Taylor Series
In matematica , e più precisamente in analisi , la serie di Taylor al punto a di una funzione f ( reale o complessa ) indefinitamente differenziabile a questo punto, chiamata anche espansione della serie di Taylor di f in a , è una serie intera : costruita da f e le sue successive derivate in a . Si dice che una funzione f sia analitica in a∑vsnon(X-a)non{\ textstyle \ sum c_ {n} (xa) ^ {n}}quando questa serie coincide con f in prossimità di a .
Principio
Sia f una funzione differenziabile indefinitamente in un punto a . L' espansione di Taylor a questo punto di un polinomio P di grado minore o uguale a n è:
P(X)=∑K=0nonP(K)(a)K!(X-a)K{\ displaystyle P (X) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {P ^ {(k)} (a)} {k!}} (Xa) ^ {k}}.
L'unico polinomio di grado minore o uguale an le cui derivate in a fino all'ordine n coincidono con quelle della funzione f è quindi:
Pnon(X)=∑K=0nonf(K)(a)K!(X-a)K{\ displaystyle P_ {n} (X) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {f ^ {(k)} (a)} {k!}} (Xa) ^ {k} }.
È chiamato polinomio di interpolazione Hermit di f in a per ordine n . Questo polinomio P n è anche la parte principale della limitata espansione di f in un ordine n , in formula di Taylor .
La serie di Taylor di f in a sarà definita ( vedi sotto ) come la serie intera la cui n- esima somma parziale è uguale a P n , per tutti gli interi n . Questa serie può essere utilizzata per " dimostrazioni teoriche", mentre ci limitiamo allo sviluppo per ordinare n per usi numerici .
Definizione
Sia f una funzione di una variabile reale o complessa, indefinitamente differenziabile in un punto a . La serie di Taylor di f a questo punto è la serie di funzioni :
f(a)+f′(a)1!(X-a)+f″(a)2!(X-a)2+f(3)(a)3!(X-a)3+⋯{\ displaystyle f (a) + {\ frac {f '(a)} {1!}} (xa) + {\ frac {f' '(a)} {2!}} (xa) ^ {2} + {\ frac {f ^ {(3)} (a)} {3!}} (xa) ^ {3} + \ cdots},
che è scritto in forma sintetica:
∑non=0∞f(non)(a)non!(X-a)non{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!}} (xa) ^ {n}},
dove n ! è il fattoriale di n e f ( n ) denota la derivata n -esima di f .
Questa serie di funzioni (convergenti o meno) è una serie intera della variabile x - a .
La notazione ha ancora un significato nell'analisi funzionale in algebre normalizzate , reali o complesse; ma questa generalizzazione non sarà discussa in questo articolo.
Se a = 0 , la serie è anche chiamata serie Maclaurin di f .
Maclaurin espansioni seriali di funzioni usuali
Notazioni : nella tabella seguente sono state utilizzate le seguenti notazioni:
- I numeri B 2 n che compaiono nelle espansioni di tan ( x ) e di th ( x ) sono i numeri di Bernoulli ;
-
(αnon){\ displaystyle {\ alpha \ choose n}}, Apparendo nello sviluppo di (1+ x ) α , è un coefficiente binomiale (generale) ;(αnon)=α(α-1)...(α-non+1)non!{\ displaystyle {\ alpha \ choose n} = {\ frac {\ alpha (\ alpha -1) \ dots (\ alpha -n + 1)} {n!}}}
- I numeri E k nell'espansione di sec ( x ) sono i numeri di Eulero .
Nome della funzione
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Serie Maclaurin
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Raggio di convergenza
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Esponenziale
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eX={\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {x} =}
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∑non=0∞Xnonnon!{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n!}}}
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Infinito
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Logaritmo
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ln(1+X)={\ displaystyle \ ln (1 + x) =}
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∑non=1∞(-1)non+1nonXnon{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} x ^ {n}}
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1
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Somma di una serie geometrica
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11-X={\ displaystyle {\ frac {1} {1-x}} =}
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∑non=0∞Xnon{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x ^ {n}}
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1
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Coppia di serie
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(1+X)α={\ displaystyle (1 + x) ^ {\ alpha} =}
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1+∑non=1∞(αnon)Xnon{\ displaystyle 1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ alpha \ scegli n} x ^ {n}}
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1
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Funzioni trigonometriche
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peccato(X)={\ displaystyle \ sin (x) =}
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∑non=0∞(-1)non(2non+1)!X2non+1{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} x ^ {2n + 1}}
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Infinito
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cos(X)={\ displaystyle \ cos (x) =}
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∑non=0∞(-1)non(2non)!X2non{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} x ^ {2n}}
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Infinito
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abbronzatura(X)={\ displaystyle \ tan (x) =}
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∑non=1∞|B2non|4non(4non-1)(2non)!X2non-1{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | B_ {2n} | {\ frac {4 ^ {n} (4 ^ {n} -1)} {(2n)!}} x ^ {2n-1}}
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π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}
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asciutto(X)={\ displaystyle \ sec (x) =}
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∑non=0∞(-1)nonE2non(2non)!X2non{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} E_ {2n}} {(2n)!}} x ^ {2n}}
|
π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}
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arcsin(X)={\ displaystyle \ arcsin (x) =}
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∑non=0∞(2non)!4non(non!)2(2non+1)X2non+1{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n)!} {4 ^ {n} (n!) ^ {2} (2n + 1)}} x ^ {2n +1}}
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1
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arccos(X)={\ displaystyle \ arccos (x) =}
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π2-∑non=0∞(2non)!4non(non!)2(2non+1)X2non+1{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n)!} {4 ^ {n} (n!) ^ {2 } (2n + 1)}} x ^ {2n + 1}}
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1
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arctan(X)={\ displaystyle \ arctan (x) =}
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∑non=0∞(-1)non2non+1X2non+1{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} x ^ {2n + 1}}
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1
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Funzioni iperboliche
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Sh(X)={\ displaystyle \ mathrm {sh} (x) =}
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∑non=0∞1(2non+1)!X2non+1{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n + 1)!}} x ^ {2n + 1}}
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Infinito
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vsh(X)={\ displaystyle \ mathrm {ch} (x) =}
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∑non=0∞1(2non)!X2non{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n)!}} x ^ {2n}}
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Infinito
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th(X)={\ displaystyle \ mathrm {th} (x) =}
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∑non=1∞B2non4non(4non-1)(2non)!X2non-1{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} B_ {2n} {\ frac {4 ^ {n} (4 ^ {n} -1)} {(2n)!}} x ^ {2n -1}}
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π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}
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argSh(X)={\ displaystyle \ mathrm {argsh} (x) =}
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∑non=0∞(-1)non(2non)!4non(non!)2(2non+1)X2non+1{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {4 ^ {n} (n!) ^ {2} (2n + 1)}} x ^ {2n + 1}}
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1
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argth(X)={\ displaystyle \ mathrm {argth} (x) =}
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∑non=0∞12non+1X2non+1{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2n + 1}} x ^ {2n + 1}}
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1
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Funzione W di Lambert
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W0(X)={\ displaystyle W_ {0} (x) =}
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∑non=1∞(-non)non-1non!Xnon{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-n) ^ {n-1}} {n!}} x ^ {n}}
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1e{\ displaystyle {\ frac {1} {\ rm {e}}}}
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Convergenza della serie di Taylor
La serie di Taylor di una funzione polinomiale ha solo un numero finito di termini diversi da zero.
La serie di Taylor è un'intera serie . Ammette quindi un raggio di convergenza R , e sul disco con centro a e raggio R la serie converge normalmente su qualsiasi compatta. Tuttavia:
- il raggio di convergenza generalmente non fornisce informazioni sulla dimensione del dominio di definizione di f ;
- per funzioni di variabile reale, la somma della serie di Taylor di f in a sul suo disco di convergenza può essere diversa dalla funzione f ;
- per le funzioni f di variabile reale, può accadere che R sia zero (la serie diverge in qualsiasi punto diverso dall'origine), sebbene f sia indefinitamente differenziabile in qualsiasi punto; questi ultimi due fenomeni non possono verificarsi per funzioni di variabili complesse.
Ad esempio, se f ( x ) = exp (–1 / x 2 ) , esteso di continuità in 0 da f (0) = 0 , allora f è indefinitamente differenziabile in qualsiasi punto e tutte le derivate di f sono zero in x = 0 , quindi la somma della serie di Taylor di f è zero (e il suo raggio di convergenza è infinito), mentre la funzione non è mai zero, tranne che a 0. Questo fenomeno deriva dal fatto che la funzione è piatta (en) ( trascurabile vicino a 0 rispetto a qualsiasi potenza di x ). Questo è un esempio di una funzione regolare non analitica .
Se la funzione f è uguale alla somma della sua intera serie nell'intorno di a , allora diciamo che f è analitica . Questa definizione è valida per le funzioni di una variabile reale così come per le funzioni di una variabile complessa. Tuttavia, una funzione di una variabile analitica complessa è più frequentemente detta olomorfa : perché sia così, è sufficiente supporre che sia differenziabile. Si tratta di uno dei primi risultati di rigidità in analisi complessa . Per un'intera funzione , cioè olomorfa sull'intero piano complesso, l'espansione della serie di Taylor in qualsiasi punto ha un raggio di convergenza infinito e la somma delle serie coincide con la funzione.
Note e riferimenti
Appunti
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Viene utilizzato per calcolare i valori approssimativi della funzione in prossimità di un punto, nel qual caso si calcola un " resto " che fornisce i limiti per l'errore. Lo sviluppo limitato e il calcolo del resto non furono studiati da Taylor, ma quasi un secolo dopo, quando Lagrange nel 1799, sottolineò per la prima volta la necessità di definire rigorosamente il resto.
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Su usa ad esempio per provare la formula di Eulero .
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Per una funzione meromorfa , il raggio di convergenza in a è la distanza tra a e il polo più vicino ad a .
Riferimenti
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Jean-Luc Chabert e al. Storia degli algoritmi, pietra in scheggia , Belin, 1993, p. 455.
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Joseph-Louis Lagrange, Lezioni sul calcolo delle funzioni , 1799, ripubblicato nel 1806, lezione nona, p. 88: “Finché questo sviluppo serve solo alla generazione di funzioni derivate, è irrilevante che la serie vada all'infinito oppure no; lo è anche quando si considera lo sviluppo solo come una semplice trasformazione analitica della funzione; ma, se vogliamo usarlo per avere il valore della funzione in casi particolari, offrendo un'espressione di una forma più semplice [...], potendo quindi prendere in considerazione solo un certo numero più o meno termini, è importante avere un modo per valutare il resto della serie che viene trascurato, o almeno per trovare i limiti dell'errore che si commette trascurando questo resto. "
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Questo è il caso della funzione (questo esempio è dovuto a Matyáš Lerch ); è anche possibile costruire funzioni per le quali la serie di Taylor in qualsiasi punto è raggio di convergenza nullo: vedi Walter Rudin , Real and Complex Analysis , McGraw-Hill, 3 e ed., p. 384, esercizio 13.X↦∑non=0∞cos(2nonX)non!{\ displaystyle x \ mapsto \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos (2 ^ {n} x)} {n!}}}
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Esempio dovuto ad Augustin Louis Cauchy , Sintesi delle lezioni tenute all'Ecole Royale Polytechnique sul calcolo infinitesimale, Imprimerie Royale, Parigi 1823.
Vedi anche
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">