Integrale di Bochner

In matematica , l' integrale di Bochner , che porta il nome del suo creatore Salomon Bochner , estende la definizione dell'integrale di Lebesgue a funzioni con valori in uno spazio di Banach , come limite di integrali di funzioni staged .

Definizione

Sia ( X , Σ, μ) uno spazio misurato . Cerchiamo di costruire l'integrale per funzioni definite su X a valori in un Banach B spazio . L'integrale di Bochner è definito in modo simile all'integrale di Lebesgue. Prima di tutto, una funzione a gradini è una qualsiasi somma finita della forma:

{\ displaystyle s (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ chi _ {E_ {i}} (x) b_ {i}}

dove E i sono membri di σ-algebra Σ, b i sono elementi di B e χ E è la funzione caratteristica di E , chiamata anche funzione indicatore. Se μ ( E i ) è finito qualunque sia b i ≠ 0, allora la funzione staged è integrabile e l'integrale è definito da:

{\ Displaystyle \ int _ {X} \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ chi _ {E_ {i}} (x) b_ {i} \ right] \, {\ rm {d }} \ mu = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mu (E_ {i}) b_ {i}}

esattamente come per l'integrale ordinario di Lebesgue (controlliamo che questa definizione non sia ambigua , sebbene non imponiamo a E i di essere disgiunto). Una funzione misurabile di Bochner (en) ƒ : X → B è integrabile nel senso di Bochner se esiste una sequenza di funzioni staged integrabili s n tali che:

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} \ | f-s_ {n} \ | _ {B} \, {\ rm {d}} \ mu = 0,}

dove l'integrale nel lato sinistro è un normale integrale di Lebesgue. In questo caso, l'integrale di Bochner è definito da:

{\ displaystyle \ int _ {X} f \, {\ rm {d}} \ mu = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} s_ {n} \, {\ rm {d} } \ mu.}

Una funzione è integrabile nel senso di Bochner se, e solo se, appartiene allo spazio di Bochner (en) L 1 .

Proprietà

Molte proprietà familiari dell'integrale di Lebesgue valgono per l'integrale di Bochner. Particolarmente utile è il criterio di integrabilità di Bochner, che stabilisce che se ( X , Σ, μ) è uno spazio misurato, allora una funzione misurabile in senso di Bochner ƒ : X → B è integrabile in senso di Bochner se e solo se:

{\ displaystyle \ int _ {X} \ | f \ | _ {B} \, {\ rm {d}} \ mu <\ infty.}

Una funzione ƒ : X → B si dice misurabile nel senso di Bochner se è uguale μ-quasi ovunque a una funzione g con valori in un sottospazio separabile B 0 di B , e tale che l'immagine inversa g −1 ( U ) di qualsiasi parte aperta U in B appartiene a Σ. Allo stesso modo, ƒ è il limite μ quasi ovunque di una sequenza di funzioni a gradini.

Se T è un operatore lineare continuo e ƒ è integrabile nel senso di Bochner, allora Tƒ è integrabile nel senso di Bochner e l'integrazione e T possono essere scambiate:

{\ Displaystyle \ int _ {X} Tf {\ rm {d}} \ mu = T \ int _ {X} f {\ rm {d}} \ mu.}

Questo risultato è vero anche per gli operatori chiusi a condizione che Tƒ sia anche integrabile, cosa banalmente vera per gli operatori T limitati secondo il criterio sopra citato.

Una versione del teorema di convergenza dominata si applica all'integrale di Bochner. In particolare, se ƒ n : X → B è una sequenza di funzioni misurabili su uno spazio misurato completo che converge quasi ovunque ad una funzione limite ƒ e se esiste g ∈ L 1 (μ) tale che

{\ displaystyle \ | f_ {n} (x) \ | _ {B} \ leq g (x)}

per quasi tutte le x ∈ X , allora

{\ displaystyle \ int _ {X} \ | f-f_ {n} \ | _ {B} \, {\ rm {d}} \ mu \ to 0}

quando n → ∞ e

{\ displaystyle \ int _ {E} f_ {n} \, {\ rm {d}} \ mu \ to \ int _ {E} f \, {\ rm {d}} \ mu}

per tutti E ∈ Σ.

Se ƒ è integrabile nel senso di Bochner, allora la disuguaglianza

{\ Displaystyle \ left \ | \ int _ {E} f \, {\ rm {d}} \ mu \ right \ | _ {B} \ leq \ int _ {E} \ | f \ | _ {B} \, {\ rm {d}} \ mu}

vale per ogni E ∈ Σ. In particolare, la funzione

{\ displaystyle E \ mapsto \ int _ {E} f \, {\ rm {d}} \ mu}

definisce una misura vettoriale (en) numericamente additiva su X con valori in B , che è assolutamente continua rispetto a μ.

Di proprietà di Radon-Nikodym

Una proprietà importante dell'integrale di Bochner è che il teorema di Radon-Nikodym non si applica generalmente. Questo porta a definire la cosiddetta proprietà Radon-Nikodym per gli spazi di Banach. Se μ è una misura su ( X , Σ) allora B ha la proprietà di Radon - Nikodym rispetto a μ se per ogni misura vettoriale numerabile additiva su ( X , Σ) con valori in B , con variazione limitata e assolutamente continua rispetto a μ, esiste una funzione μ integrabile g : X → B tale che: $\gamma$

{\ displaystyle \ gamma (E) = \ int _ {E} g \, {\ rm {d}} \ mu}

per ogni insieme misurabile E ∈ Σ.

Uno spazio di Banach B ha la proprietà di Radon-Nikodym se B ha questa proprietà rispetto a qualsiasi misura finita . Lo spazio ℓ 1 ha questa proprietà, ma questo non è il caso dello spazio c 0 o degli spazi , per uno spazio delimitato da e per K uno spazio compatto infinito. Gli spazi con la proprietà Radon-Nikodym includono spazi duali separabili (teorema di Dunford - Pettis ) e spazi riflessivi , in particolare spazi di Hilbert . ${\ displaystyle L ^ {\ infty} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle L ^ {1} (\ Omega)}$ $\Omega$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle C (K)}$

Note e riferimenti

(it) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Bochner integral " ( vedere l'elenco degli autori ) .

(a) Joseph Diestel e John Jerry Uhl , Vector Measures , AMS ,1977, 322 p. ( ISBN 978-0-8218-1515-1 , leggi in linea ) , p. 61.
Diestel e Uhl 1977 , p. 79-81.
Diestel e Uhl 1977 , p. 76, Corollario 13 ( Phillips (en) ).

Vedi anche

Articolo correlato

Pettis integrale (in)

Bibliografia

(de) Salomon Bochner, " Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind " , Fundamenta Mathematicae , vol. 20,1933, p. 262-276 ( leggi in linea )
(en) Joseph Diestel , Sequences and Series in Banach Spaces , Springer-Verlag , coll. " GTM ",1984, 261 p. ( ISBN 0-387-90859-5 )
(en) Einar Hille e Ralph S. Phillips (en) , Analisi funzionale e semi-gruppi , AMS,1957( ISBN 0-8218-1031-6 )
(en) Serge Lang , Analisi reale e funzionale , Springer,1993, 3 e ed. , 580 p. ( ISBN 978-0-387-94001-4 )

link esterno

(en) VI Sobolev , "Bochner integral" , in Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leggi in linea )
(en) D. van Dulst , "Vector measure " , in Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leggi in linea )
(it) Diómedes Bárcenas, " The Radon-Nikodym Theorem for Reflexive Banach Spaces " , Divulgaciones Matemáticas , vol. 11, n o 1,2003, p. 55-59 ( leggi in linea )