Torsore

Un torsore è uno strumento matematico utilizzato principalmente nella meccanica dei solidi indeformabili, per descrivere i movimenti dei solidi e le azioni meccaniche che subiscono da un ambiente esterno.

Approccio meccanico

Un certo numero di vettori utilizzati in meccanica sono momenti: momento di forza , momento , momento dinamico . I campi momento hanno proprietà comuni e possono essere modellati dallo stesso oggetto matematico chiamato "torsore".

Se siamo interessati al modello del solido indeformabile , il fatto che la distanza tra due punti non vari significa che il campo di velocità di un tale solido è anche un torsore.

Tra queste proprietà comuni, i torsori possono essere descritti da tre soli parametri, un punto e due vettori, chiamati "elementi di riduzione". Ciò consente di “riassumere” un intero campo vettoriale mediante tre parametri vettoriali o, se consideriamo le tre componenti dei vettori, mediante nove parametri scalari.

Da un punto di vista pratico, il torsore può essere visto come un formalismo, un modo per descrivere un campo vettoriale. Questo formalismo fornisce strumenti che semplificano la risoluzione dei problemi, in particolare se si utilizza il modello delle connessioni cinematiche perfette .

Definizione

Definizione Un torsore è un campo vettoriale equiproettivo definito su uno spazio affine euclideo ℰ di dimensione 3.

Ricordiamo che uno spazio affine ℰ è un insieme non vuoto costruito su uno spazio vettoriale E, anch'esso di dimensione 3. In meccanica, lo spazio affine ℰ è lo spazio reale.

Vocabolario Sia un punto P di ℰ. Il valore assunto dal campo a questo punto è chiamato “momento di torsione nel punto P”. Valutazione In meccanica, generalmente notiamo . Applicazioni In meccanica, ℰ è lo spazio reale. Il torsore può essere il campo dei momenti di una forza, i momenti angolari o dinamici di un qualsiasi solido, o il campo dei vettori di velocità di un solido indeformabile.

Proprietà

Endomorfismo antisimmetrico

Il torsore è quindi un'applicazione di in E.

è una mappa affine la cui parte lineare è un endomorfismo antisimmetrico di E.

Equiproiettività

Per definizione, un torsore è un campo equiproettivo. Ha quindi ovviamente la proprietà dell'equiproiettività:

dove ⋅ indica il prodotto scalare .

L'equiproiettività del campo di velocità di un solido indeformabile è la proprietà fondamentale che descrive il comportamento cinematico di questi corpi.

Questa relazione è anche chiamata legge di trasferimento dei momenti poiché si ottiene il momento del torsore nel punto P usando quello in O come O e P appartengono allo stesso solido indeformabile.

Risultato e riduzione

Relazione di Varignon (regola di trasporto del momento)  ( Ram 1987 , p.  280)  -  Siaun torsore su ℰ. C'è un vettore unico cheverifica:

Diciamo che è la "risultante" (o "il vettore") di .

Reciproco: se è una mappa da ℰ a E ed esiste un punto A ∈ ℰ e un vettore soddisfacente:

allora è un torsore su ℰ ed è la risultante.

Un mnemonico da ricordare è il nome "formula di BABAR":

.

Un torsore è quindi determinato da due vettori, che costituiscono la sua “riduzione” in qualsiasi punto P nello spazio, ovvero:

La risultante è un vettore caratteristico del campo che rende possibile, dal momento in un punto particolare, trovare gli altri momenti. Pertanto, i torsori formano tra i campi vettoriali un sottospazio a 6 dimensioni.

Scriviamo quindi:

oppure proiettando la risultante e il punto su base ortonormale  :

dove X, Y, Z sono le coordinate della risultante e L, M, N le coordinate del momento. Queste coordinate sono chiamate "  coordinate plückeriennes  " (dal matematico tedesco Julius Plücker ).

Asse di un torso

Considera un torsore di risultante diversa da zero. Quindi mostriamo che i punti P tali che è collineare con formano una linea chiamata asse centrale del torsore. Questo asse centrale esiste ed è unico per ogni torsore, tranne nel caso particolare della coppia e del torsore nullo, dove la risultante è zero. Nel caso di uno slider, i momenti sull'asse centrale sono zero.

Per il torsore cinematico di un solido (i cui momenti sono le velocità dei punti del solido), la risultante è il vettore istantaneo di rotazione. Il movimento del solido è generalmente la sovrapposizione di un movimento rotatorio e di un movimento traslatorio parallelo all'asse di rotazione istantaneo (avvitamento). I punti del solido in traslazione sono appunto i punti dell'asse centrale del cinematismo torsionale.

Invariante scalare

L' invariante scalare è il prodotto scalare della risultante e del momento di un torsore. È costante in qualsiasi punto dello spazio per un dato torsore.

Veri vettori e pseudovettori

Il campo vettoriale (il campo del momento) e la risultante sono collegati da un prodotto incrociato. I vettori di spostamento - di tipo con (A, B) ∈ ℰ 2 - essendo sempre vettori veri , allora:

Tipi di torsori

Torsore nullo

Il campo dei vettori nulli è chiamato torsore nullo . Si nota {0} (da non confondere con il singleton zero).

Coppia di torsori

Una coppia è un campo vettoriale uniforme, quindi rappresentato da un torsore la cui risultante è zero.

Slider

Uno slider è un torsore il cui campo del momento svanisce di almeno un punto (in modo equivalente, è un torsore di invarianza zero e risultante diversa da zero).

.

In questo caso, in qualsiasi altro punto O si verifica, a causa della relazione di trasporto del momento:

,

anche il punto A appare come il "punto di applicazione" della risultante: questo concetto è comunemente usato per le forze in fisica (es. peso ). Tuttavia, è ovvio che if è collineare con , quindi per uno slider tutti i punti a destra con il risultante hanno tempo zero. È possibile "trascinare" il punto di applicazione da , da cui il nome.

Esempio: se si assume che il campo di gravità sia uniforme , il torsore delle azioni legate al peso di un corpo è uno slider. Infatti in questo caso si scrive la risultante :, la sommatoria relativa a tutti i punti del corpo. È quindi facile vedere che il momento del peso in qualsiasi punto O è scritto , essendo m la massa totale del corpo e G il centro di massa di questo. È ovvio che il momento è zero in G , che è quindi il punto di applicazione del peso, e sarà zero in qualsiasi punto della linea di azione del peso: il corrispondente torsore sarà quindi ridotto a cursore. D'altra parte se il campo di gravità non può più essere considerato uniforme, ad esempio se le dimensioni del corpo considerate sono sufficientemente grandi, non c'è motivo per cui il momento non possa essere annullato in un punto e che il torsore corrispondente sia ridotto a un dispositivo di scorrimento.

Qualsiasi svolta

Qualsiasi torsore è un torsore scalare invariante diverso da zero (prodotto scalare della risultante e del momento). Qualsiasi torsore può essere scomposto in un numero infinito di combinazioni di un torsore di coppia e un cursore.

Operazioni sui torsori

Essendo un torsore un campo di vettori, si possono definire tutte le operazioni sui campi di vettori. L'unica operazione realmente utilizzata è la somma di due torsori.

Si noti che la riduzione di una somma di torsori in un punto è la somma delle riduzioni dei torsori in questo punto:

sia un torsore risultante il cui momento nel punto A è , e un torsore risultante il cui momento nel punto A è . Allora, è il torsore risultante il cui momento in A è . Dimostrazione

Per quanto riguarda il momento, deriva molto semplicemente dalla nozione di somma di campi vettoriali: consiste nell'aggiungere i vettori nello stesso punto di ℰ:

o, con la notazione dei momenti:

Per quanto riguarda la risultante, questa deriva dalla distributività del prodotto incrociato sull'aggiunta  :

quindi è il risultato di .

Torsori comunemente usati in meccanica

Torsore statico

Il campo dei momenti di una forza rispetto a un punto è un torsore, noto come torsore delle azioni meccaniche o torsore statico . La risultante del torsore è la forza. Si può ad esempio formulare il principio di Archimede con i torsori: “Il torsore delle forze di pressione è uguale e opposto al torsore delle forze di gravità nel fluido considerato. "

Il torsore statico è ampiamente utilizzato per eseguire calcoli di meccanica statica per un solido indeformabile, di meccanica quasi statica (approssimazione di un problema dinamico dove gli effetti dinamici sono trascurati e si considera che il sistema attraversi un'infinità di stati di equilibrio statico ) o calcoli di resistenza dei materiali (statica del solido deformabile). Viene anche utilizzato per eseguire calcoli dinamici contrariamente a quanto potrebbe suggerire il suo nome, il principio fondamentale della dinamica che utilizza questo torsore.

Torsione cinematica

Il campo di velocità di un solido indeformabile in un dato istante è un torsore, chiamato torsore cinematico del solido. Il risultato è il vettore istantaneo di rotazione.

Torsore cinetico

Sia A un punto influenzato da una massa me da una velocità rispetto a un dato sistema di riferimento. Se scegliamo un punto qualsiasi P, possiamo definire il momento angolare di A rispetto a P da:

.

Questo campo vettoriale è chiamato un torsor torsor cinetica A. La risultante è la quantità di movimento di A, o impulsi , . Il calcolo di un torsore cinetico è spesso un passaggio intermedio per calcolare un torsore dinamico.

Torsore dinamico

Definiamo allo stesso modo il campo del momento dinamico

dov'è l'accelerazione di A. Questo campo è un torsore chiamato torsore dinamico. La sua risultante è la quantità vettoriale dell'accelerazione .

La nozione di momento dinamico permette di generalizzare il principio fondamentale della dinamica (PFD) alla meccanica del solido , tenendo conto della corretta rotazione del solido. Con i torsori, il PFD è espresso come segue:

“Esiste un sistema di coordinate galileiano tale che in ogni momento il torsore dinamico del solido nel suo movimento rispetto a questo riferimento è uguale al torsore delle forze esterne agenti sul solido. "

Torsore di piccoli spostamenti

Il torsore di piccolo spostamento è utilizzato principalmente in metrologia . La sua risultante è una rotazione e il suo momento è uno spostamento. Questo torsore è valido solo quando si verifica l'assunzione di piccoli spostamenti, cioè quando gli spostamenti e le rotazioni sono piccoli. Ciò consente in particolare di linearizzare le formule trigonometriche e quindi di semplificare i calcoli. Sono ad esempio utilizzati per determinare un piano dei minimi quadrati in funzione di più misure di punti per verificare i vincoli geometrici di una parte lavorata. La verifica della conformità geometrica è un ambito che ben si presta all'uso di questi torsori, poiché i difetti delle parti sono generalmente trascurabili rispetto alle dimensioni delle parti studiate.

Torsore di coesione

Il torsore di coesione è un torsore statico utilizzato per modellare le azioni meccaniche interne nello studio di solidi indeformabili.

Esempio di utilizzo

Si consideri una barra in equilibrio, appoggiata su uno dei suoi punti, di peso trascurabile, e richiesta da due forze (in un punto A1 della barra) e (in un punto A2). Sia O il suo fulcro e sia R la forza di reazione nel punto O.

Secondo le leggi di Newton, affinché la barra sia in equilibrio, la somma delle forze e la somma dei momenti devono essere zero. Pertanto,

(null torsor), che è equivalente a:

e a (da allora )

.

Equivalentemente, al punto A1,

.

Potere generale

In generale, qualsiasi solido in movimento e sottoposto a forze esterne può essere modellato da 2 torsori:

Alimentazione esterna ( )

Sia un insieme di solidi (indicato con i un indice) che costituisce ciò che chiamiamo sistema (annotato ). Il potere esterno è il potere di tutti gli sforzi esterni che vengono applicati al sistema. Ci poniamo in relazione al quadro di riferimento che è il quadro di riferimento di base, ovvero il quadro di riferimento del laboratorio, considerato galileiano.

Per calcolare la potenza esterna istantanea del sistema in movimento sottoposto a forze esterne, si calcola il comoment ( ) dei 2 torsori:

Che in realtà dà la seguente formula:

Potere interno ( ) I poteri interni ( ) di un sistema sono i poteri tra i vari solidi. È necessario utilizzare lo stesso metodo di calcolo vale a dire per eseguire un comoment dei 2 torsori. Solo tu devi stare molto attento con i torsori da usare. In effetti, questo momento si verifica tra il torsore delle forze di un solido sull'altro e il distributore delle velocità del solido in questione rispetto all'altro solido! .

Che danno:

Note  :

La potenza istantanea così calcolata non dipende dal punto A del solido ma il comomente va calcolato con i 2 torsori espressi nello stesso punto .

Dimostrazione

Formule di cambio punto (velocità e momento sono vettori espressi in un punto):


La potenza espressa nel punto A è: Usiamo la formula del cambio di punto: Quindi sviluppiamo: Ora sappiamo che: (permutazione circolare). Quindi il termine: è in realtà zero. Finalmente quindi ci imbattiamo: In altre parole, per ogni punto A e B del solido, abbiamo la seguente uguaglianza vettoriale:






Conclusione: abbiamo quindi chiaramente dimostrato che la potenza non dipende dal punto scelto.

Altro significato

Sia G un gruppo . Un G-torsor (traduzione letterale dall'inglese G-torsor ) designa un insieme su cui G agisce transitivamente (una singola orbita ) e senza fissare alcun punto. Ciò equivale a "dimenticare quale degli elementi di G è l'unità". Un torsore G e il gruppo associato G sono quindi lo stesso insieme, ma dotati di strutture diverse.

Lo spazio affine è un esempio per il gruppo delle traduzioni spaziali: l'aggiunta di due punti non ha significato, la loro differenza invece è un elemento del gruppo additivo delle traduzioni, cioè un vettore. Allo stesso modo, le note della scala a dodici toni (con identificazione delle ottave) formano un G-torsor per il gruppo additivo di interi modulo 12, i giorni della settimana per il gruppo , ecc. La linea reale e il gruppo additivo dei reali sono un altro esempio: l'energia di un sistema fisico è definita solo modulo una costante arbitraria, ma le variazioni di energia sono elementi del gruppo .

La fibra di un fascio principale è un G-torsor.

Note e riferimenti

  1. Ram 1987 , pag.  279

Vedi anche

Bibliografia

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