Teorema di Constable

In analisi , il teorema di compressione (noto anche teorema dalla morsa , teorema di inquadratura o sandwich di teorema ) è un teorema per il limite di una funzione . Secondo questo teorema, se due funzioni ( $f$ e $h$ ) ammettono lo stesso limite in un punto $( a )$ , e una terza funzione $( g )$ è "bloccata" (o " incorniciata " o "a sandwich") tra $f$ e $h$ in la vicinanza di $a$ , allora $g$ ammette di $avere$ un limite uguale al confine comune di $f$ e $h$ .

Il Teorema di Constable viene spesso utilizzato per determinare il limite di una funzione confrontandolo con altre due funzioni il cui limite è noto o facilmente calcolato.

stati

Siamo:

$E$ uno spazio topologico ;
$Ha$ una parte di $E$ ;
$a$ un punto di $E$ aderente ad $A$ ;
$f$ , E tre funzioni da $A$ a ℝ = ℝ ∪ ${-\infty, + \infty}$ ; $g$ $h$
$L$ un elemento di ℝ .

Se e se , quindi converge a e . ${\ Displaystyle f \ leq g \ leq h}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {a} f = \ lim _ {a} h = L}$ $g$ $a$ ${\ displaystyle \ lim _ {a} g = L}$

Origine del nome

Per capire il nome familiare del teorema, dobbiamo equiparare le funzioni $f$ e $h$ a gendarmi e $g$ di un sospetto. Quest'ultimo, curata dai due gendarmi, è obbligato a seguirli alla $L$ gendarmeria . In Italia, è chiamato "teorema del fuciliere ", "teorema del confronto" o anche "teorema del sandwich".

Casi speciali

Se e , le ipotesi del teorema sono soddisfatte per , impostando . ${\ displaystyle f \ leq g}$ $\ lim_af = + \ infty$ ${\ displaystyle L = + \ infty}$ ${\ displaystyle h: x \ mapsto + \ infty}$
Se e , le ipotesi del teorema sono soddisfatte per , impostando . ${\ displaystyle g \ leq h}$ ${\ displaystyle \ lim _ {a} h = - \ infty}$ ${\ displaystyle L = - \ infty}$ ${\ displaystyle f: x \ mapsto - \ infty}$
L'insieme $A$ può essere un intervallo reale e il punto $ha$ un elemento di questo intervallo, o uno dei suoi due limiti (finito o no).
Possiamo anche applicare il teorema con o e : se $u$ , $v$ e $w$ sono tre successioni reali, tali che per ogni $n$ $>$ $N$ ${\ displaystyle A = \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ {n \ in \ mathbb {N} \ mid n> N \}}$ ${\ displaystyle a = + \ infty}$ $u_ {n} \ leq v_ {n} \ leq w_ {n} {\ text {e}} \ lim _ {{n \ to + \ infty}} u_ {n} = \ lim _ {{n \ to + \ infty}} w_ {n} = L, {\ text {then}} \ lim _ {{n \ to + \ infty}} v_ {n} = L,$ con reale o infinito . $L$

Esempi

Primo esempio

Un classico esempio dell'applicazione del teorema del gendarme è:

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} = 0}

o, che è equivalente:

{\ Displaystyle \ lim _ {y \ to 0} y \ sin ({\ tfrac {1} {y}}) = 0}

A fortiori, che può anche essere dimostrato direttamente, sempre dal teorema dei gendarmi. ${\ Displaystyle \ lim _ {y \ to 0} y ^ {2} \ sin ({\ tfrac {1} {y}}) = 0}$

Secondo esempio

Probabilmente l'esempio più noto determinazione del limite usando il teorema di Constable è la prova della seguente uguaglianza:

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1}

Segue dal teorema dei gendarmi dal quadro classico

{\ Displaystyle \ cos x \ leq {\ frac {\ sin x} {x}} \ leq 1}

per $x$ (non zero) sufficientemente vicino a 0.

Questo limite viene utilizzato per dimostrare che la derivata della funzione seno è la funzione coseno.

Note e riferimenti

Ministero dell'Educazione Nazionale (Francia) , " Programma di insegnamento della matematica nella classe finale della serie scientifica ", BO , n . 4,Agosto 2001, p. 65 ( leggi in linea ).
Abdou Kouider Ben-Naoum , Analisi: prime nozioni fondamentali: teoria, esempi, domande, esercizi , University Press of Louvain ,2007, 414 p. ( ISBN 9782874630811 , leggi online ) , p. 66.
Stéphane Balac e Frédéric Sturm, Algebra e analisi: corso di matematica al primo anno con esercizi corretti , PPUR ,2003( leggi in linea ) , p. 577.
James Stewart (in) ( trad. English Micheline Citta-Vanthemsche) Concetti e contesti di analisi: funzione di una variabile [" Calculus: Concepts and Contexts "], vol. 1, De Boeck ,2011, 631 p. ( ISBN 9782804163068 ) , p. 110.
Per le funzioni con valori in ℝ - ma la dimostrazione è identica per le funzioni con valori in ℝ - il teorema è affermato in questa forma generale e dimostrato da E. Ramis, C. Deschamps e J. Odoux, Cours de matematica offerte speciali , volo. 3, Masson ,1976, p. 40, così come - per il caso particolare $E$ = ℝ e $A \subset ℝ$ , ma la dimostrazione si adatta senza problemi a qualsiasi spazio topologico - in Frédéric Denizet, Analyse - MPSI , Nathan , coll. "Corso di preparazione",2008( leggi in linea ) , p. 201e in "Limiti e relazione di ordine" su Wikiversità .
Questo esempio è dettagliato in Funzioni di una variabile reale / Limiti # Limiti e relazione d'ordine su Wikiversità .
Questo esempio è dettagliato in Limiti di una funzione / Teoremi dei limiti # Teorema di Constable su Wikiversità .
Vedi ad esempio (de) Selim G. Kerin e VN Uschakowa, Vorstufe zur höheren Mathematik , Vieweg,1968( ISBN 978-3-322-98628-3 , leggi online ) , p. 80-81, o semplicemente proprietà 1 di Funzioni trigonometriche / Proprietà preliminari # Proprietà sui limiti su Wikiversità .

Vedi anche

Articolo correlato

Teorema di Sandwich (variante)

link esterno