funzione di Liouville
La funzione di Liouville , notato λ e chiamato in onore del francese matematico Joseph Liouville , è un importante funzione aritmetica della teoria dei numeri , definito da:
∀non∈NON*,λ(non)=(-1)Ω(non),{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*}, \ quad \ lambda (n) = (- 1) ^ {\ Omega (n)},}
dove Ω ( n ) è il numero di fattori primi contati con la molteplicità dell'intero n > 0.
Se non=Πio=1mpioγio, allora Ω(non)=Σio=1mγio.{\ displaystyle {\ text {si}} n = \ prod _ {i = 1} ^ {m} p_ {i} ^ {\ gamma _ {i}}, {\ text {quindi}} \ Omega (n) = \ somma _ {i = 1} ^ {m} \ gamma _ {i}.}
ad esempio: 12 = 2² × 3 e (12) = 3).
Proprietà
Σnon=1∞λ(non)nonS=ζ(2S)ζ(S).{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (2s)} {\ zeta (s )}}.}
Σnon=1∞λ(non)qnon1-qnon=Σnon=1∞qnon2=12(θ3(q)-1){\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n ^ {2}} = {\ frac {1} {2}} \ sinistra (\ vartheta _ {3} (q) -1 \ destra)}
dove è una funzione theta di Jacobi.
θ3(q){\ displaystyle \ vartheta _ {3} (q)}
congetture
Congettura di Polia
Notiamo . Pólya aveva ipotizzato nel 1919 ciò , che fu confutato nel 1958 da Colin Brian Haselgrove . Minoru Tanaka ha trovato nel 1980 il più piccolo controesempio n : L (906 150 257) = 1. Abbiamo anche L ( n ) > 0,061867 √ n per un'infinità di interi n . Non è noto se il numero di cambiamenti di segno di L sia finito, e per una buona ragione: risulterebbe l' ipotesi di Riemann e la semplicità di tutti gli zeri della funzione zeta di Riemann .
L(non)=ΣK=1nonλ(K){\ displaystyle L (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ lambda (k)}∀non>1,L(non)⩽0{\ displaystyle \ forall n> 1, \; L (n) \ leqslant 0}
Un'altra congettura (a volte erroneamente attribuita a Pál Turán ): se definiamo , allora sembrava plausibile che M ( n ) ≥ 0 per n sufficientemente grande, che fu confutata anche nel 1958 da Haselgrove. Questa proprietà, se fosse stata vera, avrebbe portato, come aveva mostrato Pál Turán, alla veridicità dell'ipotesi di Riemann.
M(non)=ΣK=1nonλ(K)K{\ displaystyle M (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ lambda (k)} {k}}}
Congettura di Chowla
Una congettura Sarvadaman Chowla afferma che per i numeri interi non negativi tutti gli interi distinti e non negativi con for abbiamo:
K{\ stile di visualizzazione k}bio{\ displaystyle b_ {i}}K{\ stile di visualizzazione k}aio{\ displaystyle a_ {i}}aiobj-ajbio≠0{\ displaystyle a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} \ non = 0}1≤io<j≤K{\ displaystyle 1 \ leq i <j \ leq k}
Σ1≤non≤Xλ(a1non+b1)⋅⋅⋅λ(aKnon+bK)=o(X){\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq n \ leq x} \ lambda (a_ {1} n + b_ {1}) \ cdot \ cdot \ cdot \ lambda (a_ {k} n + b_ {k}) = o (x)}quando ,
X→∞{\ displaystyle x \ a \ infty}dove denota il simbolo Landau .
o{\ stile di visualizzazione o}
La congettura è vera poiché è equivalente al teorema dei numeri primi ; è aperto per .
K=1{\ stile di visualizzazione k = 1}K≥2{\ displaystyle k \ geq 2}
Nel 2015, Kaisa Matomäki , Maksym Radziwill e Terence Tao hanno fatto dei progressi, quando si tratta di una versione media delle congetture. Nel 2016 Terence Tao ha dimostrato una versione logaritmica della congettura nel caso . Una congettura simile viene formulata allo stesso modo, sostituendo la funzione di Liouville con la funzione di Möbius.
K=2{\ stile di visualizzazione k = 2}
Note e riferimenti
(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in
inglese intitolato
“ Funzione di Liouville ” ( vedi elenco degli autori ) .
-
Suite A008836 di OEIS .
-
(en) Eric W. Weisstein , “ Pólya Conjecture ” , su MathWorld .
-
(en) CB Haselgrove , “ A congettura di una congettura di Pólya ” , Mathematika , vol. 5,1958, pag. 141-145 ( DOI 10.1112 / S0025579300001480 ).
-
(en) Peter Borwein , Ron Ferguson e Michael J. Mossinghoff , " Cambiamenti di segno nelle somme della funzione di Liouville " , Math. comp. , vol. 77, n . 263,2008, pag. 1681-1694 ( leggi in linea ).
-
K. Matomäki, M. Radziwill, Terence Tao : una forma media della congettura di Chowla, Algebra & Number Theory, vol 9, 2015, pp 2167-2196, Arxiv
-
T. Tao: La media logaritmica delle congetture di Chowla ed Elliott per le correlazioni a due punti, Forum of Mathematics, Pi (2016), vol. 4, 36 pagine doi: 10.1017 / fmp.2016.6.