Prodotto misto

In geometria , il prodotto misto è il nome assunto dal determinante in un quadro euclideo orientato. Il suo valore assoluto è interpretato come il volume di un parallelotopo .

Per il prodotto misto in uno spazio euclideo orientato tridimensionale, vedere l'articolo geometria vettoriale .

Definizione

Lasciate E sia un orientamento spazio euclideo di dimensione n. O B base ortonormale diretta di E . Il prodotto misto di n vettori di E è definito da ${\ displaystyle (x_ {1}, ..., x_ {n}) \ mapsto [x_ {1}, ..., x_ {n}] = {\ det} _ {B} (x_ {1}, ..., x_ {n})}$

Non dipende dalla base ortonormale diretta B scelta.

Il prodotto misto è zero se e solo se la famiglia di x i è correlata, strettamente positivo se e solo se costituisce una base diretta, vale 1 se costituisce anche una base ortonormale diretta.

Controlla la disuguaglianza di Hadamard

[x_ {1}, \ dots, x_ {n}] \ leq \ prod \ limits _ {{i = 1}} ^ {n} \ | x_ {i} \ |

Quando i vettori formano una famiglia libera, c'è uguaglianza se e solo se questa famiglia è ortogonale. In altre parole, date le lunghezze dei lati, il parallelotopo destro è quello con il volume maggiore.

Per la produzione di vettori particolari (con coefficienti 1 e -1) verificando il caso di uguaglianza vedi matrice di Hadamard .

Dimostrazione dell'indipendenza della base ortonormale diretta

Gli endomorfismi che inviano una base ortonormale diretta su una base ortonormale diretta sono gli automorfismi ortogonali del determinante 1. Il determinante di una famiglia di vettori x 1 , ... x n in due basi ortonormali dirette ha quindi lo stesso valore.

In uno spazio euclideo, e anche in uno spazio reale prehilbertiano di qualsiasi dimensione, le determinanti consentono anche il calcolo dei volumi di parallelotopi di qualsiasi dimensione finita sotto forma di matrici e determinanti Gram .

Questa volta sono volumi non orientati e non è possibile fornire una versione orientata.

Collegamento del prodotto misto con il prodotto esterno e la dualità di Hodge

Con la dualità di Hodge , è possibile passare dal vettore 0 1 ad un vettore n della forma del prodotto esterno di vettori di base ortonormale diretta e 1 , ..., e n . Viene quindi scritto il prodotto esterno di qualsiasi n vettori

{\ Displaystyle x_ {1} \ wedge x_ {2} \ wedge \ dots \ wedge x_ {n} = [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]. \ star 1}

È anche possibile vedere l'applicazione del prodotto misto come una doppia forma n- lineare di 0-forma 1

{\ displaystyle [\ dots] = {\ rm {d}} e_ {1} \ wedge {\ rm {d}} e_ {2} \ wedge \ dots \ wedge {\ rm {d}} e_ {n} = \ star 1}

Definizione generale del prodotto incrociato

Utilizzando il prodotto dot

Per tutti del , l'applicazione è una forma lineare. Essendo E uno spazio euclideo di dimensione finita, esiste un vettore unico, notato in modo tale che: ${\ displaystyle (x_ {1}, \ dots x_ {n-1})}$ ${\ displaystyle E ^ {n-1}}$ ${\ Displaystyle x \ in E \ to [x, x_ {1}, ..., x_ {n-1}]}$ ${\ displaystyle x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1}}$

{\ displaystyle \ forall x \ in E, [x, x_ {1}, ..., x_ {n-1}] = \ left \ langle x \, | \, x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1} \ right \ rangle}

Il vettore è chiamato prodotto incrociato di . ${\ displaystyle x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1}}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ dots x_ {n-1})}$

L'applicazione del prodotto incrociato è (n-1) -lineare alternata . Il prodotto incrociato svanisce se e solo se la famiglia è imparentata.

Le coordinate del prodotto incrociato sono date da

{\ displaystyle x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1} = {\ begin {vmatrix} x_ {1} {} ^ {1} & \ cdots & x_ {1} {} ^ {n} \ \\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ x_ {n-1} {} ^ {1} & \ cdots & x_ {n-1} {} ^ {n} \\\ mathbf {e} _ {1 } & \ cdots & \ mathbf {e} _ {n} \ end {vmatrix}}}

denotando e i i vettori della base ortonormale diretta. In altre parole, le coordinate del prodotto incrociato sono cofattori di questa matrice.

Di Hodge duality

La definizione precedente può essere tradotta per mezzo della dualità di Hodge come segue, con una corrispondenza tra il prodotto incrociato e il prodotto esterno degli n -1 vettori . Il prodotto incrociato è l'unico vettore tale che: $\ volte$ $\ wedge$ $x_ {i}$

{\ Displaystyle x_ {1} \ wedge x_ {2} \ wedge \ dots \ wedge x_ {n-1} = \ star \ left (x_ {1} \ times x_ {2} \ times \ dots \ times x_ {n -1} \ right)}

Possiamo anche scrivere, sapendo che, per un vettore ( n -1) , abbiamo : $\ eta$ ${\ Displaystyle \ star \ star \ eta = (- 1) ^ {n-1} \; \ eta}$

{\ displaystyle x_ {1} \ times x_ {2} \ times \ dots \ times x_ {n-1} = (- 1) ^ {n-1} \ star \ left (x_ {1} \ wedge x_ {2 } \ wedge \ dots \ wedge x_ {n-1} \ right)}

Ciò costituisce una definizione alternativa del prodotto incrociato, equivalente alla seguente proprietà. Il prodotto incrociato è l'unico vettore tale che, per tutti di , abbiamo: ${\ Displaystyle x_ {1} \ times x_ {2} \ times \ dots \ times x_ {n-1}}$ ${\ displaystyle (y_ {1}, \ dots y_ {n-1})}$ ${\ displaystyle E ^ {n-1}}$

{\ displaystyle [x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1}, y_ {1}, \ dots, y_ {n-1}] = \ det (\ langle x_ {i} \, | \ , y_ {j} \ rangle) _ {1 \ leq i \ leq n-1,1 \ leq j \ leq n-1}}

. Dimostrazione

Se notiamo , allora: ${\ displaystyle \ omega = \ star 1}$

{\ Displaystyle [x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1}, y_ {1}, \ dots, y_ {n-1}] \, \ omega = (- 1) ^ {n-1 } [y_ {1}, \ dots, y_ {n-1}, x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1}] \, \ omega}

{\ Displaystyle = (- 1) ^ {n-1} y_ {1} \ wedge \ dots \ wedge y_ {n-1} \ wedge (x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1}) }

{\ Displaystyle = y_ {1} \ wedge \ dots \ wedge y_ {n-1} \ wedge \ star (x_ {1} \ wedge \ dots \ wedge x_ {n-1})}

{\ Displaystyle = \ left \ langle y_ {1} \ wedge \ dots \ wedge y_ {n-1} \, | \, x_ {1} \ wedge \ dots \ wedge x_ {n-1} \ right \ rangle \ , \ omega}

{\ Displaystyle = \ det \ langle x_ {i} \, | \, y_ {j} \ rangle) _ {1 \ leq i \ leq n-1,1 \ leq j \ leq n-1} \, \ omega }

Note e riferimenti

Lelong-Ferrand / Arnaudies, Corso di matematica, Algebra , t. Io, Dunod,1974, p. 393
(in) " CrossProduct " su ncatlab.org