Compattato di Alexandrov

In matematica , e più precisamente in topologia generale , il compattato di Alexandrov (a volte scritto compattato di Alexandroff ) è un oggetto introdotto dal matematico Pavel Aleksandrov . La sua costruzione, chiamata compattificazione Alexandrov , generalizza la sfera di Riemann per spazi localmente compatti ai quali aggiunge un " punto all'infinito ".

Definizione

Sia uno spazio topologico localmente compatto . Possiamo, aggiungendo un punto a , ottenere uno spazio compatto . Per questo, consideriamo dove e definiamo una topologia come segue. $X$ $X$ ${\ displaystyle {\ tilde {X}} = X \ cup \ {\ omega \}}$ $\ omega \ non \ in X$

L'insieme delle aperture è composto da: ${\ tilde X}$

l' inizio di ; $X$
sottoinsiemi della forma , in cui è il complemento in di una compatta di . ${\ displaystyle \ {\ omega \} \ cup K ^ {c}}$ ${\ displaystyle K ^ {c}}$ $X$ $K$ $X$

Si verifica che definiamo così una topologia su , e che la topologia iniziale su sia identica alla topologia indotta da questa topologia su . ${\ tilde X}$ $X$ $X$ ${\ tilde X}$

Infine, si verifica che dotato di questa topologia sia uno spazio compatto. ${\ tilde X}$

Lo spazio è quindi chiamato l' Alexandrov compattato di spazio localmente compatto ; è chiamato il punto all'infinito di ed è anche annotato . ${\ tilde X}$ $X$ $\omega$ ${\ tilde X}$ $\ infty$

Questa nozione è interessante solo se lo spazio di partenza non è compatto. In effetti, l'applicazione del processo di compattazione di Alexandrov a uno spazio compatto aggiunge solo un punto isolato (perché è quindi un'apertura di ). $\{\omega\}$ ${\ tilde X}$

Se e sono due spazi localmente compatti, un'applicazione continua si estende in un'applicazione continua tra i compattati di Alexandrov se e solo se è pulito . $X$ $Y$ $f: X \ a Y$

Si noti che questa costruzione si applica anche se si presume che sia quasi compatta ; si ottiene quindi uno spazio quasi compatto e si ha la seguente proprietà: è separato (quindi compatto) se e solo se è localmente compatto. $X$ ${\ tilde X}$ ${\ tilde X}$ $X$

Unicità

Si può facilmente dimostrare che a partire da uno spazio topologico localmente compatto e da un dato punto , l'Alexandrov compattato costruito come sopra è l'unica topologia possibile su tale che: $X$ $\ omega \ non \ in X$ ${\ displaystyle {\ tilde {X}} = X \ cup \ {\ omega \}}$ ${\ tilde X}$

${\ tilde X}$ è compatto;
la topologia indotta su è identica alla topologia iniziale. $X$

Esempi

L'Alexandrov compattificata di ℝ n è omeomorfo al n -sphere , attraverso, in particolare, la proiezione stereografica da uno dei poli del n -sphere, proiezione completato da . Così, l'Alexandrov compattato di ℝ è omeomorfo a un cerchio, quello di ℝ 2 (o ℂ) a una sfera, comunemente chiamata sfera di Riemann . Il punto aggiunto allo spazio può essere immaginato come un punto “all'infinito”: all'infinito la linea reale “si chiude” in un cerchio. $P$ $P \ mapsto \ omega$
Qualsiasi ordinale α = [0, α [può essere dotato della topologia dell'ordine . Se α è un ordinale limite , l'Alexandrov compattato di [0, α [è α + 1 = [0, α] (se al contrario α ha un predecessore β, allora [0, α [ è il compatto [0, β + 1 [= [0, β]).
Uno spazio Fort (en) è l'estensione Alexandroff di un infinito spazio discreto .

Riferimenti

(a) John L. Kelley , General Topology , Van Nostrand,1955( leggi in linea ) , p. 150.

Link esterno

L'Alexandrov compattato sul sito les-mathematiques.net