Il lemma di Poincaré è un risultato fondamentale nell'analisi multivariata e nella geometria differenziale . Riguarda le forme differenziali (implicitamente di classe C 1 ) su una varietà differenziale (implicitamente liscia ).
Secondo il teorema di Schwarz , ogni forma differenziale esatta è chiusa . Il lemma di Poincaré garantisce la reciproca parziale:
Affinché, su una varietà differenziale M , qualsiasi forma p chiusa sia esatta, è sufficiente:
In base a questi presupposti, la conclusione del lemma di Poincaré viene riformulata in termini di coomologia di De Rham .
In particolare, qualsiasi forma differenziale chiusa è localmente esatta.
Tutti i concetti sopra utilizzati sono dettagliati tramite i link interni , ma ricordiamo e commentiamo i principali.
Una forma p ω su una varietà M si dice:
Il p -esimo spazio della coomologia di Rham di M è il quoziente H p ( M ) dello spazio delle figure chiuse dalle forme accurate del subspazio . È quindi zero se e solo se una qualsiasi forma chiusa è esatta.
Uno spazio topologico M si dice contrattile se omotopicamente equivalente a un punto, cioè se la sua mappa identitaria è omotopica con un'applicazione costante di M in M , oppure se M è retratto per deformazione su un punto. È una condizione più forte della banalità di tutti i gruppi di omotopia di M , ma equivalente se M è una varietà differenziale. Inoltre, in questo caso, le omotopie invocate, a priori solo continue , possono infatti essere scelte lisce .
Qualsiasi spazio contrattile è semplicemente connesso, ma ci sono varietà semplicemente connesse che non sono contrattili, come la sfera . Inoltre, una varietà compatta senza bordo non è mai contrattile.
Ogni U aperta di ℝ n è una varietà differenziale. Se U è stellato, allora è contrattile ea fortiori è semplicemente connesso. Mostriamo, in questo caso particolare, che ogni forma 1 chiusa ω su U è esatta, cioè è il differenziale di una forma 0 (una funzione).
Supponiamo che U sia stellato attorno a , definisci una funzione f su U da integrali curvilinei su segmenti :
e mostra che d f = ω in qualsiasi punto x di U , cioè (per x fisso e per ogni x + v in una palla di centro x inclusa in U ):
Secondo il teorema di Green applicato al triangolo ( a , x , x + v ) , abbiamo (poiché ω è chiuso)
Tuttavia, per continuità di ω al punto x ,
Abbiamo quindi:
(Per estendere questa dimostrazione a qualsiasi varietà semplicemente connessa, è sufficiente sostituire i segmenti con percorsi e il teorema di Green con quello di Stokes .)