Proiezione stereografica

In geometria e cartografia , la proiezione stereografica è una proiezione cartografica azimutale che consente di rappresentare una sfera privata di un punto su un piano .

Si è spesso convenuto che il punto da cui viene privata la sfera sarà uno dei suoi poli; il piano di proiezione può essere quello che separa i due emisferi, nord e sud, della sfera, chiamato piano equatoriale. Possiamo anche fare una proiezione stereografica su qualsiasi piano parallelo al piano equatoriale purché non contenga il punto di cui abbiamo privato la sfera.

Sia S il punto situato al polo sud della sfera da proiettare. L'immagine Z ' di un punto Z di questa sfera sarà definita dall'intersezione tra il piano equatoriale e la linea (SZ) . (Questa proiezione equivale a osservare la sfera dal polo sud).

Due proprietà importanti:

• qualsiasi cerchio sulla sfera - eccetto quelli passanti per il polo sud - sarà trasformato in un altro cerchio nel piano equatoriale;
• gli angoli vengono preservati durante la lavorazione ( conforme ).

Appunti:

• l' equatore rimane se stesso durante questa trasformazione;
• un punto dell'emisfero settentrionale sarà proiettato all'interno dell'equatore (ad esempio nella nostra figura, H2 diventa H2 ' ), un punto dell'emisfero meridionale all'esterno ( H1 diventa H1' );
• per disegnare un cerchio proiettato è quindi sufficiente trovare due punti che definiscono un diametro;
• si può definire in modo simile una proiezione a partire dal polo nord, come mostrato nella seconda figura.

La proiezione stereografica è stata utilizzata nella progettazione degli astrolabi arabi in epoca medievale. È ampiamente utilizzato in cristallografia per studiare la simmetria morfologica dei cristalli, e in particolare per rappresentare forme cristalline , un esempio dato nella terza figura.

La matematica della proiezione stereografica

Aspetto geometrico

Una sfera di dimensione n è l'insieme di punti dello spazio di dimensione n + 1 situati alla distanza r dal centro della sfera. Se non si specifica il tipo di distanza, usiamo la distanza euclidea di due punti, di vettori di coordinate u e v , la distanza proposta dal euclidea norma del vettore v - u  :

|v-u|=(∑j=1non+1|uj-vj|2)1/2{\ displaystyle | vu | = \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n + 1} | u_ {j} -v_ {j} | ^ {2} \ right) ^ {1/2}}

La proiezione stereografica permette di definire un omeomorfismo tra una sfera n- dimensionale priva di punto e lo spazio n- dimensionale . La seguente presentazione è valida in qualsiasi dimensione n ≥ 1 , ma il caso particolare di una sfera ordinaria può essere letto senza altre modifiche che sostituire la parola "iperpiano" con la parola "piano" in quanto segue.

Geometricamente, indichiamo con N (come Nord) il punto particolare da cui priveremo la sfera. O Π un iperpiano perpendicolare al raggio determinato dalla N . Supponiamo che questo piano iperpiano non sia il piano tangente in N alla sfera.

Sia x ≠ N un punto della sfera. Indichiamo con D la linea determinata da x e N  ; questa retta non è mai parallela al piano Π , perché solo le rette tangenti alla sfera in N sono parallele a Π . In particolare, D non è contenuto interamente in Π . Esiste quindi un unico punto di intersezione di D con Π . Questo punto è l'immagine di x per proiezione stereografica. Viceversa, se X è un punto del piano Π , poiché questo piano non passa per N , la retta determinata da X e N interseca la sfera in N e in un altro punto x , che è l'immagine reciproca di X per proiezione stereografica.

Per capire visivamente cosa sta succedendo, notiamo che l'intera costruzione avviene nell'iperpiano di dimensione n - 1 determinato dal centro della sfera, N e x (o X ). Faremo riferimento alla figura fatta in dimensione n = 3 , in questo iperpiano (quindi un piano, qui) per vedere correttamente la costruzione.

Aspetto analitico

Dal punto di vista analitico, il calcolo è semplificato fissando l'origine delle coordinate al centro della sfera, il polo nord sull'asse delle coordinate n + 1 e il raggio della sfera uguale all'unità. Le prime due scelte sono semplicemente una scelta di riferimento. L'ultima è una scelta di unità di lunghezza. Se non si vuole cambiare quest'ultima, si potrà praticare un'omotetia sulle formule sottostanti, per trattare il caso di una sfera di qualsiasi raggio r .

Con queste scelte la sfera unitaria S n di è definita da: Rnon+1{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}

Snon={X=(X1,...,Xnon,Xnon+1):∑j=1non+1|Xj|2=1}.{\ displaystyle S ^ {n} = \ left \ lbrace x = (x_ {1}, \ dots, x_ {n}, x_ {n + 1}): \ sum _ {j = 1} ^ {n + 1 } \ left | x_ {j} \ right | ^ {2} = 1 \ right \ rbrace.}

Sia y = ( x 1 , ..., x n ), s = x n +1 . Il punto N ha per coordinate e s = 1 . L'iperpiano Π ha l'equazione s = h . I punti di Π avranno come coordinate correnti ( ξ , h ) , con . y=0∈Rnon{\ displaystyle y = 0 \ in \ mathbb {R} ^ {n}}ξ∈Rnon{\ displaystyle \ xi \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

Dal punto di vista geometrico, ( y , s - 1) e ( ξ , h - 1) sono diversi da zero e collineari . Esiste quindi un λ scalare diverso da zero tale che

y=λξ,S-1=λ(h-1).{\ displaystyle y = \ lambda \ xi, \ quad s-1 = \ lambda (h-1).}

Se ci diamo ( y , s ) in S n , sostituiamo y con λξ e s con 1 + λ ( h - 1) nella relazione di definizione | y | 2 + | s | 2 = 1 . Un breve calcolo fornisce, dopo la divisione per λ ≠ 0 , la relazione

λ=2(1-h)|ξ|2+(1-h)2.{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {2 (1-h)} {| \ xi | ^ {2} + (1-h) ^ {2}}}.}

La scelta h ≠ 1 assicura che λ sia sempre ben definito. Il valore di y ed s in funzione di ξ è quindi

y=2(1-h)ξ|ξ|2+(1-h)2,S=|ξ|2-(1-h)2|ξ|2+(1-h)2.{\ displaystyle y = {\ frac {2 (1-h) \ xi} {| \ xi | ^ {2} + (1-h) ^ {2}}}, \ quad s = {\ frac {| \ xi | ^ {2} - (1-h) ^ {2}} {| \ xi | ^ {2} + (1-h) ^ {2}}}.}

Viceversa, se y ed s sono indicati, avremo

λ=S-1h-1,ξ=(h-1)yS-1.{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {s-1} {h-1}}, \ quad \ xi = {\ frac {(h-1) y} {s-1}}.}

L'immagine per proiezione stereografica di un grande cerchio passante per N è una linea passante per il punto (0, h ) . L'immagine di un qualsiasi cerchio disegnato sulla sfera e passante per N è la linea formata dall'intersezione di Π con il piano determinato dal cerchio. L'immagine di un cerchio che non passa per N è un cerchio dell'iperpiano Π .

Trasformazione conforme

Una proiezione stereografica è una trasformazione conforme  : l'angolo tra due linee rette tangenti nello stesso punto alla sfera è lo stesso dell'angolo tra la loro proiezione. Per vederlo, è sufficiente verificare che la matrice giacobiana della proiezione stereografica è quella di una somiglianza .

Possiamo anche dare una dimostrazione geometrica. Sia M un punto della sfera diverso dal polo nord N e siano due rette tangenti alla sfera in M. Siano i due piani passanti per N e M, e contengano rispettivamente ciascuna delle due rette. Le intersezioni di questi piani con il piano di proiezione sono le immagini dalla proiezione delle due linee tangenti in M. Inoltre, questi due piani ritagliano nella sfera due cerchi aventi la corda [NM] in comune e tangenti alle due linee iniziali . Considera le tangenti in N a ciascuno di questi due cerchi. Sono contenuti in ciascuno dei due piani e paralleli al piano di proiezione. Sono quindi parallele alle proiezioni delle due rette tangenti in M. L'angolo che formano è quindi uguale all'angolo tra le due proiezioni. Ma in più, a causa della simmetria dei due cerchi rispetto al piano mediatore di [MN], N e le due tangenti in N sono simmetriche con M e tangenti in M ​​rispetto a questo piano mediatore, quindi l'angolo tra le tangenti in M ​​è uguale a quello tra le tangenti in N. Pertanto, l'angolo tra le due tangenti in M ​​è lo stesso di quello tra la loro proiezione.

Immagine dei cerchi

Qualsiasi cerchio viene trasformato dalla proiezione stereografica in un cerchio del piano di proiezione (o un segmento di linea se il polo N della proiezione è sul piano del cerchio e quest'ultimo non è parallelo al piano di proiezione, o un insieme vuoto se il piano del cerchio è parallelo ma distinto dal piano di proiezione; se il piano del cerchio e il piano di proiezione sono identici, la proiezione mantiene questo cerchio).

Per il caso più frequente in cui il piano del cerchio è distinto dal piano di proiezione, si consideri il cono tangente alla sfera lungo il cerchio (C) da proiettare. Sia P il suo vertice e P 'la sua immagine dalla proiezione stereografica. Quindi (C) proietterà in un cerchio (C ') con il centro P'. L'immagine di una qualunque generatrice del cono è infatti l'intersezione del piano che lo contiene e che passa per N, con il piano di proiezione. Si tratta quindi di una linea retta passante per P '. Inoltre, il generatore interseca (C) ad angolo retto e, essendo la proiezione stereografica conforme, la sua immagine si interseca (C ') anche ad angolo retto. (C ') è quindi una curva che interseca una qualsiasi retta risultante da P' ad angolo retto. È un cerchio con il centro P '.

Generalizzazione

Possiamo definire la proiezione stereografica di una qualsiasi sfera "arrotondata" su un piano: se la palla unitaria per una norma di è strettamente convessa , cioè se il bordo di questa palla unitaria non contiene alcun segmento di destra, allora lo stesso la costruzione funziona ancora, ma il risultato può dipendere fortemente dalla scelta del punto N , poiché tale sfera non è isotropa , cioè invariante per rotazioni dello spazio di dimensione n + 1 , che se è euclidea. Rnon+1{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}

La figura mostra alcuni "cerchi" unitari per lo standard

|X|p=(|X1|p+|X2|p)1/p,{\ displaystyle | x | _ {p} = \ left (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p},}

per p rigorosamente compreso tra 1 e infinito. Per p = 1 e per p = ∞ , il cerchio unitario relativo a queste norme non è sufficientemente arrotondato per garantire l'unicità della proiezione stereografica, o la sua esistenza.

Proiezione stereografica in cristallografia

La proiezione stereografica viene utilizzata per rappresentare le forme cristalline dei cristalli, i loro gruppi di simmetria puntuale e l' orientamento preferito dei policristalli . Il centro del cristallo studiato è posto al centro di una sfera immaginaria. È l'intersezione con questa sfera degli elementi di simmetria del cristallo o delle normali alle sue facce che viene proiettata sul piano equatoriale durante la proiezione stereografica.

Utilizziamo per la rappresentazione un pallottoliere di Wulff (dal nome di George Wulff ) provvisto di un sistema di coordinate, al centro del quale è posto il cristallo. La scelta del sistema di coordinate dipende dalla simmetria del cristallo e in particolare dalle sue direzioni di simmetria . I vettori di base del sistema di coordinate nel piano equatoriale sono rappresentati da segni al di fuori del cerchio di proiezione. La direzione di massima simmetria viene generalmente scelta come direzione nord-sud. Ad esempio, nel sistema a cristalli quadratici, la direzione [001] viene scelta perpendicolare al piano di proiezione.

Proiezione di elementi di simmetria

Per la rappresentazione grafica dei gruppi di simmetria puntuale, il punto all'intersezione degli elementi di simmetria è posizionato al centro della sfera. In alcuni casi, non esiste un punto del genere o ce n'è un'infinità: questi sono i gruppi 1, 2, m , mm 2, 4, 4 mm , 3, 3 m , 6 e 6 mm . Si sceglie quindi generalmente l'asse di massima simmetria o la linea di intersezione degli elementi di simmetria come direzione nord-sud della sfera.

Gli elementi di simmetria nei gruppi di punti sono di tre tipi: piani di riflessione , assi di rotazione e assi di roto-inversione . Ogni elemento di simmetria passa per il centro della sfera.

Per i piani speculari, l'intersezione di un piano con una sfera che è un cerchio, si verificano tre casi:

• il piano dello specchio è parallelo al piano equatoriale, la sua proiezione stereografica è il grande cerchio esterno mostrato in blu nella figura del gruppo 4 / mmm sotto;
• il piano dello specchio è perpendicolare al piano equatoriale, la sua proiezione è un segmento  ;
• il piano dello specchio non è né parallelo né perpendicolare al piano equatoriale, la sua proiezione è costituita da due archi di cerchio della stessa lunghezza e di estremità comuni sul cerchio grande ("cerchio grande interno"), disegnati in blu nella rappresentazione del gruppo m 3 m sotto.

L'intersezione di un asse di simmetria con la sfera produce due punti diametralmente opposti, la proiezione stereografica di un asse di simmetria è quindi costituita da due punti. Gli assi di simmetria sono rappresentati da simboli definiti nelle tavole internazionali di cristallografia .

• Se l'asse è perpendicolare al piano equatoriale, i due punti si fondono al centro del cerchio di proiezione (assi 4 e 4 mostrati in rosso nelle figure dei gruppi 4 / mmm e 4 2 m sotto).
• Se l'asse è parallelo al piano equatoriale, i due punti sono diametralmente opposti sul cerchio grande esterno (assi 2 del gruppo 4 2 m nella figura sotto).
• Se l'asse non è né parallelo né perpendicolare al piano equatoriale, i due punti sono interni al cerchio di proiezione e simmetrici rispetto al centro del cerchio (assi 3 del gruppo m 3 m ).

• Gruppo 4 / mmm
• Gruppo 4 2 m
• Gruppo m 3 m

Rappresentazione di forme cristalline

Le facce delle forme di cristallo sono rappresentate dalle loro normali. Consideriamo solo l'intersezione della normale con la sfera più vicina alla faccia considerata. Questo incrocio è chiamato il "polo della faccia". Se un polo si trova nell'emisfero settentrionale della sfera, è rappresentato da una croce, altrimenti da un cerchio. La distinzione tra emisferi non è fatta per la rappresentazione di elementi di simmetria.

Le figure seguenti mostrano un tetraedro e la sua proiezione stereografica con gli elementi di simmetria del suo gruppo, 4 3 m . Le normali delle sue facce coincidono con gli assi di rotazione di ordine 3.

Fotografia

Per la resa piana di fotografie grandangolari o anche panoramiche , la proiezione stereografica è spesso preferita ad altre proiezioni azimutali per la sua conformità  : nessuna distorsione locale.

• Proiezione equirettangolare

• Proiezione stereografica

Note e riferimenti

1. Dandelin, Gergonne, usi di proiezione stereografica di geometria , Annals of matematica pura e applicata, Volume 16 (1825-1826), p. 322-327.
2. (in) Tabelle internazionali di cristallografia , vol.  A: Simmetria del gruppo spaziale , Th. Hahn , Kluwer Academic Publishers,2005( Repr.  Corretto), 5 °  ed. ( ISBN  978-0-470-68908-0 ) , cap.  1.4 (“Simboli grafici per elementi di simmetria in una, due e tre dimensioni”) , p.  9

Vedi anche

Le altre tre principali proiezioni azimutali:

• Proiezione ortogonale
• Proiezione equivalente azimutale di Lambert
• Proiezione gnomonica

Articoli Correlati

• Figura polare
• Proiezione cartografica

link esterno

• Video didattico tratto da una serie di 9 episodi sulla rappresentazione delle dimensioni nello spazio
• Animazione dall'American Mathematical Society che mostra in modo estetico un ritratto di Bernhard Riemann che si muove su una sfera e proiettato stereograficamente allo stesso tempo su un piano.
• Dandelin, Gergonne, Usages of stereographic projection in geometry , Annals of pure and apply matematica, volume 16 (1825-1826), p. 322-327.