La galleggiabilità è la forza particolare realizzata da un corpo posto totalmente o parzialmente in un fluido ( liquido o gas ) e sottoposto ad un campo di gravità . Questa forza deriva dall'aumento della pressione del fluido con la profondità o l'altitudine (effetto della gravità sul fluido, vedere l'articolo idrostatico ): essendo la pressione maggiore sulla parte inferiore di un oggetto sommerso rispetto alla sua parte superiore, il risultato è una spinta verso l'alto generalmente verticale. È da questa spinta che definiamo la galleggiabilità di un corpo. Questa spinta fu studiata per la prima volta da Archimede .
“Qualsiasi corpo immerso in un fluido a riposo, completamente bagnato da esso o attraversando la sua superficie libera, subisce una forza verticale, diretta dal basso verso l'alto ed uguale (e contraria) al peso del volume del fluido spostato. Questa forza è chiamata spinta di Archimede . Si applica al centro di massa del fluido spostato, detto centro di spinta . "
Affinché il teorema si applichi, il fluido sommerso e il corpo sommerso devono essere a riposo. Deve anche essere possibile sostituire il corpo sommerso con fluido immersivo senza rompere l'equilibrio, il controesempio è il tappo di una vasca da bagno piena d'acqua: se questa viene sostituita da acqua, è chiaro che la vasca si sta svuotando e che il il fluido non è più a riposo. Il teorema non si applica poiché siamo in un caso in cui il tappo non è completamente bagnato dal liquido e non attraversa la sua superficie libera.
Una volta rispettate le condizioni precedenti, in un campo gravitazionale uniforme, la spinta di Archimede, rilevata, è data dalla formula:
P→A=-mfg→{\ displaystyle {\ vec {P}} _ {\ rm {A \,}} = - \, m _ {\ rm {f}} \, {\ vec {g}}} o :Nel caso particolare in cui anche la densità ρ del fluido è uniforme, si ha:
P→A=-ρVg→{\ displaystyle {\ vec {P}} _ {\ rm {A}} = - \, \ rho \, V \, {\ vec {g}}} o :Se consideriamo le intensità ( norme ) delle forze allora, notando P A e g le norme dei vettori associati, abbiamo:
L'intensità P A della spinta di Archimede è espresso in N , la densità ρ in kg m -3 , il volume di fluido spostato V in m 3 e l'accelerazione di gravità g in m s -2 .
Considera un fluido a riposo. Delimitiamo, con il pensiero, un certo volume di qualsiasi forma all'interno di questo fluido. Anche questo volume è a riposo: nonostante il suo peso, questo volume non scende. Ciò significa quindi che il suo peso è rigorosamente compensato da una forza contraria, che lo mantiene in posizione, e che proviene dal fluido esterno. Ora sostituiamo, sempre col pensiero, questo volume con un corpo qualunque. Poiché la forza che ha mantenuto il fluido in equilibrio è una forza di compressione che agisce sulla superficie del volume, è possibile supporre che questa stessa forza si applichi ancora al corpo sommerso: è sempre opposta al peso del fluido spostato. È la spinta di Archimede. Il fatto che i campi di forza siano identici per il fluido omogeneo a riposo e per il corpo immerso nel fluido a riposo è detto "teorema di solidificazione".
Supponiamo che un cubo di spigolo a sia completamente immerso in un liquido, la cui faccia superiore sia orizzontale e si trovi a una profondità z 1 > 0 (la direzione positiva è verso il basso). Indicheremo il vettore unitario diretto lungo l'asse di z crescente (quindi orientato verso il basso).
Nel caso di un liquido incomprimibile a riposo soggetto ad un campo gravitazionale uniforme, la pressione assoluta p ad una profondità z vale:
o :Si consideri una colonna liquida, simile ad una pavimentazione retta di altezza variabile z e la cui superficie di base è costante ed è uguale ad A. Ad una profondità z , la pressione idrostatica corrisponde alla norma P del peso , divisa per la base A di la colonna liquida: p ( z ) = P / A .
Tuttavia, l'espressione del peso della colonna liquida è:
o :Otteniamo quindi, utilizzando la formula p ( z ) = P / A:
.La pressione assoluta è quindi
.Per simmetria , le forze di pressione esercitate sulle quattro facce laterali del cubo si annullano a due a due.
La forza , esercitata dal liquido sulla faccia superiore (di area A = a 2 ) del cubo, è diretta dall'alto verso il basso e vale:
.La forza diretta dal basso verso l'alto, esercitata dal liquido sulla faccia inferiore (di area A = a 2 ) del cubo, che si trova alla profondità z 2 = z 1 + a , vale:
.La risultante delle forze di pressione vale quindi:
o :La forza risultante è quindi del tutto uguale all'opposto del peso del volume di liquido spostato. Questa forza essendo negativa, è ben orientata verticalmente dal basso verso l'alto.
È possibile generalizzare la precedente dimostrazione ad un volume di qualsiasi forma. Basta scomporre la superficie confinante con il volume in un'infinità di elementi infinitesimi d S ipotizzati piani, quindi sommare, mediante il calcolo degli integrali , di tutte le forze infinitesime esercitate su ciascun elemento di superficie .
Si può dedurre il teorema di Archimede da quella del gradiente : supponiamo un volume specificato V , delimitata da una superficie chiusa S , immerso interamente in un fluido di densità ρ sottoposto ad un campo di gravità , non necessariamente uniforme.
Per definizione della pressione p , la risultante delle forze di pressione esercitate sul volume è:
o :Per il teorema del gradiente quindi la legge fondamentale dell'idrostatica , questa espressione diventa:
che è l'opposto del peso del volume di fluido spostato.
Immergiamo completamente un solido di volume V , massa m e densità ρ in un fluido di densità uniforme ρ f , quindi rilasciamolo dalla quiete. All'inizio, essendo la velocità nulla, sul solido agiscono solo due forze: il suo peso F p (verso il basso) e la spinta di Archimede F a (verso l'alto).
F p = ρ V g F a = ρ f V g F p / F a = ρ / ρ fIn questo caso, il rapporto di densità è equivalente a quello delle densità :
Nei due casi in cui il solido non è in equilibrio, il suo successivo movimento è determinato da tre forze: il suo peso, la spinta di Archimede (opposto al peso) e una forza di attrito viscoso F f (opposto alla velocità).
Secondo alla seconda legge del moto di Newton , abbiamo poi:
F p - F a ± F f = m a (la direzione positiva è verso il basso)dove a è l'accelerazione del solido.
Poiché la forza di attrito viscoso non è costante, ma aumenta con la velocità, l'accelerazione diminuisce gradualmente, in modo che il solido raggiunga più o meno rapidamente una velocità limite, quando la risultante delle forze è nulla.
Consideriamo un volume solido V e densità ρ S galleggiante sulla superficie di un liquido densità ρ L . Se il solido galleggia è perché il suo peso è bilanciato dalla spinta di Archimede:
F a = F p .Essendo la spinta di Archimede uguale (in valore assoluto) al peso del volume di liquido spostato (uguale al volume V i sommerso), possiamo scrivere:
ρ L V i g = ρ S V g - (1).Il volume sommerso vale quindi:
V io = ( ρ S / ρ L ) V - (2).Poiché V > V i , segue che ρ S < ρ L .
Applicazione al caso di un icebergConsideriamo un pezzo di ghiaccio puro a 0 °C che galleggia nell'acqua di mare . Sia ρ S = 0,917 g/cm 3 e ρ L = 1,025 g/cm 3 (avremmo ρ L = 1.000 g/cm 3 per acqua pura a 3,98 °C ). Il rapportoρ Sρ L(vale a dire la densità relativa ) è pari a 0,895, per cui il volume sommerso V i rappresenta quasi il 90% del volume totale V dell'iceberg.
Un cubetto di ghiaccio che si scioglie in un bicchiereÈ facile verificare che lo scioglimento di un pezzo di ghiaccio puro che galleggia sull'acqua pura avviene senza variazione del livello dell'acqua. Il volume di ghiaccio sommerso corrisponde infatti al volume di acqua liquida necessaria per eguagliare il peso del cubetto di ghiaccio ( Eq. 1). Sciogliendo, il cubetto di ghiaccio produce (per conservazione della massa) proprio questo volume d'acqua, che "tappa il buco lasciato dalla scomparsa del ghiaccio solido". Il livello dell'acqua rimane lo stesso. Nella figura a fianco, il volume delimitato da linee tratteggiate è, nel bicchiere di sinistra, il volume di ghiaccio immerso e, nel bicchiere di destra, il volume di acqua liquida prodotta dallo scioglimento del cubetto di ghiaccio.
Possiamo anche fare il seguente calcolo: se consideriamo, ad esempio, un cubetto di ghiaccio di 1 cm 3 e densità 0,917 g cm -3 (che contiene quindi 0,917 g di acqua), il volume immerso è 0,917 cm 3 ( Eq. 2 ) (come un iceberg, la maggior parte è sott'acqua). Quando il cubetto di ghiaccio si sarà sciolto, questi 0,917 g di acqua che ora avrà una densità di 1 g · cm -3 occuperà esattamente il volume occupato dalla parte sommersa del cubetto di ghiaccio.
Tutto avviene come se la spinta di Archimede si applicasse al centro dello scafo , cioè al baricentro del volume di fluido spostato.
Questa caratteristica è importante per il calcolo della stabilità di un sottomarino sott'acqua o di un aerostato : pena il ribaltamento di queste macchine, è necessario che il loro baricentro si trovi al di sopra del loro baricentro.
Nel caso di una nave, invece, il baricentro dello scafo si trova spesso al di sotto del baricentro per evitare eccessivi momenti di raddrizzamento. Tuttavia, quando l'inclinazione dell'imbarcazione cambia ( rollio ), il centro dello scafo si sposta lateralmente più del centro di gravità, generando una coppia che tende a riportare l'imbarcazione alla sua inclinazione originale. La stabilità è poi assicurata dalla posizione del metacentro, che è il punto di applicazione delle variazioni di spinta. Questo metacentro deve essere al di sopra del centro di gravità.
Aneddoticamente, possiamo notare che i progettisti di sottomarini devono garantire contemporaneamente due tipi di equilibrio per le loro macchine: l'equilibrio in immersione e l'equilibrio in superficie.
Il Trattato dei corpi galleggianti , in cui Archimede espone le leggi della statica dei fluidi - e le condizioni di equilibrio dei corpi solidi immersi in un fluido o galleggianti su di esso - è probabilmente l'opera più nota di Archimede, perché tutti ricordiamo l'aneddoto riportato da Vitruvio secondo il quale Archimede avrebbe avuto l'intuizione del principio fondamentale dell'idrostatica durante il bagno:
Archimede, letterato greco vissuto a Siracusa , Sicilia dal 287 a.C. d.C. al 212 a.C. d.C. , è noto per i suoi numerosi lavori scientifici, teorici o pratici, sia in matematica che in fisica . Il Trattato sui corpi galleggianti che studia rigorosamente l'immersione di un corpo, solido o fluido, in un fluido di densità minore, uguale o maggiore, pone le basi per la branca della meccanica dei fluidi , che verrà chiamata più tardi " idrostatica ". Questo libro è il teorema che porta il nome dello scienziato, che è pienamente dimostrato che il XVI ° secolo.
Il Trattato sui corpi galleggianti contiene altre proposizioni relative alla spinta di Archimede:
Vitruvio riferisce che re Gerone II di Siracusa (306-214) avrebbe chiesto al suo giovane amico e consigliere scientifico Archimede (allora 22enne) di verificare se una corona d'oro , che aveva fatto in offerta a Zeus, fosse tutta d'oro o se l'artigiano vi avesse messo dell'argento . Il controllo era ovviamente di non danneggiare la corona. Anche la forma di questo era troppo complessa per calcolare il volume dell'ornamento. Archimede avrebbe trovato un modo per verificare se la corona fosse davvero d'oro, mentre era nel bagno pubblico, osservando come gli oggetti galleggiavano al suo interno. Sarebbe poi uscito in strada completamente nudo, gridando " Eureka !" » (l'ho trovata!), una formula che da allora è diventata famosa.
L'osservazione che fece Archimede al bagno pubblico è che, a parità di volume dato, i corpi non hanno lo stesso peso, cioè hanno una massa per unità di volume diversa . Oggi si parla di densità . L'argento (densità 10.500 kg m -3 ) è meno denso dell'oro (densità 19.300 kg m -3 ), quindi ha una densità inferiore: per ottenere la stessa massa, ci vuole una quantità d'argento maggiore dell'oro. Se l'artigiano nascondeva del denaro nella corona del re, Archimede ne deduceva che la corona doveva essere più grande che se fosse stata fatta esclusivamente d'oro. Così l'inganno del gioielliere fu smascherato.
Per rispondere alla domanda di re Ierone, Archimede riuscì quindi a confrontare i volumi d'acqua spostati dalla corona e una quantità d'oro di identica massa. Se entrambi muovono lo stesso volume d'acqua, allora la loro densità è uguale e si può concludere che entrambi sono fatti dello stesso metallo. Per eseguire l'esperimento si può immaginare di immergere la massa d'oro in un recipiente colmo fino all'orlo (e munito di un beccuccio per osservare meglio la cosa). Una certa quantità d'acqua traboccherà quindi dal contenitore (può essere raccolta per misurarla). Quindi, rimuoviamo l'oro e lo sostituiamo con la corona da studiare. Se la corona è completamente d'oro, l'acqua non traboccherà. D'altra parte, se la sua densità è inferiore e quindi il suo volume maggiore a parità di massa, traboccherà acqua aggiuntiva.
Il volume d'acqua spostato dipenderà dalla proporzione dell'argento nell'oro; poiché l'oro è circa due volte più denso dell'argento, sostituire il 10% in massa dell'oro con l'argento porta ad un aumento del volume del 10%. Ma a causa dell'elevata densità dell'oro, il suo volume è molto basso: il volume di una corona di 1 kg d'oro è solo poco più di 50 cm 3 e sostituire il 10% di oro con argento fa solo una differenza di circa 4,34 cm 3 (il volume di acqua in un cucchiaino)
Il metodo così descritto da Vitruvio presenta due inconvenienti. La prima è che non mette in gioco qui il principio di Archimede. Il secondo problema è che in condizioni realistiche, a causa della densità dell'oro e del piccolo volume della corona, il volume dell'acqua spostata è molto piccolo e la sua misurazione è disturbata dall'acqua che può andare persa nelle diverse operazioni. È quindi improbabile che Archimede abbia potuto trarre conclusioni significative da tale esperienza.
Un metodo più realistico è il seguente. Bilanciamo un equilibrio con la corona da un lato e l'oro puro dall'altro, le cui masse sono uguali. Quindi, gli oggetti pesati vengono completamente immersi (per superare l'influenza della bilancia della bilancia, possiamo assicurarci che siano rigorosamente identici, o, meglio, rimuoverli sostituendoli con un filo sottile. e densità vicina a quella dell'acqua ). Se la corona non è oro puro, è di volume un po' più grande, quindi produce una forza di Archimede verso l'alto un po' maggiore della stessa massa di oro puro e l'equilibrio iniziale della bilancia è rotto. Anche in questo caso, la differenza di peso è piccola; nelle condizioni sopra immaginate, corrisponde al peso di 5 cm 3 di acqua, cioè 5 g . Serve quindi un equilibrio in grado di rilevare una tale variazione, difficile, ma non irrealistica.
Il dispositivo è stato effettivamente prodotto sotto il nome di equilibrio idrostatico .
L'aneddoto è perpetuato da titoli come La Baignoire d'Archimède. Una piccola mitologia della scienza di Sven Ortoli e Nicolas Witkowski (1998), o Il bagno di Archimede - Antologia poetica di Obériou di Henri Abril (2012).