In matematica e logica , una dimostrazione è un insieme strutturato di passaggi corretti di ragionamento.
In una dimostrazione, ogni passo è o un assioma (un fatto acquisito), o l'applicazione di una regola che permette di affermare che una proposizione, la conclusione , è una conseguenza logica di una o più altre proposizioni, le premesse del regola. Le premesse sono assiomi o proposizioni già ottenute come conclusioni dall'applicazione di altre regole. Una proposizione che è la conclusione del passo finale di una dimostrazione è un teorema .
Il termine " prova " è talvolta usato come sinonimo di dimostrazione per attrazione dalla prova inglese .
La dimostrazione è fondamentalmente diversa dall'argomentazione , che è un'altra forma di ragionamento , che utilizza argomenti qualitativi, possibilmente riferiti a figure, per indurre qualcuno ad agire.
Nello stile di deduzione naturale di Fitch , una prova è "una serie finita di formule ciascuna delle quali è un assioma o una conseguenza immediata delle forme precedenti in virtù di una regola di inferenza " . Per deduzione naturale , una prova è un albero .
In generale, una prova è un "ragionamento che permette di stabilire una proposizione" .
Nel suo documentario dedicato all'ultimo teorema di Fermat , Simon Singh chiede a matematici tra cui John Conway , Bary Mazur , Ken Ribet , John Coates , Richard Taylor di chiarire la nozione di dimostrazione in matematica. Offrono, informalmente: "una serie di argomenti basati su deduzioni logiche, che fluiscono l'uno dall'altro, passo dopo passo, fino a stabilire una prova rigorosa" .
Troviamo le prime dimostrazioni rigorose ad Euclide .
Prima dell'avvento della logica formale, il concetto di prova assoluta si riferiva all'idea di una prova dimostrante incontestabilmente la proposizione da dimostrare, decisiva per tutti, ovunque e sempre, dimostrando che la soluzione data era implicitamente ammessa da tutte le persone ragionate.
Tuttavia, il concetto stesso di prova richiede conoscenze di base per stabilire le premesse. L'idea di una dimostrazione assoluta, cioè senza alcun presupposto, appare allora assurda poiché la dimostrazione è un discorso che va dal noto all'ignoto. Da questa osservazione, una dimostrazione tende ad essere una dimostrazione relativa alla verità delle sue premesse.
Per stabilire la verità di queste premesse, è necessario stabilire la veridicità dei principi, dei soggetti e delle proprietà che queste premesse implicano.
Riguardo ai "principi, bisogna sapere che sono veri", le loro verità sono stabilite o dal fatto che sono ovvie o che sono state precedentemente dimostrate. Questa idea di evidenza rimanda a una verità apodittica . e spiega perché la nozione di prova apodittica è talvolta usata come sinonimo di prova assoluta.
Per quanto riguarda i soggetti, sono conosciuti per la loro essenza e la loro esistenza. L'essenza è nota per definizione e l'esistenza non è dimostrata, è sempre presunta.
Insomma, in termini assoluti, sarebbe infine necessario che le prime premesse si autodimostrino per stabilire un fondamento vero e assoluto. In altre parole, il più alto livello possibile di verità di una premessa è al massimo una verità apodittica . A tal fine, diversi logici tentano di fondare sistemi di logica o matematica su basi dimostrabili, specialmente durante la crisi dei fondamenti matematici.
Nel suo Cours d'Analyse de l'École royale polytechnique pubblicato nel 1821, Cauchy ha dato un'affermazione del teorema dei valori intermedi come Teorema IV del capitolo II, quindi ha dato una dimostrazione (vedi figure sopra).
Teorema del valore intermedio (inizio)
Una proposizione, una volta dimostrata, può essere utilizzata essa stessa in altre dimostrazioni. In ogni situazione in cui le proposizioni iniziali sono vere, la proposizione mostrata dovrebbe essere vera; non poteva essere messo in discussione che rimettendo in discussione una o più delle proposizioni iniziali o lo stesso sistema di regole di deduzione.
Questa descrizione potrebbe essere l'ideale. Accade che una dimostrazione sia parzialmente basata sull'intuizione, geometrica per esempio, e quindi che tutte le proprietà ammesse, gli assiomi , non siano esplicite. Le prove della geometria che si possono trovare negli Elementi di Euclide sono, ad esempio, considerate ancora oggi come modelli di rigore, mentre Euclide si basa in parte su assiomi impliciti, come ha mostrato David.Hilbert nei suoi “ fondamenti della geometria ”. Inoltre, le dimostrazioni dei matematici non sono formali e una dimostrazione può ritenersi corretta a grandi linee, mentre alcuni punti restano da chiarire con tutto il rigore, anche che altri sono viziati da errori "minori". Scriviamo una dimostrazione per essere letta e convincere i lettori, e il livello di dettaglio richiesto non è lo stesso a seconda delle loro conoscenze. Tuttavia, con l'avvento dei computer e dei sistemi di supporto alla dimostrazione , alcuni matematici contemporanei scrivono dimostrazioni che devono essere verificate dai programmi.
Le dimostrazioni matematiche passano attraverso varie fasi seguendo una certa linea di deduzione. Alcuni tipi principali di manifestazioni hanno ricevuto nomi specifici.
La logica matematica ha sviluppato un ramo che è dedicato alle dimostrazioni di studio e ai sistemi deduttivi ed è noto per la sua teoria della dimostrazione . Viene così formalizzata la nozione di dimostrazione. Si parla allora di dimostrazione formale come di un oggetto matematico che contiene tutti gli stadi della deduzione. Una formula F di un linguaggio L si dice dimostrata in una teoria T se e solo se esiste una serie finita di formule che terminano in F, tali che:
A volte è possibile dimostrare che una certa asserzione non può essere dimostrata in un certo sistema assiomatico . In geometria, il postulato di Euclide , detto anche assioma delle parallele, è indipendente dagli altri assiomi della geometria.
L' assioma della scelta non può essere dimostrato nella teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel , né la sua negazione. Allo stesso modo, né l' ipotesi del continuo né la sua negazione possono essere dimostrate nella teoria di Zermelo-Fraenkel con l'assioma della scelta . Diciamo che queste asserzioni sono indipendenti da questo sistema di assiomi: è quindi possibile aggiungere sia l'assioma della scelta che la sua negazione alla teoria degli insiemi, la teoria rimarrà coerente (assumendo che la teoria degli insiemi sia la).
Infatti, come afferma il teorema di incompletezza di Gödel , in ogni teoria assiomatica "ragionevole" che contenga numeri naturali, ci sono proposizioni che non possono essere dimostrate quando sono effettivamente "vere", cioè cioè, più precisamente, che tutte le istanze , da ciascuno dei numeri naturali, delle proposizioni in questione sono dimostrabili.
L'IT ha creato strumenti per aiutare la dimostrazione che sono di due tipi: