Gravità superficiale

In astronomia , la gravità superficiale è l'intensità del campo gravitazionale sulla superficie di un oggetto astrofisico ( pianeta , stella o altro). Questo concetto è utilizzato anche, anche se in modo leggermente diverso, nella fisica dei buchi neri dove regola la velocità con cui il campo gravitazionale nel senso classico del termine diverge quando si avvicina alla superficie del buco nero, cioè - diciamo del suo orizzonte .

Nella fisica stellare e substellare (nane brune, esopianeti massicci), l'usanza è quella di utilizzare il logaritmo decimale del valore espresso nel sistema CGS (cm / s²).

Formula newtoniana

Nel quadro della meccanica classica , la gravità superficiale è data dalla solita formula del campo gravitazionale di un oggetto sferico, ovvero: $\ kappa$

{\ displaystyle \ kappa = {\ frac {GM} {R ^ {2}}} = {\ frac {\ mu} {R ^ {2}}}}

o :

$G$ è la costante gravitazionale ;
$M$ è la massa dell'oggetto considerato;
$R$ è il suo raggio, l'oggetto considerato approssimativamente sferico;
$\ mu$ è il parametro gravitazionale standard associato alla massa dell'oggetto . $\ mu = GM$

Corpi celesti del sistema solare

Corpo celestiale	Gravità superficiale
Sole	273,95 m · s -2
Mercurio	3.701 m · s -2
Venere	8,87 m · s -2
Terra	Da 9,78 (equatore) a 9,83 m · s -2 (perno)
Luna	1,622 m · s -2
marzo	3,711 m · s -2
Giove	24,796 m · s -2
Saturno	10,44 m · s -2
Titano	1,352 m · s -2
Urano	8,87 m · s -2
Nettuno	11,15 m · s -2

Caso di buchi neri

Nell'ambito della fisica dei buchi neri, è possibile definire un analogo del concetto di gravità superficiale. Tuttavia, sii consapevole che un buco nero può essere considerato quasi per definizione come un oggetto sulla "superficie" di cui (cioè a livello del suo orizzonte ) il campo gravitazionale è infinito. C'è, tuttavia, un'altra quantità che diverge quando ci si avvicina all'orizzonte di un buco nero: è lo spostamento verso il rosso gravitazionale dei segnali emessi da questa zona. In questo contesto, definiamo la gravità superficiale di un buco nero dal limite del rapporto tra l'intensità del campo gravitazionale e lo spostamento verso il rosso causato dal buco nero. Possiamo quindi mostrare che questa quantità rimane finita quando ci avviciniamo all'orizzonte, e che nel caso più semplice di un buco nero di Schwarzschild , il suo valore è uguale a quello che dedurremmo ingenuamente in un trattamento newtoniano, c 'vale a dire che vale di nuovo G M / R 2 .

Formula e casi speciali

L'esatta espressione della gravità superficiale è scritta, in unità geometriche ,

{\ displaystyle \ kappa = {\ frac {\ sqrt {M ^ {2} -a ^ {2} -Q ^ {2}}} {2M \ left (M + {\ sqrt {M ^ {2} -a ^ {2} -Q ^ {2}}} \ right) -Q ^ {2}}}}

dove M , Q , a rappresentano rispettivamente la massa, la carica elettrica e il momento angolare ridotto (cioè il rapporto tra momento angolare e massa) del buco nero.

Per un buco nero estremo , per il quale la quantità svanisce, abbiamo ${\ displaystyle M ^ {2} -a ^ {2} -Q ^ {2}}$

{\ displaystyle \ kappa _ {\ rm {Ext}} = 0}

Nel caso di un buco nero di Schwarzschild , cioè avente al contrario né carica elettrica né momento angolare, si ottiene

{\ displaystyle \ kappa = {\ frac {1} {4 M}}}

che dà, con le unità del Sistema Internazionale ,

{\ displaystyle \ kappa _ {\ rm {Sch}} = {\ frac {GM} {R ^ {2}}}}

con

R = \ frac {2 GM} {c ^ 2}

corrispondente al raggio di Schwarzschild . Quindi, eliminando : $R$

{\ displaystyle \ kappa _ {\ rm {Sch}} = {\ frac {1} {M}} \ left ({\ frac {c ^ {4}} {4G}} \ right)}

Riconosciamo lì la forza che è il valore della forza di Planck . La gravità superficiale di un buco nero di Schwarzschild è quindi inversamente proporzionale alla sua massa , il suo valore è l'inverso della sua massa in unità di Planck ridotte (dove G è sostituito da 4G). ${\ displaystyle c ^ {4} / 4G}$ $M$

Proprietà della gravità superficiale di un buco nero

La proprietà principale della gravità superficiale di un buco nero è che è strettamente costante su tutta la superficie del buco nero. Questo risultato è logico nel caso di un buco nero sfericamente simmetrico (buco nero di Schwarzschild e Reissner-Nordström ), ma è più sorprendente quando il buco nero non è sferico a causa della sua rotazione ( buco nero di Kerr o di Kerr-Newman ) .

La gravità superficiale può essere determinata calcolando la derivata parziale della massa di un qualsiasi buco nero rispetto alla sua superficie A mantenendo fissi la sua carica elettrica Q e il suo momento angolare L , secondo la formula

{\ displaystyle \ kappa = {\ frac {G} {8 \ pi}} \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial A}} \ right) _ {Q, L}}

Pertanto, il differenziale della massa di un buco nero è scritto nel sistema di unità geometriche ,

{\ displaystyle {\ rm {d}} M = {\ frac {\ kappa} {8 \ pi}} {\ rm {d}} A + ...}

Il fatto che la superficie di un buco nero cresca necessariamente nel tempo, e che la gravità superficiale sia costante sull'orizzonte di un buco nero, è da paragonare ai principi della termodinamica che dicono che la temperatura di un oggetto in equilibrio è ovunque lo stesso nell'oggetto e che la sua entropia può solo aumentare con il tempo. Questo fatto infatti non è banale ed è all'origine dello sviluppo di una profonda analogia tra buchi neri e termodinamica: la termodinamica dei buchi neri . La dimostrazione di questo risultato è relativamente complessa, ed è dovuta a Brandon Carter , Stephen Hawking e James Bardeen , nel 1973 .

Appunti

(in) James M. Bardeen , Brandon Carter & Hawking , The Four Laws of Black Hole Mechanics , Communications in Mathematical Physics , 31 , 161-170 (1973) Vedi online .

Riferimenti

(en) Robert M. Wald , Relatività generale , University of Chicago Press ,1984, 498 p. ( ISBN 0226870332 ), pagine da 330 a 334.
" Camminare sugli esopianeti: Star Wars è giusto? "[" Walking on Exoplanets: Is Star Wars right? " »], ArXiv ,2016( leggi online )