Identità trigonometrica

Un'identità trigonometrica è una relazione che coinvolge funzioni trigonometriche , verificate per tutti i valori possibili delle variabili coinvolte nella relazione. Queste identità possono essere utilizzate per semplificare un'espressione con funzioni trigonometriche o trasformarla per calcolare un'antiderivata. Costituiscono quindi un'utile “cassetta degli attrezzi” per la risoluzione dei problemi.

Le funzioni trigonometriche sono definite geometricamente o analiticamente . Sono molto usati in integrazione , per integrare funzioni “non trigonometriche”: un procedimento usuale consiste nell'effettuare un cambio di variabile utilizzando una funzione trigonometrica, e quindi semplificare l'integrale ottenuto con le identità trigonometriche.

Notazione  : se ƒ è una funzione trigonometrica, ƒ 2 denota la funzione che ad ogni x reale associa il quadrato di ƒ ( x ) . Ad esempio: cos 2 x = (cos x ) 2 .

Relazioni tra funzioni trigonometriche

Le relazioni tra le funzioni trigonometriche risultano da un lato dalle definizioni

tan⁡θ=peccato⁡θcos⁡θ,costo⁡θ=cos⁡θpeccato⁡θ,...{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}}, \ quad \ cot \ theta = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}}, \ quad \ ldots}

e dall'altro l'applicazione del teorema di Pitagora , in particolare:

cos2⁡θ+peccato2⁡θ=1tan2⁡θ+1=1cos2⁡θ,costo2⁡θ+1=1peccato2⁡θ.{\ displaystyle \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta = 1 \ quad \ tan ^ {2} \ theta +1 = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} \ theta }}, \ quad \ cot ^ {2} \ theta +1 = {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}}.}Relazioni tra funzioni trigonometriche nel primo quadrante ( ), possibilmente non valide in 0 o0⩽θ⩽π2{\ displaystyle 0 \ leqslant \ theta \ leqslant {\ tfrac {\ pi} {2}}}π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}

	cos	peccato	tan	costo	asciutto	csc
cos		cos⁡θ=1-peccato2⁡θ{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} \ theta}}}	cos⁡θ=11+tan2⁡θ{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} \ theta}}}}	cos⁡θ=costo⁡θ1+costo2⁡θ{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ cot \ theta} {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} \ theta}}}}	cos⁡θ=1asciutto⁡θ{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {1} {\ sec \ theta}}}	cos⁡θ=csc2⁡θ-1csc⁡θ{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ sqrt {\ csc ^ {2} \ theta -1}} {\ csc \ theta}}}
peccato	peccato⁡θ=1-cos2⁡θ{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ theta}}}		peccato⁡θ=tan⁡θ1+tan2⁡θ{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {\ tan \ theta} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} \ theta}}}}	peccato⁡θ=11+costo2⁡θ{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} \ theta}}}}	peccato⁡θ=asciutto2⁡θ-1asciutto⁡θ{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {\ sqrt {\ sec ^ {2} \ theta -1}} {\ sec \ theta}}}	peccato⁡θ=1csc⁡θ{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {1} {\ csc \ theta}}}
tan	tan⁡θ=1-cos2⁡θcos⁡θ{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ theta}} {\ cos \ theta}}}	tan⁡θ=peccato⁡θ1-peccato2⁡θ{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} \ theta}}}}		tan⁡θ=1costo⁡θ{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {1} {\ cot \ theta}}}	tan⁡θ=asciutto2⁡θ-1{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ sqrt {\ sec ^ {2} \ theta -1}}}	tan⁡θ=1csc2⁡θ-1{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {\ csc ^ {2} \ theta -1}}}}
costo	costo⁡θ=cos⁡θ1-cos2⁡θ{\ displaystyle \ cot \ theta = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ theta}}}}	costo⁡θ=1-peccato2⁡θpeccato⁡θ{\ displaystyle \ cot \ theta = {\ frac {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} \ theta}} {\ sin \ theta}}}	costo⁡θ=1tan⁡θ{\ displaystyle \ cot \ theta = {\ frac {1} {\ tan \ theta}}}		costo⁡θ=1asciutto2⁡θ-1{\ displaystyle \ cot \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {\ sec ^ {2} \ theta -1}}}}	costo⁡θ=csc2⁡θ-1{\ displaystyle \ cot \ theta = {\ sqrt {\ csc ^ {2} \ theta -1}}}
asciutto	asciutto⁡θ=1cos⁡θ{\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frac {1} {\ cos \ theta}}}	asciutto⁡θ=11-peccato2⁡θ{\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} \ theta}}}}	asciutto⁡θ=1+tan2⁡θ{\ displaystyle \ sec \ theta = {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} \ theta}}}	asciutto⁡θ=1+costo2⁡θcosto⁡θ{\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frac {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} \ theta}} {\ cot \ theta}}}		asciutto⁡θ=csc⁡θcsc2⁡θ-1{\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frac {\ csc \ theta} {\ sqrt {\ csc ^ {2} \ theta -1}}}}
csc	csc⁡θ=11-cos2⁡θ{\ displaystyle \ csc \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ theta}}}}	csc⁡θ=1peccato⁡θ{\ displaystyle \ csc \ theta = {\ frac {1} {\ sin \ theta}}}	csc⁡θ=1+tan2⁡θtan⁡θ{\ displaystyle \ csc \ theta = {\ frac {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} \ theta}} {\ tan \ theta}}}	csc⁡θ=1+costo2⁡θ{\ displaystyle \ csc \ theta = {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} \ theta}}}	csc⁡θ=asciutto⁡θasciutto2⁡θ-1{\ displaystyle \ csc \ theta = {\ frac {\ sec \ theta} {\ sqrt {\ sec ^ {2} \ theta -1}}}}

Proprietà relative al cerchio trigonometrico

Simmetrie, parità

Parità - Riflessione dell'asse ( θ = 0 )	Riflessione dell'asse ( θ = π / 4 )	Riflessione dell'asse ( θ = π / 2 )
peccato⁡(-θ)=-peccato⁡θcos⁡(-θ)=+cos⁡θtan⁡(-θ)=-tan⁡θcosto⁡(-θ)=-costo⁡θ{\ displaystyle {\ begin {allineato} \ sin (- \ theta) & = - \ sin \ theta \\\ cos (- \ theta) & = + \ cos \ theta \\\ tan (- \ theta) & = - \ tan \ theta \\\ cot (- \ theta) & = - \ cot \ theta \ end {allineato}}}	peccato⁡(π2-θ)=+cos⁡θcos⁡(π2-θ)=+peccato⁡θtan⁡(π2-θ)=+costo⁡θcosto⁡(π2-θ)=+tan⁡θ{\ displaystyle {\ begin {allineato} \ sin ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta) & = + \ cos \ theta \\\ cos ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta) & = + \ sin \ theta \\\ tan ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta) & = + \ cot \ theta \\\ cot ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta) & = + \ tan \ theta \ end {allineato}}}	peccato⁡(π-θ)=+peccato⁡θcos⁡(π-θ)=-cos⁡θtan⁡(π-θ)=-tan⁡θcosto⁡(π-θ)=-costo⁡θ{\ displaystyle {\ begin {allineato} \ sin (\ pi - \ theta) & = + \ sin \ theta \\\ cos (\ pi - \ theta) & = - \ cos \ theta \\\ tan (\ pi - \ theta) & = - \ tan \ theta \\\ cot (\ pi - \ theta) & = - \ cot \ theta \\\ end {allineato}}}

Nota: tutte queste formule possono essere utilizzate anche per aggiungere angoli, basta prendere il contrario: ad esempio ,. È quindi sufficiente applicare la corrispondente formula di semplificazione della prima colonna. peccato⁡(π2+θ)=peccato⁡(π2-(-θ))=cos⁡(-θ){\ displaystyle \ sin ({\ tfrac {\ pi} {2}} + \ theta) = \ sin ({\ tfrac {\ pi} {2}} - (- \ theta)) = \ cos (- \ theta )}

Periodicità, turni

/ 2 turni	Spostamento di π (Periodo di abbronzatura e culla)	Offset di 2π (periodo di sin e cos)
peccato⁡(θ+π2)=+cos⁡θcos⁡(θ+π2)=-peccato⁡θtan⁡(θ+π2)=-costo⁡θcosto⁡(θ+π2)=-tan⁡θ{\ displaystyle {\ begin {allineato} \ sin (\ theta + {\ tfrac {\ pi} {2}}) & = + \ cos \ theta \\\ cos (\ theta + {\ tfrac {\ pi} { 2}}) & = - \ sin \ theta \\\ tan (\ theta + {\ tfrac {\ pi} {2}}) & = - \ cot \ theta \\\ cot (\ theta + {\ tfrac { \ pi} {2}}) & = - \ tan \ theta \ end {allineato}}}	peccato⁡(θ+π)=-peccato⁡θcos⁡(θ+π)=-cos⁡θtan⁡(θ+π)=+tan⁡θcosto⁡(θ+π)=+costo⁡θ{\ displaystyle {\ begin {allineato} \ sin (\ theta + \ pi) & = - \ sin \ theta \\\ cos (\ theta + \ pi) & = - \ cos \ theta \\\ tan (\ theta + \ pi) & = + \ tan \ theta \\\ cot (\ theta + \ pi) & = + \ cot \ theta \\\ end {allineato}}}	peccato⁡(θ+2π)=+peccato⁡θcos⁡(θ+2π)=+cos⁡θtan⁡(θ+2π)=+tan⁡θcosto⁡(θ+2π)=+costo⁡θ{\ displaystyle {\ begin {allineato} \ sin (\ theta +2 \ pi) & = + \ sin \ theta \\\ cos (\ theta +2 \ pi) & = + \ cos \ theta \\\ tan ( \ theta +2 \ pi) & = + \ tan \ theta \\\ cot (\ theta +2 \ pi) & = + \ cot \ theta \ end {allineato}}}

Equazioni trigonometriche

Alcune delle relazioni di cui sopra sono rafforzate dalle seguenti equivalenze:

cos⁡a=cos⁡B⇔a=B+2KπIn cui sia=-B+2Kπ(K∈Z){\ displaystyle \ cos a = \ cos b \ Leftrightarrow a = b + 2k \ pi \ quad {\ text {o}} \ quad a = -b + 2k \ pi \ qquad (k \ in \ mathbb {Z}) } peccato⁡a=peccato⁡B⇔a=B+2KπIn cui sia=π-B+2Kπ(K∈Z){\ displaystyle \ sin a = \ sin b \ Leftrightarrow a = b + 2k \ pi \ quad {\ text {o}} \ quad a = \ pi -b + 2k \ pi \ qquad (k \ in \ mathbb {Z })} tan⁡a=tan⁡B⇔a=B+Kπ(K∈Z){\ displaystyle \ tan a = \ tan b \ Leftrightarrow a = b + k \ pi \ qquad (k \ in \ mathbb {Z})}

Formule di addizione e differenza

Le due formule principali sono le formule di addizione per coseno e seno:

cos⁡(a+B)=cos⁡acos⁡B-peccato⁡apeccato⁡B{\ displaystyle \ cos (a + b) = \ cos a \ cos b- \ sin a \ sin b} peccato⁡(a+B)=peccato⁡acos⁡B+cos⁡apeccato⁡B{\ displaystyle \ sin (a + b) = \ sin a \ cos b + \ cos a \ sin b}

Sostituendo b con il suo opposto, otteniamo anche le formule di differenza:

cos⁡(a-B)=cos⁡acos⁡B+peccato⁡apeccato⁡B{\ displaystyle \ cos (ab) = \ cos a \ cos b + \ sin a \ sin b} peccato⁡(a-B)=peccato⁡acos⁡B-cos⁡apeccato⁡B{\ displaystyle \ sin (ab) = \ sin a \ cos b- \ cos a \ sin b}

Il modo più veloce per dimostrarli è, dalla definizione analitica di coseno e seno, usare le formule di Eulero .

Ci sono molte altre possibili dimostrazioni, usando le proprietà di una corda in una circonferenza, della relazione tra coseno di un angolo e prodotto scalare (valutando in due modi diversi il prodotto scalare dei vettori (cos a , sin a ) e (cos b , sin b ) , la proprietà del cambio di sistema di coordinate o la dimostrazione matriciale di seguito.

Dimostrazione della matrice

usa l'espressione della matrice di una rotazione piana (in base ortonormale diretta) in funzione del coseno e del seno del suo angolo  :

Rθ=(cos⁡θ-peccato⁡θpeccato⁡θcos⁡θ).{\ displaystyle R _ {\ theta} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \\\ end {pmatrix}}.}

Il piano di rotazione vettore dell'angolo un + b è il composto delle rotazioni di angoli a e b così la sua matrice è il prodotto delle matrici R una e R b  :

(cos⁡(a+B)...peccato⁡(a+B)...)=Ra+B=RaRB=(cos⁡a-peccato⁡apeccato⁡acos⁡a)(cos⁡B...peccato⁡B...)=(cos⁡acos⁡B-peccato⁡apeccato⁡B...peccato⁡acos⁡B+cos⁡apeccato⁡B...){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos (a + b) & \ ldots \\\ sin (a + b) & \ ldots \\\ end {pmatrix}} = R_ {a + b} = R_ {a } R_ {b} = {\ begin {pmatrix} \ cos a & - \ sin a \\\ sin a & \ cos a \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ cos b & \ ldots \ \\ sin b & \ ldots \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos a \ cos b- \ sin a \ sin b & \ ldots \\\ sin a \ cos b + \ cos a \ sin b & \ ldots \ \\ end {pmatrix}}}.

Le formule sono poi ottenute per identificazione.

Deduciamo le formule di addizione e differenza per la tangente e la cotangente. Ad esempio per l'aggiunta:

tan⁡(a+B)=tan⁡a+tan⁡B1-tan⁡atan⁡BeTcosto⁡(a+B)=costo⁡acosto⁡B-1costo⁡a+costo⁡B{\ displaystyle \ tan (a + b) = {\ frac {\ tan a + \ tan b} {1- \ tan a \ tan b}} \ quad {\ rm {e}} \ quad \ cot (a + b ) = {\ frac {\ culla a \ culla b-1} {\ culla a + \ culla b}}}. Esempio tan⁡(X+π/4)=1+tan⁡X1-tan⁡X{\ displaystyle \ tan (x + \ pi / 4) = {\ frac {1+ \ tan x} {1- \ tan x}}}.

Più in generale, la tangente di una somma di n angoli (risp. La cotangente) è espressa in funzione delle tangenti (risp. Delle cotangenti) di questi angoli:

tan⁡(θ1+...+θnon)=σ1-σ3+σ5-...1-σ2+σ4-...(tan⁡θ1,...,tan⁡θnon)eTcosto⁡(θ1+...+θnon)=σnon-σnon-2+σnon-4-...σnon-1-σnon-3+σnon-5-...(costo⁡θ1,...,costo⁡θnon){\ displaystyle \ tan (\ theta _ {1} + \ ldots + \ theta _ {n}) = {\ frac {\ sigma _ {1} - \ sigma _ {3} + \ sigma _ {5} - \ ldots} {1- \ sigma _ {2} + \ sigma _ {4} - \ ldots}} (\ tan \ theta _ {1}, \ ldots, \ tan \ theta _ {n}) \ quad {\ rm {et}} \ quad \ cot (\ theta _ {1} + \ ldots + \ theta _ {n}) = {\ frac {\ sigma _ {n} - \ sigma _ {n-2} + \ sigma _ {n-4} - \ ldots} {\ sigma _ {n-1} - \ sigma _ {n-3} + \ sigma _ {n-5} - \ ldots}} (\ cot \ theta _ {1} , \ ldots, \ cot \ theta _ {n})}

dove i σ k (per 0 ≤ k ≤ n ) sono i polinomi simmetrici elementari . Per n dispari, è la stessa frazione razionale  ; ad esempio per n = 3  :

tan⁡(a+B+vs)=F(tan⁡a,tan⁡B,tan⁡vs)eTcosto⁡(a+B+vs)=F(costo⁡a,costo⁡B,costo⁡vs)avevsF(tu,v,w)=tu+v+w-tuvw1-(tuv+tuw+vw).{\ displaystyle \ tan (a + b + c) = F (\ tan a, \ tan b, \ tan c) \ quad {\ rm {e}} \ quad \ cot (a + b + c) = F ( \ culla a, \ culla b, \ culla c) \ quad {\ rm {con}} \ quad F (u, v, w) = {\ frac {u + v + w-uvw} {1- (uv + uw + vw)}}.}

Un'altra conseguenza interessante della formula di addizione per sin è che permette di ridurre la combinazione lineare di seno e coseno a seno: αpeccato⁡X+βcos⁡X=α2+β2 peccato⁡(X+φ){\ displaystyle \ alpha \ sin x + \ beta \ cos x = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2}}} ~ \ sin (x + \ varphi)} o φ=aRvsTanon(β/α){\ displaystyle \ varphi = {\ rm {arctan}} (\ beta / \ alpha)}se α è positivo e se no.φ=aRvsTanon(β/α)+π{\ displaystyle \ varphi = {\ rm {arctan}} (\ beta / \ alpha) + \ pi}

Duplicazione e formule di mezzo angolo

Formule a doppio angolo

Dette anche "formule del doppio angolo", possono essere ottenute, per le prime due, sostituendo a e b con x nelle formule di addizione oppure utilizzando la formula di Moivre con n = 2. Dall'identità cos 2 x si deducono le due seguenti + peccato 2 x = 1 .

peccato⁡2X=2peccato⁡Xcos⁡X,cos⁡2X=cos2⁡X-peccato2⁡X=2cos2⁡X-1=1-2peccato2⁡X,tan⁡2X=2tan⁡X1-tan2⁡X=2costo⁡Xcosto2⁡X-1=2costo⁡X-tan⁡X.{\ displaystyle {\ begin {allineato} \ sin 2x & = 2 \ sin x \ cos x, \\\ cos 2x & = \ cos ^ {2} x- \ sin ^ {2} x = 2 \ cos ^ { 2} x-1 = 1-2 \ sin ^ {2} x, \\\ tan 2x & = {\ frac {2 \ tan x} {1- \ tan ^ {2} x}} = {\ frac { 2 \ cot x} {\ cot ^ {2} x-1}} = {\ frac {2} {\ cot x- \ tan x}}. \ end {allineato}}}

Formule di riduzione quadrati

Queste formule permettono di scrivere cos 2 x e sin 2 x , quindi anche tan 2 x , secondo il coseno del doppio angolo:

cos2⁡X=1+cos⁡(2X)2,peccato2⁡X=1-cos⁡(2X)2eTtan2⁡X=1-cos⁡(2X)1+cos⁡(2X).{\ displaystyle \ cos ^ {2} x = {\ frac {1+ \ cos (2x)} {2}}, \ quad \ sin ^ {2} x = {\ frac {1- \ cos (2x)} {2}} \ quad {\ rm {et}} \ quad \ tan ^ {2} x = {\ frac {1- \ cos (2x)} {1+ \ cos (2x)}}.}

Formule a mezzo angolo

|cos⁡(θ2)|=1+cos⁡θ2,|peccato⁡(θ2)|=1-cos⁡θ2{\ displaystyle \ left | \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right | = {\ sqrt {\ frac {1+ \ cos \ theta} {2}}}, \ qquad \ left | \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right | = {\ sqrt {\ frac {1- \ cos \ theta} {2}}}} tan⁡(θ2)=peccato⁡θ1+cos⁡θ=1-cos⁡θpeccato⁡θ{\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = {\ frac {\ sin \ theta} {1+ \ cos \ theta}} = {\ frac {1- \ cos \ theta} {\ sin \ theta}}} Dimostrazione

I primi due identità si deducono dalla riduzione delle formule piazze sostituendo x con θ / 2 .

Il terzo si ottiene scrivendotan⁡(θ2)=peccato⁡(θ/2)cos⁡(θ/2)=2cos⁡(θ/2)2cos⁡(θ/2)peccato⁡(θ/2)cos⁡(θ/2)=peccato⁡θ1+cos⁡θ,{\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = {\ frac {\ sin (\ theta / 2)} {\ cos (\ theta / 2)}} = {\ frac {2 \ cos (\ theta / 2)} {2 \ cos (\ theta / 2)}} {\ frac {\ sin (\ theta / 2)} {\ cos (\ theta / 2)}} = { \ frac {\ sin \ theta} {1+ \ cos \ theta}},}dove l'uguaglianza finale deriva dalle formule del doppio angolo.

L'ultima (in cui il peccato θ si presume essere diverso da zero) si deduce dapeccato2⁡θ=1-cos2⁡θ=(1-cos⁡θ)(1+cos⁡θ).{\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta = 1- \ cos ^ {2} \ theta = (1- \ cos \ theta) (1+ \ cos \ theta).}

Formule che coinvolgono la "tangente del semiarco"

Se poniamo, per x ≠ π + 2 k π ,

T=tan⁡(X/2){\ displaystyle t = \ tan (x / 2)},

noi abbiamo

cos⁡X=1-T21+T2eTpeccato⁡X=2T1+T2Dononvs{\ displaystyle \ cos x = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}} \ quad {\ rm {et}} \ quad \ sin x = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}} \ quad {\ rm {quindi}}}tan⁡X=2T1-T2.{\ displaystyle {} \ quad \ tan x = {\ frac {2t} {1-t ^ {2}}}.}

Nel caso di cambio di variabile in integrazione si aggiungerà la relazione: DX=2DT1+T2{\ displaystyle \ mathrm {d} x = {\ frac {2 \, \ mathrm {d} t} {1 + t ^ {2}}}}.

Queste formule consentono di semplificare i calcoli trigonometrici riducendosi a calcoli su frazioni razionali. Consentono inoltre di determinare l'insieme dei punti razionali del cerchio unitario .

formule Simpson

Trasformazione di prodotti in somme, o linearizzazione

cos⁡acos⁡B=cos⁡(a+B)+cos⁡(a-B)2{\ displaystyle \ cos a \ cos b = {\ frac {\ cos (a + b) + \ cos (ab)} {2}}} peccato⁡apeccato⁡B=cos⁡(a-B)-cos⁡(a+B)2{\ displaystyle \ sin a \ sin b = {\ frac {\ cos (ab) - \ cos (a + b)} {2}}} peccato⁡acos⁡B=peccato⁡(a+B)+peccato⁡(a-B)2{\ displaystyle \ sin a \ cos b = {\ frac {\ sin (a + b) + \ sin (ab)} {2}}} cos⁡apeccato⁡B=peccato⁡(a+B)-peccato⁡(a-B)2 {\ displaystyle \ cos a \ sin b = {\ frac {\ sin (a + b) - \ sin (ab)} {2}} \}(equivalente alla precedente invertendo un e b ).

Queste formule possono essere dimostrate espandendo i loro membri di destra utilizzando le formule di addizione e differenza .

Trasformazione di somme in prodotti, o anti-linearizzazione

cos⁡P+cos⁡Q=2cos⁡P+Q2cos⁡P-Q2{\ displaystyle \ cos p + \ cos q = 2 \ cos {\ frac {p + q} {2}} \ cos {\ frac {pq} {2}}} cos⁡P-cos⁡Q=-2peccato⁡P+Q2peccato⁡P-Q2{\ displaystyle \ cos p- \ cos q = -2 \ sin {\ frac {p + q} {2}} \ sin {\ frac {pq} {2}}} peccato⁡P+peccato⁡Q=2peccato⁡P+Q2cos⁡P-Q2{\ displaystyle \ sin p + \ sin q = 2 \ sin {\ frac {p + q} {2}} \ cos {\ frac {pq} {2}}} peccato⁡P-peccato⁡Q=2cos⁡P+Q2peccato⁡P-Q2{\ displaystyle \ sin p- \ sin q = 2 \ cos {\ frac {p + q} {2}} \ sin {\ frac {pq} {2}}}(equivalente al precedente, sostituendo q con –q ).

È sufficiente sostituire un byp + q/2e b dap - q/2nelle formule di trasformazione del prodotto in somma. Deduciamo una generalizzazione delle formule della tangente della metà dell'angolo  :

tan⁡P+Q2=peccato⁡P+peccato⁡Qcos⁡P+cos⁡Q=-cos⁡P-cos⁡Qpeccato⁡P-peccato⁡Q{\ displaystyle \ tan {\ frac {p + q} {2}} = {\ frac {\ sin p + \ sin q} {\ cos p + \ cos q}} = - {\ frac {\ cos p- \ cos q} {\ sin p- \ sin q}}}.

Inoltre, deduciamo direttamente dalla formula di addizione per sin  :

tan⁡P+tan⁡Q=peccato⁡(P+Q)cos⁡Pcos⁡Q{\ displaystyle \ tan p + \ tan q = {\ frac {\ sin (p + q)} {\ cos p \, \ cos q}}}.

formule di Eulero

cos⁡X=eioX+e-ioX2=cosh⁡ioX{\ displaystyle \ cos x = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} + {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x}} {2}} = \ cosh {\ rm {i}} x}

peccato⁡X=eioX-e-ioX2io=-iosinh⁡ioX{\ displaystyle \ sin x = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} - {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x}} {2 {\ rm {i}}}} = - {\ rm {i}} \ sinh {\ rm {i}} x}

dove i è l' unità immaginaria . deduciamo che

tan⁡X=io(1-e2ioX)1+e2ioX=-iotanh⁡ioX{\ displaystyle \ tan x = {\ frac {{\ rm {i}} \ sinistra (1 - {\ rm {e}} ^ {2 {\ rm {i}} x} \ destra)} {1+ { \ rm {e}} ^ {2 {\ rm {i}} x}}} = - {\ rm {i}} \ tanh {\ rm {i}} x}

Formula di Moivre e formule ad angolo multiplo

La formula di Moivre è:

cos⁡(nonX)+iopeccato⁡(nonX)=(cos⁡X+iopeccato⁡X)non{\ displaystyle \ cos (nx) + {\ rm {i}} \ sin (nx) = (\ cos x + {\ rm {i}} \ sin x) ^ {n}}.

Per la formula binomiale , è equivalente a:

cos⁡(nonX)=Σ0≤K≤non2(-1)K(non2K)cosnon-2K⁡X peccato2K⁡Xepeccato⁡(nonX)=Σ0≤K≤non-12(-1)K(non2K+1)cosnon-2K-1⁡X peccato2K+1⁡X{\ displaystyle \ cos (nx) = \ sum _ {0 \ leq k \ leq {\ frac {n} {2}}} (- 1) ^ {k} {n \ scegli 2k} \ cos ^ {n- 2k} x ~ \ sin ^ {2k} x \ quad {\ text {et}} \ quad \ sin (nx) = \ sum _ {0 \ leq k \ leq {\ frac {n-1} {2}} } (- 1) ^ {k} {n \ scegli 2k + 1} \ cos ^ {n-2k-1} x ~ \ sin ^ {2k + 1} x}.

Tenendo conto sin 2 x = 1- cos 2 x , se poniamo

Tnon=Σ0≤K≤non2(-1)K(non2K)Xnon-2K(1-X2)Ketunon=Σ0≤K≤non-12(-1)K(non2K+1)Xnon-2K-1(1-X2)K{\ displaystyle T_ {n} = \ sum _ {0 \ leq k \ leq {\ frac {n} {2}}} (- 1) ^ {k} {n \ scegli 2k} X ^ {n-2k} (1-X ^ {2}) ^ {k} \ quad {\ text {e}} \ quad U_ {n} = \ sum _ {0 \ leq k \ leq {\ frac {n-1} {2} }} (- 1) ^ {k} {n \ scegli 2k + 1} X ^ {n-2k-1} (1-X ^ {2}) ^ {k}},

abbiamo cos ( nx ) = T n (cos x ) e sin (( n +1) x ) = sin ( x ) U n (cos x ) .

Il polinomio T n (resp. U n ) è l' n- esimo polinomio di Chebyshev del primo (resp. Secondo) tipo.

Per esempio

cos⁡3X=4cos3⁡X-3cos⁡X,peccato⁡3X=peccato⁡X(4cos2⁡X-1)=-4peccato3⁡X+3peccato⁡X{\ displaystyle \ cos 3x = 4 \ cos ^ {3} x-3 \ cos x, \, \ sin 3x = \ sin x (4 \ cos ^ {2} x-1) = - 4 \ sin ^ {3 } x + 3 \ peccato x}.

La formula di Moivre permette anche di esprimere tan ( nx ) in funzione di tan x mediante la relazione

tan⁡nonX=Sono(1+iotan⁡X)nonD(1+iotan⁡X)non{\ displaystyle \ tan nx = {\ frac {{\ text {Im}} (1 + i \ tan x) ^ {n}} {{\ text {Re}} (1 + i \ tan x) ^ {n }}}}.

Per esempio

tan⁡3X=tan3⁡X-3tan⁡X3tan2⁡X-1{\ displaystyle \ tan 3x = {\ frac {\ tan ^ {3} x-3 \ tan x} {3 \ tan ^ {2} x-1}}}.

linearizzazione

La linearizzazione di un'espressione cos p x sin q x mira ad esprimerla come una combinazione lineare di vari cos ( nx ) (se q è pari) o sin ( nx ) (se q è dispari) - ad esempio per en calcolare un'antiderivata . Si possono usare sia le formule di trasformazione dei prodotti in somme sopra, sia le formule di Eulero  : cosP⁡XpeccatoQ⁡X=(eioX+e-ioX2)P(eioX-e-ioX2io)Q.{\ displaystyle \ cos ^ {p} x \ sin ^ {q} x = \ left ({\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} + {\ rm {e} } ^ {- {\ rm {i}} x}} {2}} \ destra) ^ {p} \ sinistra ({\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} - {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x}} {2 {\ rm {i}}}} \ destra) ^ {q}.}

Allora basta

• sviluppare ciascuno dei due fattori utilizzando la formula binomiale di Newton ,
• sviluppare il prodotto delle due somme ottenute (per distributività ),
• semplifica i termini usando quelloeioKXeioℓX=eio(K+ℓ)X,{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} kx} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ ell x} = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} (k + \ ell) x},}
• poi raggruppali insieme, sapendo che eiononX+e-iononX=2cos⁡(nonX)eTeiononX-e-iononX=2iopeccato⁡(nonX).{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} nx} + {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} nx} = 2 \ cos (nx) \ quad {\ rm {e}} \ quad {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} nx} - {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} nx} = 2 { \ rm {i}} \ sin (nx).}

Se uno dei due esponenti p o q è zero, chiamando il valore dell'altro “grado”, si ha:

Formule di linearizzazione di grado 2 o 3

Le formule di linearizzazione di grado 2 sono le “formule di riduzione al quadrato” viste sopra .

cos3⁡a=3cos⁡a+cos⁡(3a)4{\ displaystyle \ cos ^ {3} a = {{3 \ cos a + \ cos (3a)} \ over 4}} peccato3⁡a=3peccato⁡a-peccato⁡(3a)4{\ displaystyle \ sin ^ {3} a = {{3 \ sin a- \ sin (3a)} \ over 4}} tan3⁡a=3peccato⁡a-peccato⁡(3a)3cos⁡a+cos⁡(3a){\ displaystyle \ tan ^ {3} a = {{3 \ sin a- \ sin (3a)} \ over {3 \ cos a + \ cos (3a)}}} Formule di linearizzazione di qualsiasi grado

cos2non⁡X=(eioX+e-ioX2)2non=122non((2nonnon)+ΣK=0non-1((2nonK)eioXKe-ioX(2non-K)+(2non2non-K)eioX(2non-K)e-ioXK))=14non((2nonnon)+2ΣK=0non-1(2nonK)cos⁡(2(non-K)X))cos2non+1⁡X=(eioX+e-ioX2)2non+1=122non+1ΣK=0non((2non+1K)eioXKe-ioX(2non+1-K)+(2non+12non+1-K)eioX(2non+1-K)e-ioXK)=14nonΣK=0non(2non+1K)cos⁡((2(non-K)+1)X)=14nonΣℓ=0non(2non+1non-ℓ)cos⁡((2ℓ+1)X)∙ X←X-π2peccato2non⁡X=14non((2nonnon)-2Σℓ=0non-1(-1)ℓ(2nonnon-1-ℓ)cos⁡(2(ℓ+1)X))peccato2non+1⁡X=14nonΣℓ=0non(-1)ℓ(2non+1non-ℓ)peccato⁡((2ℓ+1)X){\ displaystyle {\ begin {allineato} \ cos ^ {2n} x & = \ left ({\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} + {\ rm {e} } ^ {- {\ rm {i}} x}} {2}} \ destra) ^ {2n} \\ & = {\ frac {1} {2 ^ {2n}}} \ sinistra ({{2n} \ scegli n} + \ somma _ {k = 0} ^ {n-1} {\ sinistra ({{2n} \ scegli k} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} xk} { \ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x (2n-k)} + {{2n} \ scegli {2n-k}} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i } } x (2n-k)} {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} xk} \ destra)} \ destra) \\ & = {\ frac {1} {4 ^ {n } }} \ sinistra ({{2n} \ scegli n} +2 \ somma _ {k = 0} ^ {n-1} {{{2n} \ scegli k} \ cos \ sinistra (2 (nk) x \ destra )} \ destra) \\\ cos ^ {2n + 1} x & = \ sinistra ({\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} + {\ rm {e }} ^ {- {\ rm {i}} x}} {2}} \ destra) ^ {2n + 1} \\ & = {\ frac {1} {2 ^ {2n + 1}}} \ sum _ { k = 0} ^ {n} {\ sinistra ({{2n + 1} \ scegli k} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} xk} {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x (2n + 1-k)} + {{2n + 1} \ scegli {2n + 1-k}} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i} } x (2n + 1-k)} {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} xk} \ destra)} \\ & = {\ frac {1} {4 ^ {n}} } \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{2n + 1} \ scegli k} \ cos \ left ((2 (nk) +1) x \ right) \\ & = {\ frac {1} {4 ^ {n}}} \ sum _ {\ ell = 0} ^ {n} {{2n + 1} \ scegli {n- \ ell}} \ cos \ left ((2 \ ell +1) x \ destra) \\\ bullet ~ x \ leftarrow & x - {\ frac {\ pi} {2}} & \\\ sin ^ {2n} x & = {\ frac {1} {4 ^ {n}}} \ sinistra ({{2n} \ scegli n} -2 \ somma _ {\ ell = 0} ^ {n-1} {(- 1) ^ { \ ell} {{2n} \ scegli {n-1- \ ell}} \ cos \ left (2 (\ ell +1) x \ right)} \ right) \\\ sin ^ {2n + 1} x & = {\ frac {1} {4 ^ {n}}} \ sum _ {\ ell = 0} ^ {n} (- 1) ^ {\ ell} {{2n + 1} \ scegli {n- \ ell } } \ sin \ left ((2 \ ell +1) x \ right) \ end {allineato}}}

Calcolo delle somme parziali di serie trigonometriche a coefficienti costanti

Le somme e hanno le seguenti espressioni chiuse, per  :VSnon=ΣK=0noncos⁡(Kθ+φ){\ displaystyle C_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ cos (k \ theta + \ varphi)}Snon=ΣK=0nonpeccato⁡(Kθ+φ){\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ sin (k \ theta + \ varphi)}θ≠0modalità2π{\ displaystyle \ theta \ neq 0 \ mod 2 \ pi}

VSnon=peccato⁡((non+1)θ2)peccato⁡θ2cos⁡(nonθ2+φ), Snon=peccato⁡((non+1)θ2)peccato⁡θ2peccato⁡(nonθ2+φ){\ displaystyle C_ {n} = {\ frac {\ sin \ left ((n + 1) {\ frac {\ theta} {2}} \ right)} {\ sin {\ frac {\ theta} {2} }}} \ cos \ left (n {\ frac {\ theta} {2}} + \ varphi \ right), \ S_ {n} = {\ frac {\ sin \ left ((n + 1) {\ frac {\ theta} {2}} \ destra)} {\ sin {\ frac {\ theta} {2}}}} \ sin \ sinistra (n {\ frac {\ theta} {2}} + \ varphi \ destra )}

.

Dimostriamo queste formule notando che e usando le somme delle successioni geometriche , o moltiplicando per e linearizzazione. VSnon+ioSnon=eioφΣK=0non(eioθ)K{\ displaystyle C_ {n} + iS_ {n} = e ^ {\ rm {i \ varphi}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (e ^ {i \ theta}) ^ {k}}peccato⁡θ2{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ theta} {2}}}

Lo deduciamo . SnonVSnon=tan⁡(nonθ2+φ){\ displaystyle {\ frac {S_ {n}} {C_ {n}}} = \ tan \ left (n {\ frac {\ theta} {2}} + \ varphi \ right)}

Per , . θ=0modalità2π{\ displaystyle \ theta = 0 \ mod 2 \ pi}VSnon=(non+1)cos⁡φ,Snon=(non+1)peccato⁡φ{\ displaystyle C_ {n} = (n + 1) \ cos \ varphi, \, S_ {n} = (n + 1) \ sin \ varphi}

Queste formule permettono di esprimere il kernel di Dirichlet D n , funzione definita da:

per tutte le x reali ,Dnon(X)=1+2cos⁡(X)+2cos⁡(2X)+2cos⁡(3X)+⋯+2cos⁡(nonX)=peccato⁡((non+12)X)peccato⁡(X/2){\ displaystyle D_ {n} (x) = 1 + 2 \ cos (x) +2 \ cos (2x) +2 \ cos (3x) + \ cdots +2 \ cos (nx) = {\ frac {\ sin \ sinistra (\ sinistra (n + {\ frac {1} {2}} \ destra) x \ destra)} {\ sin (x / 2)}}}

Il prodotto di convoluzione di qualsiasi funzione quadrata integrabile di periodo 2π con il nucleo di Dirichlet coincide con la somma di n ordini della sua serie di Fourier .

Funzioni trigonometriche reciproche

Queste sono le funzioni reciproche delle funzioni seno, coseno e tangente.

sì=arcsin⁡X⇔X=peccato⁡sìinsieme asì∈[-π2,π2]{\ displaystyle y = \ arcsin x \ Leftrightarrow x = \ sin y \ quad {\ text {con}} \ quad y \ in \ left [{\ tfrac {- \ pi} {2}}, {\ tfrac {\ pi} {2}} \ destra]} sì=arcos⁡X⇔X=cos⁡sìinsieme asì∈[0,π]{\ displaystyle y = \ arccos x \ Leftrightarrow x = \ cos y \ quad {\ text {with}} \ quad y \ in \ left [0, \ pi \ right]} sì=arctan⁡X⇔X=tan⁡sìinsieme asì∈]-π2,π2[{\ displaystyle y = \ arctan x \ Leftrightarrow x = \ tan y \ quad {\ text {con}} \ quad y \ in \ left] {\ tfrac {- \ pi} {2}}, {\ tfrac {\ pi} {2}} \ destra [}

Se poi X>0{\ stile di visualizzazione x> 0}

arctan⁡X+arctan⁡1X=π2{\ displaystyle \ arctan x + \ arctan {\ frac {1} {x}} = {\ frac {\ pi} {2}}}.

Se poi X<0{\ stile di visualizzazione x <0}

arctan⁡X+arctan⁡1X=-π2{\ displaystyle \ arctan x + \ arctan {\ frac {1} {x}} = - {\ frac {\ pi} {2}}}. Abbiamo anche la seguente identità: arctan⁡X+arctan⁡sì=arctan⁡X+sì1-Xsì+Kπ{\ displaystyle \ arctan x + \ arctan y = \ arctan {\ frac {x + y} {1-xy}} + k \ pi}

o

K=0SeXsì<1{\ displaystyle k = 0 \ quad {\ text {si}} \ quad xy <1} K=1SeXsì>1eX>0{\ displaystyle k = 1 \ quad {\ text {si}} \ quad xy> 1 \ quad {\ text {e}} \ quad x> 0} K=-1SeXsì>1eX<0{\ displaystyle k = -1 \ quad {\ text {si}} \ quad xy> 1 \ quad {\ text {e}} \ quad x <0}.

Molte identità simili alle seguenti possono essere ottenute dal Teorema di Pitagora .

Relazioni tra funzioni trigonometriche inverse per x > 0

	arcos	arcsin	arctan	arccot
arcos		arcos⁡X=π2-arcsin⁡X{\ displaystyle \ arccos x = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arcsin x}	arcos⁡X=arctan⁡1-X2X{\ displaystyle \ arccos x = \ arctan {\ frac {\ sqrt {1-x ^ {2}}} {x}}}	arcos⁡X=arccot⁡X1-X2{\ displaystyle \ arccos x = \ operatorname {arccot} {\ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}
arcsin	arcsin⁡X=π2-arcos⁡X{\ displaystyle \ arcsin x = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arccos x}		arcsin⁡X=arctan⁡X1-X2{\ displaystyle \ arcsin x = \ arctan {\ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}	arcsin⁡X=arccot⁡1-X2X{\ displaystyle \ arcsin x = \ operatorname {arccot} {\ frac {\ sqrt {1-x ^ {2}}} {x}}}
arctan	arctan⁡X=arcos⁡11+X2{\ displaystyle \ arctan x = \ arccos {\ frac {1} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}	arctan⁡X=arcsin⁡X1+X2{\ displaystyle \ arctan x = \ arcsin {\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}		arctan⁡X=arccot⁡1X{\ displaystyle \ arctan x = \ nomeoperatore {arccot} {\ frac {1} {x}}}
arccot	arccot⁡X=arcos⁡X1+X2{\ displaystyle \ operatorname {arccot} x = \ arccos {\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}	arccot⁡X=arcsin⁡11+X2{\ displaystyle \ operatorname {arccot} x = \ arcsin {\ frac {1} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}	arccot⁡X=arctan⁡1X{\ displaystyle \ operatorname {arccot} x = \ arctan {\ frac {1} {x}}}

Proprietà metriche in qualsiasi triangolo

Teorema di Al-Kashi o legge dei coseni

Sia ABC un triangolo, nel quale usiamo le solite notazioni: da un lato α , β e γ per le misure degli angoli e, dall'altro, a , b e c per le lunghezze dei lati rispettivamente opposti a questi angoli (vedi figura a lato). Quindi abbiamo:

vs2=a2+B2-2aB cos⁡ γ.{\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ \ cos \ \ gamma.}

formula del seno

Notando inoltre S l' area del triangolo e R il raggio del suo cerchio circoscritto (vedi figura a lato), abbiamo:

apeccato⁡α=Bpeccato⁡β=vspeccato⁡γ=aBvs2S=2R.{\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {abc } {2S}} = 2R.}

D'altra parte, S è il prodotto della metà perimetro p =a + b + c/2dal raggio r del cerchio inscritto .

Formula per le differenze dei lati

a-Bvs=peccato⁡α-β2cos⁡γ2eTa+Bvs=cos⁡α-β2peccato⁡γ2{\ displaystyle {\ frac {ab} {c}} = {\ frac {\ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ cos {\ frac {\ gamma} {2}}} } \ quad {\ rm {et}} \ quad {\ frac {a + b} {c}} = {\ frac {\ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ sin { \ frac {\ gamma} {2}}}}}. a-Ba+B=tan⁡α-β2tan⁡α+β2{\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {\ tan {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}}}. costo⁡α2=P-aR{\ displaystyle \ cot {\ frac {\ alpha} {2}} = {\ frac {pa} {r}}}.

Relazioni tra gli angoli

Sfruttando il fatto che otteniamo molte relazioni trigonometriche, tra cui ad esempio: α+β+γ=π{\ displaystyle \ alfa + \ beta + \ gamma = \ pi}

tan⁡α+tan⁡β+tan⁡γ=tan⁡αtan⁡βtan⁡γ{\ displaystyle \ tan \ alpha + \ tan \ beta + \ tan \ gamma = \ tan \ alpha \ tan \ beta \ tan \ gamma}

peccato⁡2α+peccato⁡2β+peccato⁡2γ=4peccato⁡αpeccato⁡βpeccato⁡γ{\ displaystyle \ sin 2 \ alpha + \ sin 2 \ beta + \ sin 2 \ gamma = 4 \ sin \ alpha \ sin \ beta \ sin \ gamma}

Identità senza variabili

• Richard Feynman ha ricordato questa curiosa identità, che ha chiamato legge di Morrie , per tutta la vita  :

cos⁡20∘⋅cos⁡40∘⋅cos⁡80∘=18{\displaystyle\cos 20^{\circ}\cdot\cos 40^{\circ}\cdot\cos 80^{\circ} = {\tfrac {1} {8}}}.

Tale identità è un esempio di identità che non contiene una variabile; si ottiene dall'uguaglianza:

ΠJ=0K-1cos⁡(2JX)=peccato⁡(2KX)2Kpeccato⁡X{\ displaystyle \ prod _ {j = 0} ^ {k-1} \ cos (2 ^ {j} x) = {\ frac {\ sin (2 ^ {k} x)} {2 ^ {k} \ peccato x}}}.

• Altri esempi:

cos⁡36∘+cos⁡108∘=cos⁡π5+cos⁡3π5=12.{\ displaystyle \ cos 36 ^ {\ circ} + \ cos 108 ^ {\ circ} = \ cos {\ frac {\ pi} {5}} + \ cos 3 {\ frac {\ pi} {5}} = {\ frac {1} {2}}.} cos⁡24∘+cos⁡48∘+cos⁡96∘+cos⁡168∘=cos⁡2π15+cos⁡22π15+cos⁡42π15+cos⁡72π15=12.{\ displaystyle \ cos 24 ^ {\ circ} + \ cos 48 ^ {\ circ} + \ cos 96 ^ {\ circ} + \ cos 168 ^ {\ circ} = \ cos {\ frac {2 \ pi} { 15}} + \ cos 2 {\ frac {2 \ pi} {15}} + \ cos 4 {\ frac {2 \ pi} {15}} + \ cos 7 {\ frac {2 \ pi} {15} } = {\ frac {1} {2}}.} cos⁡2π21+cos⁡22π21+cos⁡42π21+cos⁡52π21+cos⁡82π21+cos⁡102π21=12.{\ displaystyle \ cos {\ frac {2 \ pi} {21}} + \ cos 2 {\ frac {2 \ pi} {21}} + \ cos 4 {\ frac {2 \ pi} {21}} + \ cos 5 {\ frac {2 \ pi} {21}} + \ cos 8 {\ frac {2 \ pi} {21}} + \ cos 10 {\ frac {2 \ pi} {21}} = {\ frac {1} {2}}.}

I fattori 1, 2, 4, 5, 8, 10 sono numeri interi inferiori a 21/2 che non hanno un fattore comune con 21.

Questi esempi sono conseguenze di un risultato di base sui polinomi ciclotomici  ; i coseni sono le parti reali delle radici di questi polinomi; la somma degli zeri dà il valore della funzione di Möbius in 21 (nell'ultimo caso sopra); solo la metà delle radici sono presenti in queste relazioni.

• In questo articolo , troveremo identità che coinvolgono l'angolo , come ad esempioπ7{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {7}}}cos⁡π7-cos⁡2π7+cos⁡3π7=12{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {7}} - \ cos {\ frac {2 \ pi} {7}} + \ cos {\ frac {3 \ pi} {7}} = {\ frac {1} {2}}}
• e in esso , identità che coinvolgono l' angolo , come .π9{\ displaystyle \ pi \ over 9}cos⁡π9-cos⁡2π9+cos⁡4π9=12{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {9}} - \ cos {\ frac {2 \ pi} {9}} + \ cos {\ frac {4 \ pi} {9}} = {\ frac {1} {2}}}
• Un'altra identità classica:, da cui possiamo dedurre .ΠK=1non-1peccato⁡Kπnon=non2non-1{\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ sin {\ frac {k \ pi} {n}} = {\ frac {n} {2 ^ {n-1}}}}peccato⁡1∘peccato⁡2∘...peccato⁡90∘=1802179{\ displaystyle \ sin 1 ^ {\ circ} \ sin 2 ^ {\ circ} ... \ sin 90 ^ {\ circ} = {\ sqrt {\ frac {180} {2 ^ {179}}}}}

In analisi

In analisi , è essenziale che gli angoli che appaiono come argomenti delle funzioni trigonometriche siano misurati in radianti  ; se sono misurati in gradi o in qualsiasi altra unità, le relazioni sotto riportate diventano false.

Gestione

Il significato geometrico del seno e della tangente "  mostra  " - e il teorema degli incrementi finiti lo dimostra - che

∀X∈]0,π/2[peccato⁡(X)<X<tan⁡(X).{\ displaystyle \ forall x \ in \ left] 0, \ pi / 2 \ right [\ quad \ sin (x) <x <\ tan (x).} Dettagli

• L'argomento geometrico consiste (cfr figura a lato) nel racchiudere l'area di un settore circolare del disco unitario, di angolo θ = x , da quella di due triangoli:
  • l'area del triangolo OAD, contenuta nel settore, è (sinθ) / 2;
  • quello del settore è per definizione pari a /2;
  • quella del triangolo OCD, che la contiene, vale (tanθ) / 2.
• La dimostrazione analitica consiste nel considerare una y reale (fornita dal teorema degli incrementi finiti) tale che0<sì<X e peccato⁡XX=peccato'⁡sì=cos⁡sì{\ displaystyle 0 <y <x {\ text {et}} {\ frac {\ sin x} {x}} = \ sin 'y = \ cos y}e nota checos⁡X<cos⁡sì<1.{\ displaystyle \ cos x <\ cos y <1.}

Questo quadro è spesso usato; due esempi sono metodo di Archimede per calcolare il numero π (vedi quadratura del cerchio ) e il problema Basilea .

Sostituendo x in arctan x , otteniamo:

∀X>0X1+X2<arctan⁡X<X.{\ displaystyle \ forall x> 0 \ quad {\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}} <\ arctan x <x.}

Cambiando x in arcsin x , otteniamo:

∀X∈]0,1[X<arcsin⁡X<X1-X2.{\ displaystyle \ forall x \ in \ left] 0.1 \ right [\ quad x <\ arcsin x <{\ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}.}

Derivati

Le derivate di sin e cos possono essere dedotte l'una dall'altra spostando π / 2 . Loro sono :

peccato'=cos,cos'=-peccato.{\ displaystyle \ sin '= \ cos, \ quad \ cos' = - \ sin.} Esempi di dimostrazioni

• Se le funzioni trigonometriche sono geometricamente definite, ci convinciamo anzitutto del quadro di cui sopra, dal quale deduciamo subito (grazie al teorema dei gendarmi )limiX→0peccato⁡XX=1.{\ displaystyle \ lim _ {x \ freccia destra 0} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1.}Questo limite permette di calcolare le derivate di sin e cos , dalla definizione del numero derivato come limite di un tasso di incremento , trasformando la differenza in un prodotto nel numeratore di questo tasso.
• Se le funzioni trigonometriche sono definite analiticamente, allora le derivate possono essere ottenute derivando l' intera serie termine per termine.

Le altre funzioni trigonometriche possono essere derivate utilizzando le identità precedenti e le regole di derivazione . Per esempio :

tan'=1+tan2=1cos2=asciutto2,{\ displaystyle \ tan '= 1 + \ tan ^ {2} = {\ frac {1} {\ cos ^ {2}}} = \ sec ^ {2},} costo'=-1-costo2=-1peccato2=-csc2,{\ displaystyle \ cot '= -1- \ cot ^ {2} = - {\ frac {1} {\ sin ^ {2}}} = - \ csc ^ {2},} arcsin'⁡(X)=11-X2,{\ displaystyle \ arcsin '(x) = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}},} arcos'=-arcsin',{\ displaystyle \ arccos '= - \ arcsin',} arctan'⁡(X)=11+X2.{\ displaystyle \ arctan '(x) = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}.}

Primitivi

Le identità sugli integrali si trovano nella tabella delle primitive delle funzioni trigonometriche .

Note e riferimenti

Appunti

1. Per una dimostrazione dello sviluppo dell'abbronzatura ( a + b ) , si veda ad esempio questo capitolo della lezione "Trigonometria" su Wikiversità . Quello del lettino ( a + b ) si dimostra allo stesso modo.
2. Vedere "  Legge delle cotangenti  " per l'uso.
3. Purché t sia diverso da ± 1 , ovvero x ≠π/2+ K π .
4. Vedi più in generale questo elenco di identità su Wikiversità .

Riferimenti

1. (in) Milton Abramowitz e Irene Stegun , Manuale di funzioni matematiche con formule, grafici e tabelle matematiche [ dettagli della pubblicazione ] ( leggi online ), pag.  73 , 4.3.45.
2. Arthur Adam e Francis Lousberg, Espace Math 5e/6e , De Boeck,2003( leggi in linea ) , p.  144.
3. Lionel Porcheron, La forma MPSI , MP , Dunod,2008, 4 °  ed. ( leggi in linea ) , p.  178.
4. Dany-Jack Mercier, La prova della presentazione a CAPES la matematica , vol.  2, Libro Pubblico,2006( leggi in linea ) , p.  168.
5. (in) Martin Erickson, Aha! Soluzioni , MAA ,2009( leggi in linea ) , p.  30-31.
6. Collettivo, obiettivo Bac - Tutti i soggetti - Termine STI2D , Hachette,2014( leggi in linea ) , p.  18.
7. Mercier 2006 , p.  169.
8. “Formule di Carnot  ” ( Adam e Lousberg 2003 , p.  143).
9. Jean-Pierre Ramis , André Warusfel et al. , All-in-one Matematica per la licenza - livello L1 , Dunod, 2 °  ed. ( leggi in linea ) , p.  676.
10. (in) Fred Richman , "  Un argomento circolare  " , The College Mathematics Journal  (in) , vol.  24, n .  2marzo 1993, pag.  160-162 ( leggi online ).
11. Dettagliato in Funzioni trigonometriche/Proprietà preliminari su Wikiversità .

Vedi anche

• Funzione iperbolica
• Trigonometria

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