La geometria non commutativa , sviluppata da Alain Connes , è una branca della matematica , in particolare un tipo di geometria algebrica separata dalla geometria algebrica come viene solitamente intesa (quella sviluppata da Alexander Grothendieck ) come interessata agli oggetti definiti da strutture algebriche non commutative .
L'idea principale è che uno spazio ai sensi della solita geometria può essere descritto dall'insieme di funzioni digitali definite su questo spazio. Questo insieme di funzioni forma un'algebra associativa su un campo , che è anche commutativa: il prodotto di due funzioni non dipende dalla scelta di un ordine. Possiamo quindi pensare di vedere le algebre associative non commutative come "algebre di funzione" su "spazi non commutativi", come il toroide non commutativo .
L'approccio moderno a molte domande geometriche è quello di concentrarsi su funzioni definite nello spazio che vogliamo studiare. Ad esempio, lo studio della geometria delle varietà Riemanniane implica lo studio delle funzioni meromorfe definite sulla varietà, con il teorema di Riemann-Roch e le sue generalizzazioni come strumento centrale ; la geometria algebrica nella sua rifusione da Grothendieck , è interamente dedicata allo studio delle funzioni generalizzate (i pattern ). Questi insiemi di funzioni formano, per addizione e moltiplicazione, anelli commutativi , che in molti casi caratterizzano lo spazio corrispondente; possiamo quindi dire che questi spazi hanno, in un certo senso, una topologia commutativa.
Il “sogno” di una geometria non commutativa è anche quello di associare ad anelli non commutativi “spazi” che potrebbero essere interpretati come il supporto degli elementi dell'anello, considerati come “funzioni”. Le generalizzazioni corrispondenti, che sono altamente non banali, sono chiamate spazi non commutativi , dotati di topologie non commutative .
Da un punto di vista tecnico, parte della teoria sviluppata da Alain Connes ha le sue radici in approcci più antichi, in particolare dalla teoria ergodica . Intorno al 1970, George Mackey aveva così creato una teoria dei sottogruppi virtuali , che sarebbero spazi omogenei (in senso esteso) per azioni di gruppo ergodiche; questa teoria è ora interpretata come un caso speciale di geometria non commutativa.
Nel 1997, Alain Connes ha scoperto le applicazioni della geometria non commutativa alla teoria M , cosa che ha portato i fisici a interessarsene; sono risultate varie e inaspettate applicazioni, in particolare nella teoria quantistica dei campi .
La rappresentazione di Gelfand (in) associa ad un'algebra C * commutativa (per dualità ) uno spazio separato localmente compatto ; anche nel caso non commutativo possiamo associare ad una C * -algebra S uno spazio topologico Ŝ detto suo spettro ; spesso diciamo allora che Ŝ è uno spazio non commutativo .
Esiste anche una dualità tra spazi misurati σ-finiti e algebre commutative di Von Neumann , allo stesso modo associamo oggetti algebrici di Von Neumann non commutativi chiamati per questo motivo spazi misurati non commutativi .
Una varietà Riemanniana M è uno spazio topologico dotato di strutture aggiuntive; l'algebra C ( M ) delle funzioni continue su M permette di ricostruire solo la topologia. Un invariante algebrico che permette di ricostituire la struttura Riemanniana è stato introdotto da Alain Connes con il nome di tripletta spettrale (en) , ispirandosi al teorema dell'indice di Atiyah-Singer . È costruito da un fascio vettoriale liscio E sopra M , il fascio dell'algebra esterna . Lo spazio di Hilbert L 2 ( M , E ) delle sezioni di E di quadrato integrabile rappresenta C ( M) (per gli operatori di moltiplicazione); possiamo definire un operatore illimitato D su L 2 ( M , E ) di un insieme risolutivo compatto tale che gli interruttori [ D , f ] siano limitati quando f è differenziabile. Nel 2008, Alain Connes ha dimostrato che la M , come varietà Riemanniana, è caratterizzata da questa tripletta.
Questo porta a definire una varietà Riemanniana non commutativa come una tripletta ( A , H , D ) formata da una rappresentazione di un'algebra C * A (non commutativa) su uno spazio di Hilbert H , e di un operatore illimitato D su H , compatti risolvendo insieme, come [ D , a ] è limitato per tutto ha qualche subalgebra densa di a . La ricerca su questo argomento è molto attiva e sono stati costruiti molti esempi di varietà Riemanniane non commutative.
La dualità tra schemi affini e anelli commutativi porta a definire per analogia una categoria di schemi affini non commutativi come duale della categoria degli anelli unitari . In questo contesto, alcune generalizzazioni della topologia Zariski consentono di associare questi diagrammi affini con oggetti più generali.
La costruzione di Proj (en) su un anello commutativo graduato può essere estesa anche al caso non commutativo, seguendo le linee di un teorema di Serre sulla categoria dei fasci coerenti . Questa estensione è considerata una definizione di geometria proiettiva non commutativa da Michael Artin e JJ Zhang.
Una delle domande che motivano la teoria è la possibilità di estendere invarianti topologici classici, come l' omologia , al caso non commutativo, e più precisamente di definirli per dualità da algebre di operatori non commutativi.
Uno dei punti di partenza di Alain Connes in questa direzione è la sua scoperta di una nuova teoria coomologica , la coomologia ciclica , così come la sua relazione con la teoria K algebrica (attraverso i caratteri di Connes-Chern).
La teoria delle classi caratteristiche di varietà differenziabili può essere estesa a triple spettrali utilizzando gli strumenti della coomologia ciclica; quindi, la classe caratteristica fondamentale in questa estensione, il ciclo JLO (en) , generalizza il carattere di Chern . Diverse generalizzazioni del teorema dell'indice consentono l'estrazione effettiva di invarianti numerici da triple.