Precessione

La precessione è il nome dato al cambiamento graduale di direzione dell'asse di rotazione di un oggetto o, più in generale, un vettore sotto l'azione dell'ambiente, ad esempio, quando viene applicata una coppia . Questo fenomeno è facilmente osservabile con una trottola, ma tutti gli oggetti rotanti possono subire precessione. Durante la precessione, l'angolo formato dall'asse di rotazione o dal vettore con una data direzione rimane fisso è chiamato angolo di nutazione e generalmente notato . È uno dei tre angoli di Eulero . Il vettore o l'asse di rotazione descrive così nel tempo un cono il cui asse è la direzione fissa. Questo cono viene percorso ad una velocità angolare costante che è determinata dai dati del problema. La direzione in cui si verifica la precessione dipende dal problema considerato. θ{\ displaystyle \ theta}

Formula matematica

Viene scritta la formula matematica che descrive la precessione di una quantitàNON{\ displaystyle {\ mathbf {N}}}

dNONdt=Ω∧NON{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ mathbf {N}}} {{\ rm {d}} t}} = {\ mathbf {\ Omega}} \ wedge {\ mathbf {N} }},

dove è una quantità vettoriale costante (o eventualmente variabile lentamente). La sua direzione determina l'asse del cono di precessione e la sua norma è omogenea ad una velocità angolare . In tal caso, la precessione avviene alla velocità angolare Ω{\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}

Ωp=|Ω|{\ displaystyle \ Omega _ {p} = | {\ mathbf {\ Omega}} |},

e in senso antiorario nel piano orientato da . Ω{\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}

Dimostrazione

Prendendo il prodotto scalare dell'equazione iniziale con , otteniamo Ω{\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}

Ω⋅dNONdt=Ω⋅(Ω∧NON){\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}} \ cdot {\ frac {{\ rm {d}} {\ mathbf {N}}} {{\ rm {d}} t}} = {\ mathbf {\ Omega }} \ cdot \ left ({\ mathbf {\ Omega}} \ wedge {\ mathbf {N}} \ right)}.

Il lato destro è zero perché corrisponde al prodotto miscelato comprendente due vettori identici. Ciò implica quindi che la componente di è costante nel tempo. Eseguendo il prodotto scalare dell'equazione iniziale con , otteniamo questo tempo NON{\ displaystyle {\ mathbf {N}}}NON{\ displaystyle {\ mathbf {N}}}

NON⋅dNONdt=NON⋅(Ω∧NON){\ displaystyle {\ mathbf {N}} \ cdot {\ frac {{\ rm {d}} {\ mathbf {N}}} {{\ rm {d}} t}} = {\ mathbf {N}} \ cdot \ left ({\ mathbf {\ Omega}} \ wedge {\ mathbf {N}} \ right)}.

Per lo stesso motivo di prima, il lato destro è zero. Il lato sinistro dell'equazione rappresenta la variazione della norma di , il che significa che è costante nel tempo. Poiché anche la sua componente parallela a è costante, anche la componente ortogonale a questo vettore è costante. NON{\ displaystyle {\ mathbf {N}}}Ω{\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}

In termini di componenti, se scegliamo un sistema di assi tale che sia parallelo all'asse z , otteniamo Ω{\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}

dNONXdt=-ΩNONy{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} N_ {x}} {{\ rm {d}} t}} = - \ Omega N_ {y}}, dNONydt=ΩNONX{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} N_ {y}} {{\ rm {d}} t}} = \ Omega N_ {x}}, dNONzdt=0{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} N_ {z}} {{\ rm {d}} t}} = 0}.

L'ultima equazione fornisce la costanza della componente di parallelo a . Le altre due equazioni si combinano in NON{\ displaystyle {\ mathbf {N}}}Ω{\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}

dNONX+ioNONydt=ioΩ(NONX+ioNONy){\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} N_ {x} + iN_ {y}} {{\ rm {d}} t}} = i \ Omega (N_ {x} + iN_ {y}) }.

Posando , abbiamo, rilevando per un punto la derivazione rispetto al tempo, NONX+ioNONy=rexp⁡(ioθ){\ displaystyle N_ {x} + iN_ {y} = r \ exp (i \ theta)}

(r˙+iorθ˙)exp⁡(ioθ)=ioΩrexp⁡(ioθ){\ Displaystyle \ left ({\ dot {r}} + ir {\ dot {\ theta}} \ right) \ exp (i \ theta) = i \ Omega r \ exp (i \ theta)} ,

è

(r˙+iorθ˙)=ioΩr{\ displaystyle \ left ({\ dot {r}} + ir {\ dot {\ theta}} \ right) = i \ Omega r}. La parte reale della derivata dà la variazione del modulo del numero complesso , che qui è zero. La parte immaginaria della derivata fornisce, fino a un fattore r , la variazione del suo argomento. Questa variazione è qui costante, il che mostra che l'argomento di varia alla velocità angolare .NONX+ioNONy{\ displaystyle N_ {x} + iN_ {y}}NONX+ioNONy{\ displaystyle N_ {x} + iN_ {y}}Ω{\ displaystyle \ Omega}  

La precessione può essere spiegata intuitivamente dal "modello a ruota quadrata".

I diversi tipi di precessione

Un gran numero di situazioni fisiche danno luogo a un fenomeno di precessione:

• in meccanica , un oggetto rotante come un top o un giroscopio subirà un movimento di precessione se non è bilanciato, cioè se la risultante dei momenti delle forze esercitate su di esso non è nulla.
• Il piano di oscillazione di un pendolo di Foucault subisce una precessione nel tempo, manifestando così la rotazione della Terra . L'effetto fisico dietro questo è la forza di Coriolis .

In astronomia

Precessione degli equinozi

Un corpo rotante può essere visto come un giroscopio e può essere realizzato in precessione. Questo è ad esempio il caso della Terra , il cui asse polare è in precessione a causa delle interazioni gravitazionali con il Sole e la Luna . Questo fenomeno fu scoperto dall'astronomo greco Ipparco poco dopo l'anno 150 a.C. J.-C.

Precessione del momento angolare orbitale

Un corpo in orbita avrà, oltre alla propria rotazione, un momento angolare orbitale derivante dal suo movimento circolare o ellittico attorno al corpo centrale. La direzione del momento angolare orbitale rappresenta la normale al piano dell'orbita della stella. Questo piano può eventualmente subire una precessione sotto l'influenza di altri corpi celesti. È lo stesso generalmente nel caso di orbite complesse attorno al centro di gravità di sistemi multipli .

Precessione absidale

Un corpo in orbita ellittica può vedere la sua orbita disturbata nel suo piano da altre stelle. Uno dei disturbi tende a variare l'asse determinato dal semiasse maggiore dell'orbita (il vettore Runge-Lenz ). Pertanto, la direzione determinata dal punto dell'orbita più vicino al corpo centrale varia nel tempo. Si parla di precessione del perielio, o più in generale, al di fuori del sistema solare , di precessione del periapsis (o anticipo del periastron). L'avanzamento del periasse può essere prodotto da interazioni con altri corpi, ma può anche essere prodotto da una deviazione dalla sfericità del corpo centrale. Una terza possibile causa dell'avanzamento del periapsi è predetta dalla relatività generale , uno dei cui effetti più facilmente osservabili è un avanzamento del periapsi in aggiunta alle altre cause sopra elencate. L'avanzata del perielio del pianeta Mercurio è stata la prima verifica della teoria della relatività generale scoperta da Albert Einstein . Il sistema con il maggiore avanzamento periastrale relativistico è la doppia pulsar PSR J0737-3039 (più di 16 gradi all'anno).

Effetto Einstein-de Sitter

Una particella immersa in un campo gravitazionale vedrà anche il proprio momento angolare entrare in precessione a causa dell'esistenza di questo. Parliamo dell'effetto Sitter , previsto per la prima volta nel 1916 da Willem de Sitter .

Precessione geodetica

La combinazione della precessione di Thomas e dell'effetto Sitter è chiamata precessione geodetica.

Effetto Lense-Thiring

La relatività generale ha anche predetto che un corpo rotante provoca un effetto a catena dello spazio-tempo nella direzione della sua rotazione. Questo effetto, spesso chiamato con il nome inglese di frame-dragging è l'effetto Lense-Thirring, scoperto da Josef Lense e Hans Thirring nel 1918, provoca un'ulteriore precessione del momento angolare orbitale di un corpo se il piano dell'orbita non lo fa ' non è perpendicolare all'asse di rotazione del corpo centrale, così come un'ulteriore precessione del periapsi e il proprio momento angolare dei corpi soggetti all'influenza del corpo centrale. In quest'ultimo caso, a volte si parla di precessione di Schiff . In linea di principio, l'effetto Lense-Thirring può essere rilevato indirettamente studiando i dischi di accrescimento di oggetti compatti . La sua misurazione accurata nel campo gravitazionale terrestre è lo scopo del satellite di missione Gravity Probe B alla NASA lanciato nel 2004 e i cui risultati, positivi, sono stati annunciati in data4 maggio 2011. L'effetto Lense-Thirring è una delle manifestazioni del gravitomagnetismo , un'analogia formale e imperfetta tra alcuni aspetti della relatività generale e dell'elettromagnetismo .

Nella fisica atomica

Precessione di Larmor

Una particella con un momento magnetico lo vedrà precedere quando la particella è immersa in un campo magnetico . Si parla quindi di precessione di Larmor, la cui frequenza può essere misurata.

Thomas precessione

Anche il momento angolare di una particella (lo spin ) precessione se la particella viene accelerata. Questo risultato, conseguenza della relatività speciale , è stato spiegato correttamente per la prima volta da Llewellyn Thomas nel corso degli anni '20 ed è chiamato precessione di Thomas.

Precessione meccanica

Quando un oggetto rotante subisce una coppia , il suo asse di rotazione cambia nel tempo. Questo è il risultato del teorema del momento angolare , una conseguenza del principio fondamentale della dinamica espressi nella seconda metà del XVII °  secolo da Isaac Newton . Quando questa coppia è esercitata da una forza di direzione costante (ad esempio la gravità della terra ) su un oggetto il cui momento angolare è sufficientemente grande e il cui asse di rotazione passa per il punto di applicazione della forza, l'oggetto entrerà in precessione, vale a dire che il suo momento angolare manterrà un'intensità costante, ma vedrà la sua direzione descrivere una precessione attorno alla direzione della forza.

In pratica, una trottola lanciata con una velocità sufficientemente elevata soddisferà queste ipotesi. Il suo asse di rotazione manterrà quindi un angolo costante con la verticale (la direzione della forza di gravità), ma ruoterà a velocità costante (se si trascura l' attrito ).

La fisica della precessione

In queste condizioni, il periodo di precessione è il seguente:

Tp=4π2ioSVSTS{\ displaystyle T_ {p} = {\ frac {4 \ pi ^ {2} I_ {s}} {CT_ {s}}}},

Dove I s è il momento di inerzia, T è il periodo di rotazione attorno all'asse di rotazione e C è la coppia. Questa espressione può essere riscritta in termini di velocità angolari corrispondenti. Notando ω s la velocità angolare del corpo ( ) e Ω p quella della precessione ( ), abbiamo ωS=2π/TS{\ displaystyle \ omega _ {s} = 2 \ pi / T_ {s}}Ωp=2π/Tp{\ displaystyle \ Omega _ {p} = 2 \ pi / T_ {p}}

ΩpωS=VSioS{\ displaystyle \ Omega _ {p} \ omega _ {s} = {\ frac {C} {I_ {s}}}}.

Note e riferimenti

1. Péter Hantz e Zsolt I. Lázár , "La  precessione spiegata intuitivamente  ", Frontiers in Physics , vol.  7,2019( DOI  10.3389 / fphy.2019.00005 , leggi online )

Articoli Correlati

• Giroscopio
• Movimento Lagrange della trottola
• Nutazione
• Precessione di Schiff
• Trottola

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