Forma differenziale esatta

In analisi , una forma differenziale si dice esatta (o totale) se esiste una forma differenziale di cui è la derivata esterna , cioè se è possibile integrarla . In sintesi, una forma differenziale $ω$ è esatta se esiste una forma Q tale che

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ omega = Q (b) -Q (a)}

, indipendentemente dal percorso di integrazione da

a

b

Secondo il teorema di Schwarz , qualsiasi forma esatta della classe C 1 è chiusa . Il lemma di Poincaré fornisce un parziale reciproco .

Caso di 1 moduli

Una forma 1 $ω$ definita su una $U$ aperta è esatta se esiste una funzione differenziabile $F$ su $U$ tale che $ω = d$ $F in$ altre parole: se il campo vettoriale per cui $ω$ è il prodotto scalare è un campo gradiente .

In termodinamica, quando una forma 1 differenziale $ω$ è esatta, quindi della forma $d F$ , la funzione $F$ è una funzione di stato del sistema. Le funzioni termodinamiche energia interna $U$ , entropia $S$ , entalpia $H$ , energia libera $F$ o $A$ e entalpia libera $G$ sono funzioni di stato . Di solito né il lavoro $W$ né il calore $Q$ sono funzioni di stato.

Secondo il lemma di Poincaré , su un aperto semplicemente connesso , una forma differenziale 1 di classe C 1 è esatta se (e solo se) è chiusa.

Riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Differenziale esatto " ( vedere l'elenco degli autori ) .
(en) P. Perrot, dalla A alla Z di Thermodynamics , New York, Oxford University Press , 1998
(in) D.Zill, A First Course in Differential Equations , 5 th ed., Boston, PWS-Kent Publishing 1993

link esterno

(it) Eric W. Weisstein , " Exact Differential " , su MathWorld
(it) Eric W. Weisstein , " Inexact Differential " , su MathWorld
(it) Differenziali esatti e inesatti sul sito di WR Salzman, presso il Dipartimento di Chimica, Università dell'Arizona
( fr ) Differenziali esatti e inesatti sul sito web di Richard Fitzpatrick, professore di fisica all'Università del Texas ad Austin