Legge del coseno
In matematica, la legge del coseno è un teorema di geometria comunemente usato in trigonometria , che collega in un triangolo la lunghezza di un lato alle altre due e il coseno del dell'angolo formato da queste due parti. Questa legge è espressa in modo simile nella geometria piana, sferica o iperbolica .
Per quanto riguarda la geometria piana, è anche conosciuta con i nomi di teorema di Al-Kashi in Francia , o teorema di Pitagora generalizzato . Egli infatti generalizza il teorema di Pitagora a triangoli non rettangoli. Sebbene un risultato simile (solo con lunghezze) fosse già noto a Euclide, il nome francese del matematico persiano Ghiyath Al-Kashi (1380-1429) apparve negli anni '90 nei libri di testo scolastici pubblicati in Francia, l'appellations Theème generalized Pythagorean o legge di coseni utilizzati fino ad allora.
Nella geometria piana
stati
La legge del coseno si afferma come segue:
Si consideri un triangolo ABC, in cui utilizziamo le solite notazioni esposti in figura 1: una parte
α ,
β e
γ per gli angoli e, dall'altro,
un ,
b e
c per le lunghezze dei lati rispettivamente opposto questi angoli. Quindi viene verificata la seguente uguaglianza:
vs2=a2+b2-2ab cos γ.{\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ \ cos \ \ gamma.}
Storia
L'Elementi di Euclide risalente al III ° secolo aC. J. - C., conteneva già un approccio geometrico della generalizzazione del teorema di Pitagora : le proposizioni 12 e 13 del libro II trattano separatamente il caso di un triangolo ottuso e quello di un triangolo acutangle . L'assenza di una funzione trigonometrica e di algebra obbliga a formulare il teorema in termini di differenze di aree. Pertanto la proposizione 12 afferma:
"Nei triangoli ottusi, il quadrato del lato sottostante l'angolo ottuso è maggiore dei quadrati dei lati che includono l'angolo ottuso, il doppio del rettangolo compreso sotto quello dei lati dell'angolo ottuso sul cui prolungamento cade la perpendicolare, e sotto la linea presa esternamente dalla perpendicolare all'angolo ottuso. "
- Euclide, Gli elementi
Notando ABC l'angolo ottuso triangolo C e H il piede dell'altezza risultante da B , le notazioni moderne consentono di riassumere l'affermazione come segue:
AB2=VSA2+VSB2+2VSH×AVS{\ displaystyle AB ^ {2} = CA ^ {2} + CB ^ {2} + 2CH \ times AC}
Non è stato fino alla trigonometria arabo-musulmana nel Medioevo per vedere il teorema evolversi nella sua forma e nella sua portata. Nello stesso periodo furono stabilite le prime tavole trigonometriche per le funzioni seno e coseno . Nel 1428, troviamo un'affermazione del teorema, usando i coseni, nell'opera di al-Kashi , Le chiavi dell'aritmetica .
E 'agli inizi del XIX E secolo che le moderne notazioni algebriche consentono di scrivere il teorema nella sua forma attuale e che ci vuole in molte lingue nome della legge (o teorema) dei coseni.
Il teorema e le sue applicazioni
La legge dei coseni generalizza il teorema di Pitagora , poiché permette di affermare che l'angolo γ è giusto (cioè cos γ = 0 ) se e solo se c 2 = a 2 + b 2 .
Più in generale, il teorema viene utilizzato nella triangolazione per risolvere un triangolo , cioè per determinare
- il terzo lato di un triangolo di cui conosciamo un angolo e i lati adiacenti:
vs=a2+b2-2abcosγ{\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma}}} ;
- gli angoli di un triangolo di cui conosciamo i tre lati:
γ=arccosa2+b2-vs22ab.{\ displaystyle \ gamma = \ arccos {\ dfrac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}}.}Queste formule sono numericamente instabile nel caso di triangoli perno, cioè quando c è piccolo davanti a un e b - o, equivalentemente, quando γ è piccolo di fronte 1.
C'è un corollario della legge dei coseni: per due triangoli direttamente simili ABC e A'B'C '
vsvs′=aa′+bb′-(ab′+a′b)cosγ.{\ displaystyle cc '= aa' + bb '- (ab' + a'b) \ cos \ gamma. \,}
Dimostrazioni
Proprio come il teorema di Pitagora , la legge del coseno ha molte prove, alcune usano proprietà dell'area come quella di Euclide o la legge del coseno, altre usano proprietà trigonometriche o relative al cerchio. Infine, la legge dei coseni può essere vista come un'applicazione delle proprietà sul prodotto scalare .
La dimostrazione di Euclide
La dimostrazione di Euclide da Proposizione 12 (angolo ottuso) e 13 (angolo acuto) si basa sul teorema di Pitagora e coinvolge punto H altezza piede dopo B . Per Euclide questa proprietà è una proprietà sulle aree. Per l'angolo ottuso (proposizione 12), Euclide costruisce il quadrato esterno al triangolo AHB di lato [ AH ] e nota che
AH2=VSH2+VSA2+2×VSH×AVS{\ displaystyle AH ^ {2} = CH ^ {2} + CA ^ {2} +2 \ times CH \ times AC}Gli basta quindi aggiungere l'area del quadrato di lato HB
AH2+HB2=HB2+VSH2+VSA2+2×VSH×AVS{\ displaystyle AH ^ {2} + HB ^ {2} = HB ^ {2} + CH ^ {2} + CA ^ {2} +2 \ times CH \ times AC}e usa due volte il teorema di Pitagora
nel triangolo rettangolo AHB
AB2=AH2+HB2{\ displaystyle AB ^ {2} = AH ^ {2} + HB ^ {2}}
nel triangolo rettangolo CHB
VSB2=HB2+VSH2{\ displaystyle CB ^ {2} = HB ^ {2} + CH ^ {2}}
Dopo la semplificazione, otteniamo
AB2=VSA2+VSB2+2×VSH×AVS{\ displaystyle AB ^ {2} = CA ^ {2} + CB ^ {2} +2 \ times CH \ times AC}Una dimostrazione simile può essere fatta per l'angolo acuto.
Dimostrazione di Al-Kashi
Nel suo libro Key to Arithmetic nel 1429, Al-Kashi generalizza il teorema di Pitagora e introduce la trigonometria nell'uguaglianza.
Anche per lui questa proprietà è legata alle zone. Quindi, in un triangolo acutangle ABC , conduce per A , B e C le 3 altezze del triangolo, che ritaglia i rettangoli nei quadrati basati su CB , CA e AB .
Nella figura a fianco, dimostriamo l'uguaglianza delle aree dei rettangoli verdi dimostrando l'uguaglianza delle aree dei triangoli
-
JAE e JAB facendo scorrere un vertice parallelo a una base;
-
JAB e CAM mediante rotazione ad angolo retto;
-
CAM e FAM facendo scorrere un vertice parallelo a una base.
Facciamo lo stesso per i rettangoli rossi.
Per quanto riguarda i rettangoli blu, i cui lati hanno lunghezza CL (= CA ) e CE (= CB cos C ), per uno, e CI (= CB ) e CD (= CA cos C ) per l'altro, hanno la stessa area pari a CA × CB × cos C .
Deduciamo per somma
VSA2+VSB2=AB2+2VSA×VSB×cosVS{\ displaystyle CA ^ {2} + CB ^ {2} = AB ^ {2} + 2CA \ times CB \ times \ cos C}
Una dimostrazione simile è possibile per un triangolo ottuso operando per sottrazione di aree.
Da una divisione di aree
Un certo numero di teorema di dimostrazioni che coinvolgono un calcolo di aree . Va infatti notato che
-
a 2 , b 2 e c 2 sono le aree dei quadrati con rispettivi lati a , b e c ;
-
ab | cos γ | è quella di un parallelogramma di lati un e b formante un angolo π / 2 - γ , la variazione di segno del cos y quando l'angolo γ diventa ottuso fare un caso di studio obbligatoria.
La figura 6a (opposta) taglia un ettagono in due modi diversi in modo da dimostrare il teorema di Al-Kashi nel caso di un angolo acuto. Altoparlanti:
- in rosa, le aree a 2 , b 2 a sinistra, e le aree ab cos γ e C 2 a destra;
- in blu, il triangolo ABC, a destra come a sinistra;
- in grigio, alcuni triangoli aggiuntivi, identici al triangolo ABC e con lo stesso numero nei due ritagli.
L'uguaglianza delle aree a destra e a sinistra dà
a2+b2=vs2+2abcosγ{\ displaystyle \, a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} + 2ab \ cos \ gamma}.
La figura 6b (opposta) ritaglia un esagono in due modi diversi per dimostrare il teorema di Al-Kashi nel caso di un angolo ottuso. La figura mostra
- in rosa, le aree a 2 , b 2 e –2 ab cos γ a sinistra e l'area c 2 a destra;
- in blu, due volte il triangolo ABC, a destra ea sinistra.
L'uguaglianza delle aree a destra ea sinistra dà
a2+b2-2abcosγ=vs2{\ displaystyle \, a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma = c ^ {2}}.
Una dimostrazione rigorosa richiederebbe di dimostrare che le due divisioni sono effettivamente identiche, che utilizza principalmente i casi di uguaglianza dei triangoli .
Dal teorema di Pitagora
La figura 7 (a fianco) mostra come procedere per dimostrare la legge dei coseni nel caso di un triangolo con angoli acuti utilizzando il teorema di Pitagora su un sotto-triangolo rettangolo formato prendendo il piede dell'altezza. Solo l'ultimo passaggio non è indicato in figura: il teorema di Pitagora si applica al triangolo rettangolo la cui ipotenusa è il lato c :
vs2=(b-acosγ)2+(apeccatoγ)2=b2-2abcosγ+a2cos2γ+a2peccato2γ.{\ Displaystyle c ^ {2} = (ba \ cos \ gamma) ^ {2} + (a \ sin \ gamma) ^ {2} = b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma + a ^ {2} \ cos ^ {2} \ gamma + a ^ {2} \ sin ^ {2} \ gamma.}Usando l'identità straordinaria
cos2γ+peccato2γ=1,{\ displaystyle \ cos ^ {2} \ gamma + \ sin ^ {2} \ gamma = 1,}si ottiene il risultato atteso, previa semplificazione:
vs2=b2+a2-2abcosγ.{\ displaystyle c ^ {2} = b ^ {2} + a ^ {2} -2ab \ cos \ gamma.}Il metodo è in tutti i punti simile per gli angoli ottusi e porta a un risultato identico.
Usare la potenza di un punto rispetto a un cerchio
Consideriamo il cerchio di centro B e raggio [ BC ] (cfr. Figura a lato). Interseca la linea ( AC ) in C e K . La potenza del punto A rispetto a detto cerchio è:
AB2-BVS2=AVS¯⋅AK¯=AVS¯⋅(AVS¯+VSK¯){\ displaystyle \ mathrm {AB} ^ {2} - \ mathrm {BC} ^ {2} = {\ overline {\ mathrm {AC}}} \ cdot {\ overline {\ mathrm {AK}}} = {\ overline {\ mathrm {AC}}} \ cdot ({\ overline {\ mathrm {AC}}} + {\ overline {\ mathrm {CK}}})}da dove
vs2-a2=b(b-2a cos γ){\ displaystyle c ^ {2} -a ^ {2} = b \, (b-2a \ \ cos \ \ gamma)}.
A differenza dei precedenti, per questa dimostrazione non è necessario ricorrere a un caso di studio. Infatti, le misure algebriche consentono di trattare allo stesso modo un angolo acuto ( CK <0) e un angolo ottuso ( CK > 0).
Troviamo tracce dell'uso della potenza di un punto rispetto a un cerchio per determinare tutti gli angoli di un triangolo le cui lunghezze sono note, nell'opera di Nicolas Copernicus , Rivoluzioni delle sfere celesti . Presenta quindi due algoritmi, uno che utilizza il teorema di Pitagora generalizzato presente nell'opera di Euclide, l'altro che utilizza la potenza di un punto rispetto a un cerchio.
Così, in una figura simile a quello opposto, si sottolinea che, una e c essere conosciuto, la potenza del punto A rispetto al cerchio disegnato è noto
nel linguaggio matematico corrente, è
c 2 - a 2
Ne deduce che, poiché b è noto, AK è noto.
Infatti quindi
AK×b=vs2-a2{\ Displaystyle AK \ times b = c ^ {2} -a ^ {2}}AK=vs2-a2b.{\ displaystyle AK = {\ frac {c ^ {2} -a ^ {2}} {b}}.}
Poiché AK è noto, allora CK è noto.
Infatti, nella figura a fianco,
VSK=AK-b=vs2-a2-b2b.{\ displaystyle CK = AK-b = {\ frac {c ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2}} {b}}.}
Infine, sottolinea che essendo noto CK, è noto l'angolo KCB .
In effeti,
cos(KVSB)=VSK2a=vs2-a2-b22ab.{\ displaystyle \ cos (KCB) = {\ frac {CK} {2a}} = {\ frac {c ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2}} {2ab}}.}
E poiché l'angolo KCB è noto, lo è anche l'angolo ACB .
Quindi, troviamo la regola del coseno:
cos(γ)=a2+b2-vs22ab{\ displaystyle \ cos (\ gamma) = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}}}
Non gestendo misure algebriche, Nicolas Copernicus presenta due casi per l'angolo ottuso e l'angolo acuto, lavora su un cerchio il cui raggio corrisponde al lato più piccolo, e non presenta una formula, ma un algoritmo di calcolo. Un uso analogo della potenza di un punto rispetto a un cerchio per trovare la regola del coseno è fatto da Pitiscus .
Utilizzando il prodotto dot
Utilizzando il calcolo vettoriale , più precisamente il prodotto scalare , è possibile trovare la legge dei coseni in poche righe:
vs2=‖AB→‖2=‖VSB→-VSA→‖2=‖VSB→‖2-2⋅VSB→⋅VSA→+‖VSA→‖2=VSB2-2⋅|VSB|⋅|VSA|cosAVSB^+VSA2=a2+b2-2abcosγ.{\ displaystyle {\ begin {align} c ^ {2} & = \ lVert {\ overrightarrow {AB}} \ lVert ^ {2} \\ & = \ lVert {\ overrightarrow {CB}} - {\ overrightarrow {CA }} \ lVert ^ {2} \\ & = \ lVert {\ overrightarrow {CB}} \ lVert ^ {2} -2 \ cdot {\ overrightarrow {CB}} \ cdot {\ overrightarrow {CA}} + \ lVert {\ overrightarrow {CA}} \ lVert ^ {2} \\ & = CB ^ {2} -2 \ cdot \ left | CB \ right | \ cdot \ left | CA \ right | \ cos {\ widehat {ACB} } + \ mathrm {CA} ^ {2} \\ & = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma \ ,. \ end {allineato}}}
Nella geometria non euclidea
Per ogni superficie di curvatura K non euclidea , definiamo il raggio di curvatura ρ da:
ρ=1/|K|,{\ displaystyle \ rho = 1 / {\ sqrt {| K |}},}quindi le dimensioni ridotte un , b e c del triangolo da:
a=BVS/ρ,b=AVS/ρ,vs=AB/ρ.{\ displaystyle a = BC / \ rho, \ quad b = AC / \ rho, \ quad c = AB / \ rho.}
Lo sviluppo della trigonometria sferica nel mondo arabo-musulmano e il lavoro di al-Battani su di essa, hanno portato Delambre nella sua Storia dell'astronomia del Medioevo ad attribuire ad al-Battani, la prima versione della legge coseni nella trigonometria sferica. Tuttavia, per Anton von Braunmühl (en) , il lavoro di al-Battani non evidenzia una formula generale, e dobbiamo aspettare Regiomontanus , che affidandosi al lavoro di al-Battani, afferma e dimostra la legge usando seni versati .
In un triangolo sferico ABC (Fig. 9), le dimensioni ridotte un , b e c corrispondere alla misura angolare delle grandi segmenti ad arco [ BC ], [ AC ] e [ AB ] e la legge del coseno è scritta:
cosvs=cosacosb+peccatoapeccatobcosγ.{\ Displaystyle \ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma.}
Dimostrazione
Si consideri un triangolo sferico ABC in una sfera di centro O e di raggio 1, in modo che OA = OB = OC = 1. Il vettore è il vettore tangente a C al cerchio massimo passante per A e C . Infatti, appartiene al piano OAC ed è ortogonale al prodotto scalare . Inoltre, è facile verificare che la sua norma sia uguale a sin ( b ) calcolando il suo quadrato scalare. Allo stesso modo, il vettore è il vettore tangente in C al cerchio grande passante per B e C , e la sua norma è sin ( a ) . L'angolo tra i due vettori è quindi γ . Otteniamo quindi la legge dei coseni eseguendo il prodotto scalare dei due vettori, che dà:
OA→-cos(b)OVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} - \ cos (b) {\ overrightarrow {OC}}}OVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OC}}}OA→⋅OVS→=cos(b){\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} \ cdot {\ overrightarrow {OC}} = \ cos (b)}OB→-cos(a)OVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OB}} - \ cos (a) {\ overrightarrow {OC}}}γ{\ displaystyle \ gamma}
peccatoapeccatobcosγ=cosvs-cosacosb{\ Displaystyle \ sin a \ sin b \ cos \ gamma = \ cos c- \ cos a \ cos b}
C'è un'identità simile che collega i tre angoli:
cosγ=-cosαcosβ+peccatoαpeccatoβcosvs{\ Displaystyle \ cos \ gamma = - \ cos \ alpha \, \ cos \ beta + \ sin \ alpha \, \ sin \ beta \, \ cos c}Quando il raggio di curvatura tende all'infinito, vale a dire quando una , b e c tendono verso 0, la legge del coseno sferica è semplificata per dare la versione euclidea della stessa legge. Per dimostrarlo, utilizziamo i seguenti sviluppi limitati :
peccatoa=a+o(a2),{\ displaystyle \, \ sin a = a + o (a ^ {2}),}
cosa=1-a2/2+o(a2).{\ displaystyle \, \ cos a = 1-a ^ {2} / 2 + o (a ^ {2}).}
e individuiamo i coefficienti del secondo ordine nella relazione sin a sin b cos γ = cos c - cos a cos b , che dà:
abcosγ=-vs22+a22+b22{\ displaystyle ab \ cos \ gamma = - {\ frac {c ^ {2}} {2}} + {\ frac {a ^ {2}} {2}} + {\ frac {b ^ {2}} {2}}}
Per un triangolo ABC su una pseudosfera , viene scritta la legge del coseno
coshvs=coshacoshb-sinhasinhbcosγ{\ Displaystyle \ cosh c = \ cosh a \, \ cosh b- \ sinh a \, \ sinh b \, \ cos \ gamma}.
Quando il raggio di curvatura diventa molto grande rispetto alle dimensioni del triangolo, troviamo la legge del coseno euclideo dalle espansioni limitate
sinha=a+O(a3){\ displaystyle \, \ sinh a = a + O (a ^ {3})},
cosha=1+a2/2+O(a3).{\ displaystyle \, \ cosh a = 1 + a ^ {2} / 2 + O (a ^ {3}).}
identificando i termini del secondo ordine.
Formula generale per una superficie di curvatura costante
Possiamo raggruppare le formule del piano, della sfera e della pseudosfera in una:
cosR(BVS)=cosR(AB)⋅cosR(AVS)+1R2peccatoR(AB)⋅peccatoR(AVS)⋅cos(BAVS^){\ Displaystyle \ cos _ {R} (BC) = \ cos _ {R} (AB) \ cdot \ cos _ {R} (AC) + {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ sin _ {R} (AB) \ cdot \ sin _ {R} (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}Con ecosR(X)=eioX/R+e-ioX/R2=cos(X/R){\ displaystyle \ cos _ {R} (x) = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x / R} + {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x / R}} {2}} = \ cos (x / R)}peccatoR(X)=eioX/R-e-ioX/R2io/R=R⋅peccato(X/R){\ Displaystyle \ sin _ {R} (x) = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x / R} - {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x / R}} {2i / R}} = R \ cdot \ sin (x / R)}
R è un complesso , più precisamente il raggio di curvatura della superficie.
Sono possibili tre casi:
R reale: siamo su una sfera di raggio
R , la curvatura è costante e uguale a
1/R 2 ;
R puro immaginario: siamo su una pseudosfera di raggio immaginario
R = i R ' (
R' reale), la curvatura y è costante e uguale a
1/R 2 = -
1/R ' 2 ;
R infinita: siamo su un piano euclideo, la curvatura lì è costante e uguale .
limR→∞1R2=0{\ displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {R ^ {2}}} = 0}Validazione in geometria non euclidea
Nei primi due casi, cos R e sin R sono ben definiti sul piano complesso per qualsiasi R diverso da 0, e il risultato è immediato.
Quindi, per una sfera di raggio 1:
cos(BVS)=cos(AB)⋅cos(AVS)+peccato(AB)⋅peccato(AVS)⋅cos(BAVS^){\ Displaystyle \ cos (BC) = \ cos (AB) \ cdot \ cos (AC) + \ sin (AB) \ cdot \ sin (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}.
Allo stesso modo, per una pseudosfera di raggio i :
cosh(BVS)=cosh(AB)⋅cosh(AVS)-sinh(AB)⋅sinh(AVS)⋅cos(BAVS^){\ Displaystyle \ cosh (BC) = \ cosh (AB) \ cdot \ cosh (AC) - \ sinh (AB) \ cdot \ sinh (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}.
Infatti, cosh ( x ) = cos ( x / i) e sinh ( x ) = i sin ( x / i) .
Validazione in geometria euclidea
Per il terzo caso, quello del piano euclideo, possiamo generalizzare cos ∞ e sin ∞ passando al limite:
cos∞(X)=limR→∞cosR(X)=limR→∞cos(X/R)=1{\ Displaystyle \ cos _ {\ infty} (x) = \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} \ cos _ {R} (x) = \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} \ cos (x / R ) = 1}e
peccato∞(X)=limR→∞peccatoR(X)=limR→∞R⋅peccato(X/R)=X{\ Displaystyle \ sin _ {\ infty} (x) = \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} \ sin _ {R} (x) = \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} R \ cdot \ sin ( x / R) = x}.
È meno facile trovare la formula di Al-Kashi. In effetti, una semplice trasposizione equivale a scrivere:
cos∞(BVS)=1{\ displaystyle \ cos _ {\ infty} (BC) = 1},
cosR(AB)⋅cosR(AVS)=1×1=1{\ Displaystyle \ cos _ {R} (AB) \ cdot \ cos _ {R} (AC) = 1 \ times 1 = 1},
peccato∞(AB)⋅peccato∞(AVS)⋅cos(BAVS^)=AB⋅AVS⋅cos(BAVS^){\ Displaystyle \ sin _ {\ infty} (AB) \ cdot \ sin _ {\ infty} (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}) = AB \ cdot AC \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})},
e
limR→∞1R2AB⋅AVS⋅cos(BAVS^)=0{\ displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {R ^ {2}}} AB \ cdot AC \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}) = 0}.
Per trovare la formula di Al-Kashi , è necessario passare attraverso uno sviluppo limitato :
cosR(X)=cos(X/R)=1-12⋅X2R2+o(1R2){\ displaystyle \ cos _ {R} (x) = \ cos (x / R) = 1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {x ^ {2}} {R ^ {2 }}} + o {\ bigg (} {\ frac {1} {R ^ {2}}} {\ bigg)}}e
peccatoR(X)=R⋅peccato(X/R)=X+o(1R2){\ Displaystyle \ sin _ {R} (x) = R \ cdot \ sin (x / R) = x + o {\ bigg (} {\ frac {1} {R ^ {2}}} {\ bigg) }}.
Applicando la formula per R finito, otteniamo così:
1-12⋅BVS2R2+o(1R2){\ displaystyle 1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {BC ^ {2}} {R ^ {2}}} + o \ left ({\ frac {1} {R ^ { 2}}} \ right)}
=(1-12⋅AB2R2+o(1R2))⋅(1-12⋅AVS2R2+o(1R2))+1R2(AB+o(1R2))⋅(AVS+o(1R2))⋅cos(BAVS^){\ displaystyle = \ left (1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {AB ^ {2}} {R ^ {2}}} + o \ left ({\ frac {1} {R ^ {2}}} \ right) \ right) \ cdot \ left (1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {AC ^ {2}} {R ^ {2}} } + o \ sinistra ({\ frac {1} {R ^ {2}}} \ destra) \ destra) + {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ sinistra (AB + o \ sinistra ( {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ right) \ right) \ cdot \ left (AC + o \ left ({\ frac {1} {R ^ {2}}} \ right) \ right ) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}Che dà quanto segue:
1-12⋅BVS2R2=1-12⋅AB2R2-12⋅AVS2R2+1R2⋅AB⋅AVS⋅cos(BAVS^)+o(1R2){\ displaystyle 1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {BC ^ {2}} {R ^ {2}}} = 1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {AB ^ {2}} {R ^ {2}}} - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {AC ^ {2}} {R ^ {2}}} + {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ cdot AB \ cdot AC \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}) + o {\ bigg (} {\ frac {1} {R ^ { 2}}} {\ bigg)}}Quindi, semplificandolo un po 'e moltiplicando per –2 R 2 su ciascun lato:
BVS2=AB2+AVS2-2⋅AB⋅AVS⋅cos(BAVS^)+o(1){\ displaystyle BC ^ {2} = AB ^ {2} + AC ^ {2} -2 \ cdot AB \ cdot AC \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}) + o (1)}Questo dà la formula attesa quando R tende all'infinito.
Generalizzazione allo spazio euclideo
Consideriamo un tetraedro A 1 A 2 A 3 A 4 di spazio euclideo. La figura 10 a fianco presenta le notazioni riguardanti i vertici, le facce e gli angoli nel tetraedro:
-
SK{\ displaystyle \ mathrm {S} _ {k}}la faccia opposta alla sommità ;AK {\ displaystyle \ mathrm {A} _ {k} \}
-
SK{\ displaystyle s_ {k}}la superficie di ;SK {\ displaystyle \ mathrm {S} _ {k} \}
-
ΔK{\ displaystyle \ Delta _ {k}}il piano in cui è immerso;SK {\ displaystyle \ mathrm {S} _ {k} \}
-
θioj{\ displaystyle \ theta _ {ij}}l'angolo diedro .(Δio,Δj){\ displaystyle (\ Delta _ {i}, \ Delta _ {j})}
Quindi, le superfici e gli angoli verificano:
S42=S12+S22+S32-2S1S2cosθ12-2S1S3cosθ13-2S2S3cosθ23.{\ displaystyle s_ {4} ^ {2} = s_ {1} ^ {2} + s_ {2} ^ {2} + s_ {3} ^ {2} -2s_ {1} s_ {2} \ cos \ theta _ {12} -2s_ {1} s_ {3} \ cos \ theta _ {13} -2s_ {2} s_ {3} \ cos \ theta _ {23}. \,}
Note e riferimenti
-
La “cosiddetta formula Al Kashi” , visto come un'applicazione del prodotto scalare, era esplicitamente presente fino al 2010 nei primi matematica S programmi di educazione francese (vedi BO del 31 agosto 2000 ). Appare solo implicitamente nel programma 2010 , tra le “applicazioni del prodotto scalare: calcoli di angoli e lunghezze” : cfr. per esempio J.-D. Picchiottino, D.Girard e A. Meyer, Maths 1 re S , Hatier ,2013( leggi in linea ) , p. 323.
-
Pascal Honvault, Un possibile approccio alla geometria piana , Publibook ,2004( leggi in linea ) , p. 41.
-
" Pitagora e il suo teorema - 3.2. Reciproco ” , su IUT online .
-
Le opere di Euclide, trad. F. Peyrard, Parigi (1819), canna. Blanchard (1993). Per altre edizioni, vedere la bibliografia dell'articolo su Elements .
-
Youssef Guergour, " Il re di Saragozza Al-Mutaman Ibn Hud e il teorema di Pitagora: le sue fonti e le sue estensioni ", LLULL , vol. 28,2005, p. 415-434 ( ISSN 0210-8615 , leggi in linea )( p. 432 ).
-
Denis Henrion (trad.), I quindici libri degli elementi geometrici di Euclide , 1632, p. 99-104 .
-
Secondo Guergour 2005 , la prova può essere trovata in KASHI (al) (1967): Miftam al-misab [Key to Arithmetic], al-Damardache, AS & al-Manfi al-Shikh, MM (Edit.), Le Il Cairo, Dar al-Kitab al-cArabi li at-tibaqa wa an-Nashr, p. 130-138 .
-
Vedi questo.
-
Ad esempio, vedere (in) Roger B. Nelsen Proofs without Words II: More Exercises in Visual Thinking , MAA ,2000, p. 9, e più in generale l'articolo " Prova senza parole ".
-
Gellert et al. 1980 , c. 11-2, p. 265 .
-
(La) N. Copernicus, De revolutionibus orbium coelestium , Book I, cap. XII, § VII, p. 20 e p. 21 , rispettivamente.
-
(a) David Eugene Smith , A Source Book in Mathematics , vol. 1 ( leggi in linea ) , p. 435.
-
Op. Cit. , p. 17-20 , anteprima su Google Libri .
-
(de) Anton von Braunmühl , Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie ,1900( leggi in linea ) , p. 53, nota 1.
-
von Braunmühl 1900 , p. 131 e seguenti .
-
(in) Tony Phillips, " The True History of the Law of cosines " sulla Stony Brook University ,2006.
-
Vedi l'articolo " Trigonometria sferica ", e una dimostrazione diversa dall'articolo, ad esempio, il "corso" di cartografia di David Madore .
-
Georges Dostor, Elementi di teoria dei determinanti: con applicazione ad algebra, trigonometria e geometria analitica nel piano e nello spazio, per l'uso di classi speciali di matematica , Parigi, Gauthier-Villars ,1877, 352 p. ( leggi in linea ) , pp. 251-252
-
(in) JR Lee, " La legge dei coseni in un tetraedro " , J. Korea Soc. Matematica. Ed. Ser. B: Pure Appl. Matematica. , vol. 4,1997, p. 1-6Citato da (in) Eric W. Weisstein , " Law of cosines " su MathWorld .
Vedi anche
Articoli Correlati
Teorema di Tolomeo
Link esterno
(it) A. Bogomolny, " The Law of Cosines (Cosine Rule) " , su Cut The Knot
Bibliografia
- N. Efimov, Geometria superiore , Mosca, edizioni Mir , 1981
- W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich e H. Kästner ( tradotto dal tedesco da un collettivo, sotto la direzione di Jacques-Louis Lions ), Petite enciclopedia della matematica [“ Kleine Enzyklopädie der Mathematik ”], Parigi, K. Pagoulatos / Didier ,1980, 896 p. ( ISBN 978-2-278-03526-7 )
-
Antoine Arnauld , Nuovi elementi di geometria , Parigi, Charles Savreux, 1667 , p. 295-296 (sesto teorema)
- A. Amiot, Elements of Geometry , Parigi, Delagrave , 14 ° ed., 1870 , p. 109-111
- Paul-Louis Cirodde, Lezioni di geometria , Parigi, Hachette , 3 e ed., 1858 , p. 111-112 (Teorema XI)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">