Legge delle tangenti

Nella geometria del triangolo , la legge delle tangenti è una relazione tra la lunghezza di due lati di un triangolo e l'estensione di due dei suoi angoli .

Considera qualsiasi triangolo ABC, mostrato in Fig. 1 opposto, dove gli angoli sono designati da α , β , γ ed i lati opposti agli angoli dalle lettere corrispondenti a , b e c . Allora,

{\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {\ tan {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}}.}

Dimostrazione

La legge delle tangenti è un corollario immediato delle formule di Mollweide .

Possiamo anche dedurlo direttamente, come quest'ultimo, dalla legge dei seni e dalle formule di Simpson :

{\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {a (1 - {\ frac {\ sin \ beta} {\ sin \ alpha}})} {a (1 + {\ frac {\ sin \ beta} {\ sin \ alpha}})}} = {\ frac {\ sin \ alpha - \ sin \ beta} {\ sin \ alpha + \ sin \ beta}} = {\ frac {2 \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {2 \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}}} = {\ frac {\ left ({\ frac {\ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}}} \ right)} {\ left ({\ frac {\ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}} {\ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}} \ right)}} = {\ frac {\ tan {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}}.}

Una variante per la seconda fase è:

{\ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha - \ sin \ beta} {\ sin \ alpha + \ sin \ beta}} = {\ frac {\ left ({\ frac {\ sin \ alpha - \ sin \ beta } {\ cos \ alpha + \ cos \ beta}} \ right)} {\ left ({\ frac {\ sin \ alpha + \ sin \ beta} {\ cos \ alpha + \ cos \ beta}} \ right) }} = {\ frac {\ tan {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}}.}

Generalizzazione a geometrie non euclidee

Per una superficie di curvatura K non euclidea , definiamo il raggio di curvatura ρ da:

{\ displaystyle \, \ rho = 1 / {\ sqrt {| K |}},}

quindi la dimensione ridotta una , b e c del triangolo da:

{\ displaystyle \, a = BC / \ rho, \ quad b = AC / \ rho, \ quad c = AB / \ rho.}

Geometria sferica

In un triangolo sferico ABC, un , b e c corrispondono alla misura angolare delle grandi segmenti ad arco [BC], [AC] e [AB] e la legge di tangenti diventa (Fig. 2):

{\ displaystyle {\ frac {\ tan {\ frac {ab} {2}}} {\ tan {\ frac {a + b} {2}}}} = {\ frac {\ tan {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}}.}

Note e riferimenti

Vedi anche