato da identità e simmetria centrale); diciamo che le metriche corrispondenti sono ellittiche .
Il secondo caso corrisponde alle seguenti superfici: il piano euclideo , il cilindro , il nastro di Möbius , il toro e la bottiglia di Klein (il toro, ad esempio, corrisponde al quoziente del piano dal gruppo generato da due traslazioni; allo stesso modo, il nastro di Möbius è quoziente del piano per il gruppo generato dal prodotto di una traslazione e una simmetria di assi paralleli a tale traslazione). Per le superfici compatte (topologicamente equivalenti alle ultime due), si tratta di quelle di caratteristica nulla di Eulero. Diciamo che le metriche corrispondenti sono paraboliche , o piatte .
Il terzo caso corrisponde a superfici con caratteristica di Eulero negativa: infatti in questo caso lo sono quasi tutte le superfici, e si dice che abbiano una metrica iperbolica .
Per le superfici compatte, questa classificazione è coerente con il teorema di Gauss-Bonnet , che implica che se la curvatura è costante, il segno di questa curvatura è lo stesso di quello della caratteristica di Eulero.
Infine, questa classificazione è la stessa di quella determinata dal valore della dimensione di Kodaira (in) della corrispondente curva algebrica complessa.
Passando allo studio delle superfici di Riemann , è possibile dedurre una classificazione completa: infatti, su una data superficie orientata, una metrica riemanniana induce naturalmente una struttura di varietà pressoché complessa come segue: se v è un vettore tangente, definiamo J ( v ) come vettore della stessa norma, ortogonale a v , e tale che la base ( v , J ( v )) del piano tangente sia orientata positivamente. Poiché qualsiasi struttura quasi complessa su una superficie è integrabile, questo trasforma la superficie orientata in una superficie di Riemann. Quindi, la classificazione precedente è equivalente a una classificazione delle superfici di Riemann: ogni superficie di Riemann è quoziente della sua copertura universale per l'azione libera, propria e olomorfa di un sottogruppo discreto, e questa copertura universale è essa stessa conforme all'equivalente di una delle seguenti tre domini canonici :
Ciò consente di classificare tutte le superfici di Riemann come ellittiche, paraboliche o iperboliche a seconda che il loro rivestimento universale sia (rispettivamente) la sfera, il piano o il disco unitario.
In particolare, si deduce il teorema di uniformizzazione di Riemann (ottenuto storicamente indipendentemente dal teorema della mappatura conforme ):
Teorema - Qualsiasi superficie di Riemann semplicemente connessa è coerente con uno (e solo uno) dei tre domini canonici : l'unità motrice aperta, il piano complesso e la sfera di Riemann
I grafici sottostanti corrispondono alle standardizzazioni dei complementi dell'insieme di Mandelbrot e del segmento ( insieme di Julia corrispondente a ).
In questi casi è possibile costruire esplicitamente le biiezioni olomorfe la cui esistenza è affermata dal teorema di Riemann: maggiori dettagli si possono trovare nell'articolo Dinamica olomorfa .
Introducendo il flusso di Ricci , Richard S. Hamilton dimostrò che, su una superficie compatta, questo flusso uniforma la metrica, cioè converge verso una metrica di curvatura costante. Tuttavia, la sua dimostrazione era basata sul teorema di standardizzazione. Nel 2006 è stata scoperta una prova indipendente di questa convergenza, che consente di dimostrare il teorema di uniformazione in questo modo.
Nella dimensione 3, ci sono anche otto geometrie, chiamate geometrie di Thurston . Puoi mettere una di queste geometrie su qualsiasi 3-varietà , ma la congettura di geometrizzazione di Thurston dice che qualsiasi 3-varietà chiusa può essere tagliata in pezzi géométrisables; questa congettura è stata dimostrata nel 2004 da Grigori Perelman .