Omeomorfismo

In topologia , un omeomorfismo si applica biunivoca continuo , uno spazio topologico all'altro, il biiezione inversa è continuo. In questo caso, i due spazi topologici sarebbero omeomorfi .

La nozione di omeomorfismo è la nozione giusta per dire che due spazi topologici sono "uguali" visti in modo diverso. Questo è il motivo per cui gli omeomorfismi sono gli isomorfismi della categoria degli spazi topologici .

Proprietà

• Una biiezione continua è un omeomorfismo se e solo se è aperto o chiuso (è quindi entrambi).
• Sia K uno spazio topologico compatto , E uno spazio topologico separato e f: K → E una biiezione continua. Allora f è un omeomorfismo. In particolare, E è una compatta.In effetti, qualsiasi F chiuso di K è compatto; come E viene separata, l'immagine F da f è compatto, a maggior ragione chiuso in E . Pertanto, f è una biiezione continua chiusa, cioè un omeomorfismo del punto precedente.
• Una biiezione continua non è sempre un omeomorfismo (vedere l'articolo Confronto di topologie ). Ad esempio, l'applicazionef:[0,2π[→S1, t↦(cos⁡t,peccato⁡t){\ Displaystyle f: \ left [0,2 \ pi \ right [\ to S ^ {1}, ~ t \ mapsto (\ cos t, \ sin t)}è una biiezione continua ma il suo reciproco non è continuo a (1, 0) . In effetti, non c'è omeomorfismo tra il cerchio S 1 e una parte di ℝ (per argomenti di connessione o semplice connessione ).

Definizioni associate

Una mappa f  : X → Y è un omeomorfismo locale  (in) se ogni punto di X appartiene a un aperto V tale che f ( V ) è aperto in Y e che f dà, per restrizione , un omeomorfismo di V su f ( V ). Tale applicazione è continua e aperta.

Esempi

• Qualsiasi copertura è un omeomorfismo locale.
• Per ogni X aperta di Y , l'inclusione X → Y è un omeomorfismo locale.
• Qualsiasi composto X → Z di omeomorfismi locali X → Y e Y → Z è un omeomorfismo locale.
• Qualsiasi unione disgiunta ∐ i ∈ I X i → Y di omeomorfismi locali X i → Y è un omeomorfismo locale.
• Qualsiasi quoziente X / ~ → Y di un omeomorfismo locale X → Y da una relazione di equivalenza aperta e compatibile ~ è un omeomorfismo locale. (Cfr. la "  linea reale con un doppio punto  ".)
• Qualsiasi diffeomorfismo locale da una varietà all'altra è un omeomorfismo locale.

Una proprietà topologica è una proprietà invariante dagli omeomorfismi.

Esempi

• Tutto il diffeomorfismo è omeomorfismo .
• La sfera di Riemann privata del polo nord è omeomorfa al piano: un omeomorfismo è qui la proiezione stereografica .
• Il toro di dimensione 1 e il cerchio unitario (o qualsiasi altro cerchio di raggio diverso da zero) sono omeomorfi.

Riferimento

1. Jacques Dixmier , Topologia Generale , Paris, PUF ,diciannove ottantuno, 164  p. ( ISBN  2-13-036647-3 , OCLC  417477300 ) , paragrafi 2.5 p.  31 e 4.2.16 p.  55.

Vedi anche

Articoli Correlati

• Teorema della biiezione
• Morfismo
• Isomorfismo
• Sistemi dinamici
• Teorema di invarianza di dominio
• Proprietà locale
• Immergersi

Link esterno

Omeomorfismo dell'aereo su un quadrato  : animazione su GeoGebra accompagnata da un esercizio

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