Funzione additiva (aritmetica)

In teoria dei numeri , una funzione additiva f è una funzione aritmetica (definita quindi sull'insieme degli interi strettamente positivi con valori nell'insieme dei numeri complessi ) come: $\ mathbb {C}$

per tutti gli interi a e b > 0 primi tra loro , f ( ab ) = f ( a ) + f ( b )

(in particolare, f (1) = 0).

Diciamo che f è (una funzione additiva) reale se è valutata solo nell'insieme dei numeri reali . $\ mathbb {R}$

Una funzione aritmetica f si dice completamente additiva quando:

Per tutti gli interi a e b > 0, f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ),

anche se a e b non sono primi tra loro.

A parte la teoria dei numeri, il termine additivo viene solitamente utilizzato per tutte le funzioni che soddisfano:

Per tutti gli elementi a e b del dominio di definizione di f , f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ).

Questo articolo riguarda solo le funzioni aggiuntive della teoria dei numeri.

Qualsiasi funzione completamente additiva è additiva, ma il contrario è falso.

Esempi di funzioni completamente additive

Due esempi fondamentali

la restrizione della funzione logaritmica a * .
la valutazione p- adica , per ogni numero primo p .

La funzione

La funzione Ω associa ad un numero naturale n diverso da zero , il numero con ripetizione (cioè contando più volte i fattori multipli) dei fattori primi di n :

{\ text {si}} n = \ prod _ {{i = 1}} ^ {m} p_ {i} ^ {{\ gamma _ {i}}}, {\ text {quindi}} \ Omega (n ) = \ somma _ {{i = 1}} ^ {m} \ gamma _ {i}.

Per esempio (suite A001222 dalla OEIS ):

(4) = 2; (24) = (2 3 ⋅ 3 1 ) = 3 + 1 = 4; (27) = 3; Ω (144) = (2 4 ⋅ 3 2 ) = Ω (2 4 ) + Ω (3 2 ) = 4 + 2 = 6; Ω (2000) = (2 4 ⋅ 5 3 ) = Ω (2 4 ) + Ω (5 3 ) = 4 + 3 = 7; (2.001) = 3; (2.002) = 4; (2.003) = 1; (54.032.858.972.279) = 3; (54.032.858.972.302) = 6; Ω (20 802 650 704 327 415) = 7.

La funzione ha 0

La funzione a 0 (talvolta chiamata dagli anglosassoni sopfr ) associa ad un numero naturale n diverso da zero la somma con ripetizione dei fattori primi di n :

{\ text {si}} n = \ prod _ {{i = 1}} ^ {m} p_ {i} ^ {{\ gamma _ {i}}}, {\ text {quindi}} a_ {0} (n) = \ somma _ {{i = 1}} ^ {m} \ gamma _ {i} p_ {i}.

Per esempio (suite A001414 dalla OEIS ):

un 0 (4) = 4; a 0 (20) = a 0 (2 2 ⋅ 5) = 2 + 2+ 5 = 9; a 0 (27) = 9; a 0 (144) = a 0 (2 4 ⋅ 3 2 ) = a 0 (2 4 ) + a 0 (3 2 ) = 8 + 6 = 14; a 0 (2000) = a 0 (2 4 ⋅ 5 3 ) = a 0 (2 4 ) + a 0 (5 3 ) = 8 + 15 = 23; uno 0 (2001) = 55; uno 0 (2002) = 33; uno 0 (2003) = 2003; uno 0 (54.032.858.972.279) = 1240658; uno 0 (54.032.858.972.302) = 1780417; uno 0 (20 802 650 704 327 415) = 1240681.

Esempi di funzioni solo additive

la funzione ω, che associa ad un intero naturale n il numero totale di numeri primi distinti che dividono n (è quindi limitata da ). Per esempio (suite A001221 dalla OEIS ):

(4) = 1; (27) = 1; ω (144) = (2 4 ⋅ 3 2 ) = ω (2 4 ) + ω (3 2 ) = 1 + 1 = 2; (2000) = (2 4 ⋅ 5 3 ) = ω (2 4 ) + ω (5 3 ) = 1 + 1 = 2; (2001) = 3; (2002) = 4; (2003) = 1; (54.032.858.972.279) = 3; (54.032.858.972.302) = 5; (20 802 650 704 327 415) = 5.

la funzione a 1 (talvolta chiamata dagli anglosassoni sopf ) che ad un intero n associa la somma dei suoi primi divisori distinti (è anch'essa aumentata di a 0 ). Per esempio (suite A008472 dalla OEIS ):

un 1 (4) = 2; a 1 (20) = 2 + 5 = 7; un 1 (27) = 3; a 1 (144) = a 1 (2 4 ⋅ 3 2 ) = a 1 (2 4 ) + a 1 (3 2 ) = 2 + 3 = 5; a 1 (2000) = a 1 (2 4 ⋅ 5 3 ) = a 1 (2 4 ) + a 1 (5 3 ) = 2 + 5 = 7; un 1 (2001) = 55; un 1 (2002) = 33; un 1 (2003) = 2003; un 1 (54.032.858.972.279) = 1238665; un 1 (54.032.858.972.302) = 1780410; a 1 (20 802 650 704 327 415) = 1238677.

Funzioni moltiplicative

Da qualsiasi funzione additiva f , è facile creare una funzione moltiplicativa g definendo ad esempio g con:

\ forall n \ in {\ mathbb {N}} ^ {*} \ quad g (n) = 2 ^ {{f (n)}}.

Riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Funzione additiva " ( vedi elenco degli autori ) .
Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij ( Anello delle funzioni aritmetiche ), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, p. 97-108) (MSC (2000) 11A25)