Scala logaritmica

Una scala logaritmica è un sistema di graduazione in progressione geometrica . Ogni passaggio moltiplica il valore per una costante positiva . Pertanto, la posizione sull'asse di un valore è proporzionale al suo logaritmo .

Una scala logaritmica è particolarmente adatta per tenere conto di ordini di grandezza nelle applicazioni. Mostra in un piccolo spazio un'ampia gamma di valori, purché diversi da zero e dello stesso segno.

Le scale logaritmiche vengono utilizzate per eseguire calcoli analogici o per presentare i risultati su grafici .

Definizione

La scala logaritmica colloca i valori sull'asse in crescita esponenziale . I punti separati dalla stessa distanza rappresentano i valori nello stesso report.

La scala logaritmica è definita solo per valori strettamente positivi.

Confronto tra una scala lineare e una scala logaritmica

L'illustrazione sopra mostra i due tipi di scale:

Con la scala lineare , due graduazioni la cui differenza è 10 sono a distanza costante.
Con la scala logaritmica , due graduazioni il cui rapporto è 10 sono a distanza costante.

Sulla scala logaritmica, i grandi numeri vengono compressi, spostati più vicino a 1 e facilmente rappresentati, mentre i numeri inferiori a 1 vengono espansi e molto rapidamente restituiti all'infinito negativo.

Unità logaritmiche

A volte vengono utilizzate unità logaritmiche, cioè il cui valore è il logaritmo del rapporto tra due valori di una quantità. La base logaritmica scelta dipende dalle abitudini della disciplina che le utilizza:

il logaritmo naturale , la cui base è zero , facilita determinati calcoli e viene valutato in modo più diretto grazie alla serie di Taylor , ma non consente un accesso intuitivo all'ordine di grandezza decimale. Il neper è il logaritmo naturale del rapporto tra due potenze.
il logaritmo decimale (base 10) fornisce direttamente una nozione dell'ordine di grandezza, poiché la caratteristica , cioè il segno e la parte prima della virgola, la dà direttamente. La sua leggibilità lo rende utile in molti settori della tecnologia , anche se in una forma modificata. Viene utilizzato in statistica e in chimica definisce il pH .
Il decibel , comunemente usato nelle telecomunicazioni , nell'elettronica e nell'acustica è definito come 10 volte il logaritmo decimale del rapporto tra due potenze; ma se le tabelle dei logaritmi e successive, calcolatrici tascabili non avessero dato un accesso più facile al logaritmo decimale, diremmo con rigore che il decibel è il logaritmo di base 10 0,1 (o circa 1,26) del rapporto tra due potenze. In effetti, è a questo moltiplicatore che corrisponde un decibel.
il logaritmo in base 2 è usato nel calcolo , con i bit e nella musica , con le ottave .
Allo stesso modo, il semitono della scala temperata nella musica, che è la dodicesima parte di un'ottava, è il logaritmo di base 2 1 ÷ 12 (o circa 1,06) della frequenza .

Una scala lineare graduata in un'unità logaritmica equivale a una scala logaritmica, dal punto di vista della grandezza considerata.

Uso

Il regolo calcolatore sfrutta le proprietà della scala logaritmica per consentire la moltiplicazione.

I grafici in cornice semi-logaritmica sono utilizzati per mostrare l'evoluzione di grandezze di cui una ha un'evoluzione lineare (in generale, la variabile indipendente sull'asse x), e l'altra un'evoluzione esponenziale.

Esempio: evoluzione del prezzo:

In economia , i valori delle valute internazionali, delle azioni , delle materie prime e di altri prodotti commerciali, soggetti all'inflazione dei prezzi, sono inscritti su una scala logaritmica sull'asse y, mentre il tempo è inscritto sull'asse y. Lineare sulla x -asse.

Esempio: risposta in frequenza:

In elettronica , la risposta in frequenza di un sistema, ed in particolare di un filtro , è generalmente rappresentata su un diagramma semilogaritmico, con una scala logaritmica per le frequenze in ascissa e una scala lineare sull'asse delle ordinate, graduata in decibel , relativa alla tensione ottenuta a una certa frequenza (ad esempio, 1000 Hz ).

Poiché i decibel sono un'unità logaritmica, dal punto di vista della tensione elettrica o dei rapporti di tensione , la scala è anche logaritmica, il che consente, nel diagramma di Bode , grafici asintotici, in linee rette.

I grafici in segno logaritmico su entrambi gli assi sono adatti per dimensioni includendo sia la variabile indipendente in quanto la variabile dipendente può assumere valori estremamente diversi. Quando uno è proporzionale all'elevazione dell'altro a una potenza , il grafico traccia una linea la cui pendenza è proporzionale all'esponente.

Costruzione della scala

Conosciamo i valori minimo x min e massimo x max che devono essere rappresentati e la lunghezza l della scala tra questi due valori.

La lunghezza l corrisponde a una moltiplicazione per r = x max ÷ x min .

Il punto posto al centro è alla stessa distanza di x min e x max . Il valore che corrisponde al punto medio è la media geometrica dei valori estremi . ${\ sqrt {x _ {{min}} \ times x _ {{max}}}}$

Piuttosto che calcolare questo passo dopo passo, usiamo la proprietà fondamentale dei logaritmi:

log ( a × b ) = log ( a ) + log ( b )

Possiamo calcolare i rapporti dei valori grazie alla funzione esponenziale , che è la funzione reciproca della funzione logaritmica.

Per scalare l'asse in base alle proprie esigenze, è possibile calcolare il rapporto del valore per unità di lunghezza sull'asse. Il logaritmo della progressione a numero unità di lunghezza è ottenuta da una semplice divisione: log ( r ) ÷ l ed il valore della progressione r 1 / l .

In questo modo, se dividiamo la distanza l in n segmenti uguali, il rapporto dei valori che corrisponde a ciascun segmento è r 1 / n . La lunghezza totale, corrispondente alla differenza tra x min e x max , corrisponde quindi bene ad una moltiplicazione per r , mentre la lunghezza di ogni segmento corrisponde ad una moltiplicazione per la stessa quantità.

I punti equidistanti indicano valori nella progressione geometrica .

Esempio di costruzione di una scala logaritmica:

Valore minimo: 0,1
Valore massimo: 100
deviazione relativa: r = 100 ÷ 0,1 = 1000
lunghezza dell'asse: 600 pixel

Vogliamo che siano indicati multipli di 10. Per il rapporto 1000 ci sono tre moltiplicazioni per 10, corrispondenti a tre moduli di 600 ÷ 3 = 200 pixel di lunghezza.

All'interno di questi moduli vogliamo indicare la posizione di ogni valore, da 2 a 9.

La moltiplicazione per 2 corrisponde alla distanza tra 0,1 e 0,2, 1 e 2, 10 e 20. La lunghezza corrispondente si ottiene con la regola del tre sui logaritmi :, che dà 60,2 pixel. ${\ displaystyle {\ frac {600 \ times \ log (2)} {\ log (1000)}}}$
Allo stesso modo, la moltiplicazione per 3 dà 95,4 pixel tra 0,1 e 0,3, 1 e 3 e 10 e 30. Dobbiamo arrotondare, ovviamente. ${\ displaystyle {\ frac {600 \ times \ log (3)} {\ log (1000)}}}$
I loro multipli sono facilmente ottenibili: la distanza tra 1 e 4 è quella di due moltiplicazioni per due, quindi 120,4 pixel; tra 1 e 8, quella di tre moltiplicazioni per due, ovvero 180,6; tra 1 e 6 quella di una moltiplicazione per tre e di una moltiplicazione per due, ovvero 95,4 + 60,2 = 155,6 pixel; e tra 1 e 9, quello di due moltiplicazioni per 3, ovvero 190,8 pixel.
La graduazione 5 si ottiene facilmente: poiché due per cinque fa dieci, la lunghezza da 0,5 a 1, da 5 a 10, da 50 a 100, è di 60,2 pixel (possiamo quindi notare che la moltiplicazione per 5 corrisponde ad una lunghezza di 200 - 60,2 = 139,8 pixel).
Rimane solo il 7 da porre, con la stessa procedura della regola del tre sui logaritmi.
La lunghezza di questi segmenti è valida per le moltiplicazioni e anche per le divisioni.
Uno spostamento di un pixel a destra corrisponde ad un aumento di exp (log (1000) ÷ 600) ≈ 1.0115795

Ciascuno dei moduli viene riprodotto tre volte, la forma è invariabile, cambia solo la legenda dei punti.

Nota: la base del logaritmo in cui vengono eseguiti i calcoli è irrilevante.

Costruzione senza macchina calcolatrice

2 moltiplicato dieci volte per se stesso dà 1024. C'è quindi, al 2% più vicino, dieci volte la lunghezza del segmento corrispondente alla moltiplicazione per 2 tra i due estremi della scala da 0,1 a 100, e quindi questo segmento misura 600 ÷ 10 ≈ 60 pixel. Con questa lunghezza, possiamo posizionare il 2, 4, 5 e 8 come mostrato sopra.
7 × 7 è 49, o dal 50 al 2%. La lunghezza per 100 è di due moduli da 200 pixel, cioè 400 pixel, sottraiamo la lunghezza per 2 poiché è necessario dividere il valore per due, resto 339,8; e il valore di 7 è la metà, o 169,9, che viene arrotondato a 169 poiché 7 × 7 è leggermente inferiore a 50.
3 × 3 fa 9. Conosciamo la lunghezza corrispondente a 8, 3 × 60,2 = 180,6 pixel, quella corrispondente a 10, 200 pixel, la lunghezza corrispondente a 9 è compresa tra i due, (180,6 + 200) ÷ 2 = 190,3; quello corrispondente a 3 è la metà, arrotondato a 95.

Quando un particolare valore viene preso come riferimento (ad esempio 1), la distanza da un punto che rappresenta un numero a quello che rappresenta quel valore viene chiamata sua coordinata logaritmica .

Vedi anche

link esterno

Planetario di Aix-en-Provence : logaritmi
(it) Carta bianca semi-registro