Nastro di Möbius

In topologia , il nastro di Möbius (chiamato anche nastro di Möbius o anello di Möbius ) è una superficie compatta il cui bordo è omeomorfo a un cerchio . In altre parole, ha un solo lato a differenza di un nastro convenzionale che ne ha due. La superficie ha la particolarità di essere regolata e non orientabile . Fu descritto indipendentemente nel 1858 dai matematici August Ferdinand Möbius (1790-1868) e Johann Benedict Listing (1808-1882). Il nome del primo è stato mantenuto grazie ad una tesi presentata all'Accademia delle Scienze di Parigi . Troviamo anche i nomi di “banda”, “anello” o “cintura” di Möbius, e talvolta scriviamo “Mœbius” o “Moebius”.

È facile visualizzare il nastro di Möbius nello spazio: un semplice modello è realizzato attorcigliando di mezzo giro una lunga striscia di carta , quindi incollando le due estremità insieme, creando un nastro infinito n' che non ha né interno né esterno.

Definizione per torsione di una banda nello spazio

Piano di montaggio del nastro
Fare il nastro.
Schema di montaggio: incollare nuovamente le due frecce rispettando il verso.

Nastro Möbius classico

Il nastro di Möbius può essere generato da un segmento girevole il cui centro descrive un cerchio fisso. Un corrispondente impostazione è

{\ begin {casi} x = (1 + {\ frac {t} {2}} \ cos {\ frac {v} {2}}) \ cos v \\ y = (1 + {\ frac {t} {2}} \ cos {\ frac {v} {2}}) \ sin v \\ z = {\ frac {t} {2}} \ sin {\ frac {v} {2}} \ end {casi }} \ qquad {\ begin {matrice} -1 \ leq t \ leq 1 \\ 0 <v \ leq 2 \ pi \ end {matrice}}

o l'insieme delle soluzioni della seguente equazione:

{\ displaystyle x ^ {2} y + yz ^ {2} + y ^ {3} -y-2xz-2x ^ {2} z-2y ^ {2} z = 0.}

Le curve v = v 0 , t variando da sole, sono infatti segmenti, che collegano a velocità uniforme il punto v = v 0 , t = –1 e il punto v = v 0 , t = 1. Questo segmento è quindi di lunghezza 2 .

La curva t = 0 è un cerchio di diametro 2 nel piano orizzontale; rappresenta la traiettoria del centro dei segmenti. L'angolo che il segmento forma con la direzione orizzontale è v 0 . Quando il centro ha compiuto un giro completo sul cerchio orizzontale (aggiungendo π alla variabile v ), il segmento ha compiuto solo un'inversione a U. Ciò provoca la connessione ad esempio del punto t = 1, v = π con t = –1, v = 0.

Il bordo del nastro è dato dalla curva t = 1 o t = –1. Ma è la stessa curva: il bordo del nastro di Möbius è in un unico pezzo ( collegato ).

Possiamo anche vedere l'animazione sopra in visione stereoscopica :

Animazione stereoscopica incrociata:
Animazione stereoscopica parallela dello stesso nastro:

Altre figure ottenute per torsione

Varianti del nastro convenzionale possono essere ottenute sottoponendo il nastro di carta ad un numero dispari di semigiri avanti o indietro. Tutto quello che devi fare è regolare l'impostazione precedente:

{\ begin {casi} x = (2 + t \ cos kv) \ cos 2v \\ y = (2 + t \ cos kv) \ sin 2v \\ z = t \ sin kv \ end {casi}} \ qquad {\ begin {matrice} -1 \ leq t \ leq 1 \\ 0 <v \ leq \ pi \ end {matrice}}

con k intero relativo dispari .

Le cifre ottenute per k e -k sono enantiomorfe , cioè immagini speculari l'una dell'altra.

Se si accettano valori pari di k si ottengono nastri a due facce, più o meno attorcigliati.

Confronto tra diversi nastri

Possiamo essere interessati alla curva che forma il bordo di questi nastri. Ha un nodo diverso per ogni valore di k . La torsione viene calcolata ad esempio in proiezione (vista dall'alto), contando il numero di volte in cui la curva passa su se stessa. Non si può deformare continuamente (vale a dire per omotopia ) un tipo di nastro in un altro nello spazio tridimensionale.

Tuttavia, i diversi nastri sono omeomorfi al classico nastro di Möbius, vale a dire che non vi è alcuna differenza intrinseca tra loro. Questo è legato al modo in cui sono immersi nello spazio tridimensionale.

Anche il nastro di Möbius a mezzo giro può essere visto come parte della superficie di Möbius.

Oggetti derivati

Se incolliamo due nastri Möbius lungo il bordo, otteniamo una bottiglia di Klein . Questo può essere ottenuto solo strappando il nastro (o usando la quarta dimensione), perché la bottiglia di Klein non si immerge nel solito spazio.

Se incolliamo un disco ad un nastro di Möbius lungo il loro bordo comune, otteniamo un vero piano proiettivo ; di nuovo, non è possibile farlo fisicamente senza strappare il nastro.

Se proviamo a tagliarlo in tre, cioè seguendo un asse un terzo della larghezza di uno dei bordi, otteniamo due nastri intrecciati: un nastro di Möbius di un terzo di larghezza, corrispondente al centro della parte iniziale nastro e un nastro a due lati largo un terzo, corrispondente al bordo del nastro di partenza, di lunghezza doppia e attorcigliato di un giro completo.

Abbiamo visto che se tagliamo un nastro di Möbius lungo il suo asse mediano, otteniamo un nastro biadesivo, ritorto e di doppia lunghezza. Se tagliamo questo nastro nel senso della lunghezza, otteniamo due anelli distinti, attorcigliati e intrecciati.

Infine, se partiamo con un nastro di Möbius ottenuto da tre mezzi giri prima dell'incollaggio (come quello nel logo qui sotto ), e lo tagliamo lungo l'asse mediano, otteniamo un nastro unico, ma legato (a nodo trifoglio ).

Scelta della lunghezza del nastro

Il nastro Möbius può essere prodotto con un nastro flessibile di un foglio di carta a 70 g/m 2 per esempio. Per ottenere un nastro senza piegature brusche è necessario che, per una larghezza del nastro pari a 1, la lunghezza sia maggiore di 1,732 - vale a dire la radice quadrata di 3. Si può andare verso lunghezze minori fino a raggiungere incontrano, con un'inversione elicoidale, i lati opposti di un quadrato, ma le curve saranno brusche.

Utilità del nastro

Mentre Mobius può apparire solo come una curiosità matematica o di una costruzione artistica, tale disposizione è stata spesso utilizzata nel mondo industriale del XIX ° secolo, quando le macchine operavano da cinture. Le cinghie sono state incrociate all'incrocio per usurare "entrambi i lati" della cintura allo stesso tempo. Infatti, la descrizione del nastro Möbius mostrerà che la cintura aveva un solo lato.

Definizione per identificazione astratta

La costruzione di cui sopra (incollando un nastro dopo averlo attorcigliato di mezzo giro) è formalizzata dicendo che il nastro di Möbius è la mappatura del toro dell'omeomorfismo [–1, 1] → [–1, 1 ], x ↦ - x , cioè lo spazio prodotto [–1, 1] × [0, 1] quoziente dalla relazione di equivalenza ( x , 1) ∼ (- x , 0). Otteniamo così un fibrato [–1, 1] sul cerchio S 1 .

Per confronto, la striscia “normale” (tronco di un cilindro) corrisponde all'omeomorfismo identitario di [–1, 1] e quindi al fibrato banale , il prodotto [–1, 1] × S 1 .

Ciò consente di vedere matematicamente cosa succede quando si taglia il nastro: se p : [–1, 1] × [0, 1] → ([–1, 1] × [0, 1]) / ∼ indica l'applicazione di passaggio al quoziente, p ({0} × [0, 1]) è un cerchio il cui complemento è connesso .

Possiamo anche realizzare il nastro di Möbius come complemento di un disco aperto nel piano proiettivo reale .

Rappresentazioni artistiche

Il nastro di Möbius compare in molte produzioni artistiche.

Logo

Una versione schematica del nastro di Möbius è stata utilizzata come simbolo per il riciclaggio sin dalla prima Giornata della Terra nel 1970 . Il ciclo Möbius indica che un prodotto può essere riciclato o che è stato realizzato con materiali riciclati. Si tratta infatti di un nastro con tre mezzi giri.
Una versione del nastro Möbius viene utilizzata come logo per Visual Studio , lo strumento di sviluppo IT di Microsoft .
È diventato anche il logo di Google Drive , il servizio di archiviazione dati online di Google .
È anche il simbolo del gruppo K-pop Infinite .
Il logo del Léman Express , la rete espressa regionale della regione Franco-Valdo-Ginevra , ha come logo questo nastro, che qui rappresenta il Lago di Ginevra .
Il logo del marchio automobilistico Renault è ispirato a un nastro Möbius.

Film e serie

Moebius , film di fantascienza argentino di Gustavo Mosquera R., uscito nel 1996.
Thru the Moebius Strip , un film interamente digitale di 80 minuti diretto da Frank Foster presso Global Digital Productions (Hong Kong). Il film è uscito negli Stati Uniti nel 2005 .
Il nastro di Möbius è stato utilizzato anche nell'episodio La poltrona dell'oblio del cartone animato Ulisse 31 dove i figli del protagonista si sono trovati condannati a un'interminabile camminata sul nastro.
Moebius è anche il nome del doppio episodio finale della stagione 8 di Stargate SG-1 .
Lost Highway di David Lynch è spesso paragonato a un nastro di Möbius. All'inizio della trama, Fred Madison, dall'interno della sua casa, riceve una chiamata interfono. E alla fine è lui stesso, che da fuori casa, parla al citofono, idem per Timecrimes .
Nella serie Awake , la mente del detective Michael Britten è considerata un nastro di Möbius da uno degli psicoanalisti.
Nel 2013 , un film di spionaggio diretto da Eric Rochant ( Les Patriotes ), con Jean Dujardin e Cécile de France , è stato intitolato Möbius .
In un episodio di Futurama , D r Farnsworth fatto una corsa contro Leela su una pista sagomata-Mobius.
Nel 22 ° capitolo dell'universo cinematografico Marvel , Avengers: Endgame , che affronta la questione del viaggio nel tempo . Avendo capito che quest'ultimo si comporta come un loop, Tony Stark usa il nastro di Moebius come una figura matematica per risolvere il problema dell'esplorazione del tempo.
Nel 21 ° episodio di Sakura, carta Hunter, vediamo la scheda di "The Magnifying Glass" rappresentato da un nastro di Moebius che le consente di modificare lo spazio desiderato in un circuito chiuso e infinito.

Videogiochi

"Mobius 1" è il nome in codice (nome in codice ) del pilota controllato nel gioco Ace Combat 4: Distant Thunder . Il suo distintivo personale è un nastro Möbius.
"Mobius Ring" è una gara dei giochi F-Zero AX e F-Zero GX rilasciati in Arcade e su Gamecube .
"Labirinto di Möbius" è uno degli otto luoghi nascosti nel gioco di ruolo Light of Oblivion pubblicato per PlayStation e PC .
"Möbius" era quello che molti pensavano fosse il nome mondiale di Sonic in Europa e negli Stati Uniti prima che il gioco Sonic Adventure fosse rilasciato nel 1999. In realtà si trattava di un errore di traduzione durante un'intervista con Yuji Naka (co-creatore di Sonic) che ha parlato appunto di un motivo della decorazione a spirale, che descrisse come "nastro di Möbius". L'errore è stato così ben ripreso che troveremo il nome di Möbius che designa il pianeta dove vive Sonic nei fumetti di Archie.
In Sonic Riders: Zero Gravity , la gara finale ha la forma di un nastro di Möbius e porta il suo nome inglese, Mobius Strip.
In STALKER: Clear Sky su PC , l'eroe allude al nastro di Möbius per illustrare l'effetto di una "bolla anormale" che riporta instancabilmente chi vi entra al punto di partenza.
In StarCraft 2 troviamo la "Fondazione Möbius", un misterioso gruppo alla ricerca di artefatti Protoss.
Nella serie Legacy of Kain , Moëbius è il custode del tempo.
In Mario Kart 8 su Wii U , il circuito di Mario Circuit ha la forma di un nastro di Möbius, così come l'"8" nel logo del gioco.
In Makoto Mobius, il personaggio principale usa un nastro di Möbius per tornare indietro nel tempo.

Giochi di carte collezionabili

In Magic: The Gathering, c'è una carta chiamata "Nastro di Boesium" ( anagramma di Moebius) che ti permette di riutilizzare alcuni incantesimi dal cimitero. La sua illustrazione rappresenta un nastro metallico su un solo lato.

romanzi

Nel 2010: Odyssey Two , l'aberrazione comportamentale del computer HAL 9000 è denominata " Hofstadter -Möbius loop ".
In Hyperion di Dan Simmons , il Cubo Mobius contiene l'energia prodotta dagli erg.
In L'Anneau de Moebius , 2008, di Franck Thilliez , l'anello è in realtà il contorno della storia... (Bisogna leggerlo per capire.)
In Angeli e demoni , di Dan Brown , al paragrafo 31.
Nella serie Necroscope di Brian Lumley , Harry Keogh, l'eroe, mostra frequentemente Mobius per aprire una porta per navigare nello spazio-tempo.
In Trap on Zarkass , 1958, di Stéfan Wul, l'autore basa l'accesso al sottospazio attraverso tre bande di Möbius annidate insieme.
In Cités de Mémoire , 2002 da Hervé Le Tellier , la città di Suibeom ( palindromo di "Moebius") sembra avere la struttura di un nastro di Moebius.

Sculture e grafiche

Max Bill ha scolpito diversi nastri Möbius, uno dei quali in particolare è esposto al Middelheim Open Air Sculpture Museum , nel parco omonimo ad Anversa , in Belgio. Puoi anche vedere uno dei suoi Endless Rings in granito al Centre Pompidou di Parigi .
Wim Delvoye , artista contemporaneo belga, ha esposto al museo del Louvre una serie di crocifissi in metallo contorto negli appartamenti di Napoleone III.
Maurits Cornelis Escher , incisore e disegnatore olandese (1898-1972), fece numerosi studi sul nastro di Möbius.
Per il 20° anniversario dell'etichetta discografica Warp Records , Studio YES ha creato una serie di immagini con nastri Möbius con il fotografo Dan Holdsworth. Alcuni di loro sono stati usati come illustrazioni per le compilation .
Alice Pilastre ha creato un'opera chiamata Mobius Gymnopedy , costituita da un carillon in cui il nastro di metallo che porta lo spartito ha la forma del nastro di Mobius. Questo nastro contiene le prime note delle prime Gymnopédies di Erik Satie . Quando si scorre il nastro, si sentono queste note, poi le stesse con un'inversione di tono .
Un enorme anello di Möbius è rappresentato sotto forma di scultura a Lille , nel distretto di Wazemmes . Questa scultura, realizzata da Marco Slinckaert, occupa il centro di una rotonda davanti al CPAM . È anche chiamato serpente per la sua grande somiglianza. Un'altra scultura si trova all'Università di Rennes I , nel campus di Beaulieu .
Keizo Ushio scolpisce nastri di Möbius tagliati lungo la loro linea centrale.
Ellen Heck, artista incisore, utilizza il motivo del nastro di Möbius nella sua serie Fascinators : ritratti di giovani ragazze che indossano il nastro di Möbius, esprimendo questioni astratte legate alla femminilità.
Il designer Jean Giraud , alias Mœbius, ha preso il suo pseudonimo dal suddetto nastro

A Lacan

Nel vocabolario di Jacques Lacan : “1962/63 - Angoscia - 01/09/63 - Cosa distingue un'immagine speculare da ciò che rappresenta? è perché la destra diventa la sinistra e viceversa. - Non è possibile capovolgere una superficie su un solo lato. - Quindi un nastro di Moebius, se ne giri uno su se stesso, sarà sempre identico a se stesso. Questo è ciò che io chiamo non avere un'immagine speculare. "

Da un punto di vista matematico, la precedente affermazione di Lacan è erronea: abbiamo visto nei paragrafi precedenti che l'immagine speculare di un nastro di Möbius corrisponde ad un ribaltamento (prima dell'incollaggio) di un mezzo giro nell'altro senso, e quindi non è identico al nastro iniziale (più in generale, se l'immagine speculare di una figura può essere sovrapposta ad essa mediante uno spostamento, è perché la figura ha un piano di simmetria ) .

A Patrick Tort

Nell'epistemologia di Patrick Tort , la metafora topologica del nastro di Möbius illustra quello che lui chiama l' effetto reversibile dell'evoluzione in Darwin : la selezione naturale, nata dalla lotta per l'esistenza, seleziona gli istinti sociali, il cui sviluppo nella "civiltà" è sempre più opposto alla lotta per l'esistenza, e quindi alla selezione naturale.

L'immagine del nastro di Möbius è usata per spiegare l'operazione inversa. Composto da un listello (2 lati) chiuso dopo averlo attorcigliato di mezzo giro, ha ora un solo lato e un solo bordo. Se chiamiamo "natura" e "civiltà" i due volti inizialmente opposti, vediamo che si passa, a metà strada, dall'uno all'altro senza salti né rotture (non potrebbe esserci all'interno della continuità “genealogica” che qui rimane fondamentale). Il continuismo darwiniano in antropologia non è semplice, ma reversibile. Il movimento natura → cultura non produce una rottura, ma impone comunque l'evidenza tangibile di un “effetto rottura”, perché si è via via passati “dall'altra parte”.

Note e riferimenti

(in) [video] Tadashi Tokieda, Geometria e Topologia - Lettura 01 Parte 01/02 su YouTube .
Anello di Möbius e riciclaggio .
(in) "La computer grafica è ancora considerata una nuova tecnologia nell'intrattenimento in Cina " , 8 marzo 2006.
La Minute du geek in onda sul canale televisivo Nolife dal 20 maggio 2009 (necessario abbonamento per la visione online) .
http://www.drunkenboat.com/db8/oulipo/feature-oulipo/oulipo/texts/le_tellier/sighted_fr.html#Suibeom .
Alice Pilastre sul sito del Kikk Festival 2013.
(in) [PDF] La newsletter della Società internazionale delle arti, della matematica e dell'architettura , settembre 2006.

Appendici

Bibliografia

(it) Udo Hertrich-Jeromin , Introduzione alla geometria differenziale di Möbius , CUP ,2003
(it) Jonathan D. Amith , The Möbius Strip: A Spatial History of Colonial Society in Guerrero, Messico , Stanford University Press ,2005
S. Wane , Africanità e africanizzazione dell'Occidente , Le Publieur,2012
(it) Chen Nanxian , Mobiüs inversion in Physics , World Scientific ,2010
Frank Thilliez , L'anello di Moebius , Il passaggio ,2008

link esterno

Matematica

Pragmatico

"Realizzazione del nastro, particolarità e proprietà dei tagli" (su Internet Archive )

Musica

Animazione dei cancrizans canonici di JS Bach su nastro Möbius , estratto da The Musical Offering