L' analisi reale è la branca dell'analisi che studia gli insiemi di funzioni di variabili effettive e reali . Studia concetti come sequenze e loro limiti , continuità , derivazione , integrazione e sequenze di funzioni .
La presentazione dell'analisi reale nei lavori avanzati di solito inizia con semplici dimostrazioni dei risultati della teoria ingenua degli insiemi , una chiara definizione del concetto di funzione, un'introduzione agli interi naturali e l'importante dimostrazione del ragionamento per induzione .
Quindi, i numeri reali o sono introdotti da assiomi o costruiti da suite di numeri razionali . Da ciò si possono dedurre importanti conseguenze, come le proprietà del valore assoluto , della disuguaglianza triangolare o della disuguaglianza di Bernoulli .
Il concetto di convergenza , centrale nell'analisi, viene introdotto attraverso i limiti delle sequenze. È possibile stabilire diverse leggi che regolano il metodo di calcolo del limite e calcolare diversi limiti. Le serie , che sono sequenze particolari, vengono studiate anche in analisi. L' intera serie serve a definire in modo pulito diverse funzioni importanti, come le funzioni esponenziali e trigonometriche . Vengono introdotti altri importanti tipi di sottoinsiemi di numeri reali, come gli insiemi aperti , gli insiemi chiusi , gli insiemi compatti e le loro proprietà.
Il concetto di continuità può quindi essere definito dai limiti, da esso si deducono le proprietà dell'algebra limite; la somma, il prodotto, il composto e il quoziente delle funzioni continue sono continui e viene dimostrato l'importante teorema dei valori intermedi .
La nozione di derivato può essere definita come un limite di un tasso di variazione e le regole per il calcolo di un derivato possono essere rigorosamente dimostrate. Un teorema centrale è il Teorema degli aumenti finiti .
Possiamo anche fare l' integrazione (da Riemann e Lebesgue ) e dimostrare il teorema fondamentale dell'analisi .
A questo punto è utile studiare le nozioni di continuità e convergenza in un quadro più astratto, con l'obiettivo di considerare spazi di funzioni. Questo viene gestito in spazi topologici o in spazi metrici . Vengono definiti e studiati i concetti di spazio compatto , completo , connesso , separabile e di applicazione uniformemente continua , Lipschitziana , contrattuale .
Possiamo considerare limiti di funzioni e provare a cambiare l'ordine di integrali, derivate e limiti. La nozione di convergenza uniforme è importante in questo contesto. Per questo, è utile avere una conoscenza rudimentale degli spazi vettoriali normalizzati e dei prodotti puntiformi . Infine, è possibile avvicinarsi anche alla serie Taylor .