Legge dei seni

In trigonometria , la legge dei seni è una relazione di proporzionalità tra le lunghezze dei lati di un triangolo ei seni degli angoli rispettivamente opposti. Permette, conoscendo due angoli e un lato, di calcolare la lunghezza degli altri lati.

C'è una formula seno di presentazione simile nella trigonometria sferica .

Queste leggi sono enunciate e dimostrate, per la forma sferica, Abu Nasr Mansur all'inizio dell'XI ° secolo, per la forma piatta, Nasir al-Din Tusi , all'inizio del XIII ° secolo.

Legge dei seni in geometria piana

stati

Consideriamo un qualsiasi triangolo ABC, mostrato in Fig. 1 opposto, dove gli angoli sono indicati dalle lettere greche minuscole e i lati opposti agli angoli dalle lettere minuscole latine corrispondenti:

a = BC e α = angolo formato da [AB] e [AC];
b = AC e β = angolo formato da [BA] e [BC];
c = AB e γ = angolo formato da [CA] e [CB].

La cosiddetta formula del seno è quindi:

\, {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}}

Abbiamo anche di meglio:

\, {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {abc} {2S}} = 2R

dove R è il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo ABC e

S = {\ sqrt {p (pa) (pb) (pc)}}

è l'area del triangolo data dal mezzo perimetro p dalla formula di Erone .

Il rapporto di proporzionalità è talvolta riassunto come segue:

\, a \,: \, b \,: \, c = \ sin \ alpha \,: \, \ sin \ beta \,: \, \ sin \ gamma

Il teorema può essere utilizzato

per determinare il raggio del cerchio circoscritto
$\, R = {\ frac {a} {2 \ sin \ alpha}}$
per risolvere un triangolo che conosciamo due angoli e un lato.

Dimostrazioni

Esprimendo un'altezza in due modi

Consideriamo un triangolo di lati a , b , e c , e α, β, y suoi angoli ai vertici A , B , e C rispettivamente. L'altezza da C divide il triangolo ABC in due triangoli rettangoli. Indichiamo questa altezza con h ; possiamo applicare la definizione del seno nei due triangoli rettangoli per esprimere h :

{\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {h} {b}} {\ text {et}} \ sin \ beta = {\ frac {h} {a}}.}

Da cui deriviamo due espressioni per h :

h = b \ sin \ alpha = a \ sin \ beta \,

e così :

{\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}}.

Facendo lo stesso con l'altezza da A otteniamo:

{\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}}.

Calcolando l'area del triangolo

L'area S del triangolo può essere calcolata scegliendo il lato AB = c come base e h come altezza. Otteniamo quindi:

{\ displaystyle S = {\ frac {c \ volte h} {2}} = {\ frac {c \ volte b \ sin \ alpha} {2}}.}

Moltiplicando per , deduciamo: ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {S \ sin \ alpha}}}$

{\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {abc} {2S}}.}

Dimostriamo anche che

{\ displaystyle {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {abc} {2S}} \ quad {\ rm {et}} \ quad {\ frac {c} {\ sin \ gamma} } = {\ frac {abc} {2S}}.}

Per il teorema dell'angolo inscritto

Sostituendo $C$ con il punto $D$ diametralmente opposto ad $A$ sul cerchio circoscritto , troviamo (Fig. 3 e 4):

{\ displaystyle \ sin \ gamma = {\ frac {c} {2R}} \ quad {\ rm {quindi}} \ quad {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = 2R.}

Se $A$ e $B$ sono diametralmente opposti , questa costruzione non è possibile ma l'uguaglianza è immediata (Fig. 5).

Dimostriamo anche che

{\ displaystyle {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = 2R \ quad {\ rm {et}} \ quad {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = 2R.}

Formula seno in trigonometria sferica

Consideriamo un triangolo $ABC$ su una sfera di centro O . Indichiamo con α (rispettivamente β e γ ) l'angolo del triangolo al vertice A (rispettivamente B e C ). Indichiamo con a , b e c gli angoli sottesi al centro O della sfera dalla parte corrispondente del cerchio massimo. Quindi a denota l'angolo BOC , ecc. Naturalmente le lunghezze dei lati si deducono da a , b e c moltiplicandole per il raggio della sfera.

La formula del seno viene quindi enunciata come segue: ${\ displaystyle {\ frac {\ sin a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {\ sin b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {\ sin c} {\ sin \ gamma}} .}$

Evidenzia una dualità tra gli angoli al centro e gli angoli ai vertici.

In dimensioni superiori

Più in generale, per un n - semplice (ad esempio un tetraedro ( $n = 3$ ), un pentacoro ( $n = 4$ ), ecc.; il triangolo corrisponde al caso n = 2) di uno spazio euclideo di dimensione n , il valore assoluto del seno polare dell'insieme dei vettori normali alle facce attorno a un vertice, diviso per l'area della faccia opposta a questo vertice, non dipende da questo vertice, ed è uguale , dove V è il volume del simplex, e P il prodotto delle aree delle sue facce. ${\ displaystyle {\ frac {(nV) ^ {n-1}} {(n-1)! P}}}$

Note e riferimenti

( fr ) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Law of sines " ( vedi elenco degli autori ) .

Marie-Thérèse Debarnot, "Trigonometry" , in Roshdi Rashed (a cura di), Histoire des sciences arabe: Mathématiques et physique , t. 2, soglia,1997, pag. 161-198, pagg. 173 e 184
R. Bastin, B. Baudelet, S. Bouzette e P. Close, Maths 4 , de Boeck, coll. "Adamo",2009( ISBN 978-2-80410143-5 , leggi in linea ) , p. 241-242.
"La legge dei seni - Una semplice dimostrazione " , su blogdemaths.wordpress.com ,2011.

Vedi anche

link esterno

(it) Eric W. Weisstein , "La legge dei seni " , su MathWorld
(it) Eric W. Weisstein , " Legge generalizzata dei seni " , su MathWorld