Equazione di Boltzmann

L' equazione di Boltzmann (1872) è un'equazione integro-differenziale della teoria cinetica che descrive l'evoluzione di un gas sbilanciato. Permette in particolare di dimostrare il Teorema H e di esprimere le equazioni di Navier-Stokes come una piccola perturbazione della distribuzione di Maxwell-Boltzmann utilizzando il metodo di Chapman-Enskog .

La prima soluzione analitica completa è stata ottenuta nel caso di interazioni " sfera dura " da Seiji Ukai negli anni '70, ma solo per soluzioni prossime all'equilibrio.

Il progresso più grande rimane la teoria della soluzione rinormalizzata di Ronald DiPerna e del vincitore della medaglia Fields Pierre-Louis Lions che fornisce l'esistenza della soluzione, anche lontana dall'equilibrio. La loro regolarità e unicità rimane un problema aperto molto importante.

Modello meccanico del gas

Consideriamo un gas di sfere dure costituito da atomi identici di massa e raggio . Questi atomi: $NON$ $m$ $r$

sono confinati in una scatola;
viaggiare a velocità costante tra le collisioni;
rimbalzare elasticamente l'uno sull'altro;
rimbalzare elasticamente sulle pareti della scatola.

Funzione di distribuzione di una particella

Indichiamo la funzione di distribuzione a una particella di gas, come ad esempio: $f ({\ mathbf {r}}, {\ mathbf {u}}, t)$

${\ Displaystyle \ mathrm {dN} \ = \ f (\ mathbf {r}, \ mathbf {u}, t) \ \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} \ \ mathrm {d} ^ { 3} \ mathbf {u}}$

rappresenta il numero di molecole di gas situate istantaneamente in un piccolo volume di spazio attorno al punto e aventi una velocità definita vicino. $t$ $d ^ {3} {\ mathbf {r}}$ ${\ mathbf {r}}$ $\ mathbf {u}$ $d ^ {3} {\ mathbf {u}}$

Equazione di Boltzmann non relativistica

Operatore di Liouville non relativistico (NR)

Considera un gas posto in un campo di forza esterno macroscopico (ad esempio, il campo di gravità locale). L'operatore di Liouville che descrive la variazione totale della funzione di distribuzione di una particella nello spazio delle fasi di una particella è l'operatore lineare definito nella meccanica non relativistica da: ${\ mathbf {F}} ({\ mathbf {r}}, t)$ ${\ hat {{\ mathbf {L}}}} _ {{\ mathrm {NR}}} f$ $f ({\ mathbf {r}}, {\ mathbf {u}}, t)$

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} _ {\ mathrm {NR}} f \ = \ {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} \ = \ { \ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ + \ \ mathbf {u} \ cdot \ nabla _ {\ mathbf {r}} f \ + \ {\ frac {\ mathbf {F}} {m} } \ cdot \ nabla _ {\ mathbf {u}} f}$

Equazione di Boltzmann non relativistica

A causa delle collisioni, la funzione di distribuzione di una particella ha una variazione totale diversa da zero; obbedisce all'equazione di Boltzmann:

${\ hat {{\ mathbf {L}}}} [f] \ = \ {\ mathbf {C}} [f]$

dove è l' operatore di collisione , operatore integrale non lineare. Storicamente, Boltzmann ha ottenuto l'espressione analitica di questo operatore di collisione mediante un'analisi accurata delle collisioni tra due corpi. È anche possibile derivare l'equazione di Boltzmann troncando le equazioni della gerarchia BBGKY utilizzando l'ipotesi del caos molecolare . ${\ mathbf {C}}$

Teorema di Lanford

Limite di Boltzmann-Grad

Il cosiddetto limite di Boltzmann-Grad consiste nel prendere il limite del giunto:

un numero di atomi ; $Da N \ \ a \ + \ \ infty$
di un raggio ; $r \ \ a \ 0$

mantenendo il prodotto elencato. In particolare, il volume escluso tende a zero entro questo limite: $N \ r ^ {2} \ = \$ $N \ r ^ {3} \ \ a \ 0$

Teorema di Lanford (1973)

Lanford ha rigorosamente dimostrato che un gas sfera dura diluito in obbedisce all'equazione di Boltzmann entro il limite di Boltzmann-Grad, almeno per un tempo molto breve, pari a solo un quinto del tempo medio di percorrenza di un atomo. $\ mathbb {R} ^ {3}$

Nonostante questa restrizione temporale, questo rigoroso teorema matematico è concettualmente molto importante, poiché l'equazione di Boltzmann implica il Teorema H , di cui Boltzmann fu accusato di praticare "matematica discutibile". Resta il fatto che resta da dimostrare che questo risultato rimane vero per i tempi macroscopici, così come quando gli atomi sono confinati in una scatola.

Equazione di Boltzmann relativistica

L'operatore di Liouville è scritto in relatività generale :

${\ hat {{\ mathbf {L}}}} _ {{\ mathrm {GR}}} \ = \ \ sum _ {\ alpha} p ^ {\ alpha} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ alpha}}} \ - \ \ sum _ {{\ alpha \ beta \ gamma}} \ Gamma ^ {{\ alpha}} {} _ {{\ beta \ gamma}} p ^ {\ beta} p ^ {\ gamma} {\ frac {\ partial} {\ partial p ^ {\ alpha}}}$

dov'è il quadri-impulso e sono i simboli di Christoffel . $p ^ \ alpha$ $\ Gamma ^ {{\ alpha}} {} _ {{\ beta \ gamma}}$

Limiti idrodinamici

Sesto problema di Hilbert

"Il libro di M. Boltzmann sui Principi di Meccanica ci spinge a stabilire e discutere dal punto di vista matematico in modo completo e rigoroso i metodi basati sull'idea di passare al limite, e che dalla concezione atomica ci conducono alle leggi di moto dei continui. "

Derivazione delle equazioni di Navier-Stokes

È possibile derivare le equazioni di Navier-Stokes dall'equazione di Boltzmann con il metodo di Chapman-Enskog .

Note e riferimenti

(in) Seiji Ukai, " Sull'esistenza di soluzioni globali di problemi misti per l'equazione di Boltzmann non lineare " , Atti della Japan Academy , vol. 50,1974, p. 179–184
Possiamo anche citare le estensioni successive di questi risultati al caso di interazioni a lungo raggio per le quali il kernel dell'operatore è singolare, vedere rispettivamente Alexandre e Villani, On the Boltzmann equation for long-range interactions , Communications on Pure and Applied Mathematics 55 (2002), n. 1, 30-70 per un'estensione (parziale) delle soluzioni rinormalizzate in questo quadro, e Gressman e Strain, Soluzioni classiche globali dell'equazione di Boltzmann con interazioni a lungo raggio , Atti della National Academy of Sciences , vol. 107, n. 13, 5744–5749 per un'estensione del risultato di Ukai in questo quadro (anche traendo ispirazione dal lavoro precedente di Yan Guo). Si noti, in merito a quest'ultimo risultato, la comunicazione scientificamente discutibile da parte dell'University of Pennsylvania Mathematicians Solve 140-Year-Old Boltzmann Equation che sembra dimenticare i precedenti lavori sull'argomento.
Oscar E Lanford III; Time Evolution of Large Classical Systems , in: Dynamical Systems, Theory and Application , J. Moser (a cura di), Springer-Verlag (1975). Leggi anche: Oscar E Lanford III; Abbiamo una derivazione dell'equazione di Boltzmann , in: Fenomeni di non equilibrio I: L'equazione di Boltzmann , Joël L Lebowitz & Elliott W Montroll (eds), North-Holland (1983), 3-17.
Tempo medio tra due collisioni consecutive.

Appendici

Bibliografia

Libri di riferimento

Anouk Barberousse; Meccanica statistica - Da Clausius a Gibbs , Collection Histoire des Sciences, Belin (2002), ( ISBN 2-7011-3073-5 ) . Questa raccolta originale offre una storia dello sviluppo della teoria cinetica dei gas basata su estratti dai grandi testi fondatori (tradotti in francese) messi in una prospettiva contemporanea da uno storico della scienza (CNRS). Accessibile dal livello universitario.
Ludwig Boltzmann; Lezioni sulla teoria dei gas , Gauthier-Villars (1902-1905). Ristampa Jacques Gabay (1987), ( ISBN 2-87647-004-7 ) .
Carlo Cercignani ; Ludwig Boltzmann - The man who Trusted Atoms , Oxford University Press (1998) 330 pp. ( ISBN 0-19-850154-4 ) . Biografia scientifica del grande professore Boltzmann, che ha portato la teoria cinetica dei gas al suo apice. Da un professore di Fisica Matematica all'Università degli Studi di Milano (Italia), specialista nell'equazione di Boltzmann. Piuttosto di secondo livello universitario.
Carlo Cercignani ; The Boltzmann Equation & its Applications , Series: Applied Mathematical Sciences 67 , Springer-Verlag (1987), ( ISBN 0-387-96637-4 ) .
Carlo Cercignani , Reinhard Illner e Mario Pulvirenti; The Mathematical Theory of Dilute Gases , Series: Applied Mathematical Sciences 106 , Springer-Verlag (1994), ( ISBN 0-387-94294-7 ) .
Carlo Cercignani e Gilberto M. Kremer; The Relativistic Boltzmann Equation: Theory and Applications , Series: Progress in Mathematical Physics 22 , Birkhäuser (2002), ( ISBN 3-7643-6693-1 ) .
Lawrence Sklar; Physics and Chance - Philosophical Issues in the Foundations of Statistical Mechanics , Cambridge University Press (1995), ( ISBN 0-521-55881-6 ) .

Biblioteca virtuale

Classi

Noëlle Pottier; Fisica statistica del non equilibrio: equazione di Boltzmann, risposta lineare. , Corso DEA in Fisica dei Solidi (Master 2) nella regione di Parigi (1999-2000). File PostScript
Jean Bellissard; Statistical Mechanics of Non-Equilibrium Systems , Master 2, Paul Sabatier University (Toulouse). pdf .

Articoli

Jos Uffink; Boltzmann's Work in Statistical Physics , Stanford Encyclopedia of Philosophy (2004).
Jos Uffink; Compendio dei fondamenti della fisica statistica classica , (2006), da apparire in: Handbook for Philsophy of Physics , J Butterfield & J Earman (eds) (2007). pdf .
Sergio B. Volchan; Probabilità come tipicità , articolo sottoposto a: Studies in History and Philosophy of Modern Physics . ArXiv: fisica / 0611172 .
Cedric Villani ; A Review of Mathematical Topics in Collisional Kinetic Theory , in: Handbook of matematica fluid Mechanics - Volume I , Susan Friedlander & Denis Serre (eds), North-Holland (1982). pdf .
Cedric Villani; Limiti idrodinamici dell'equazione di Boltzmann , Asterisk 282 , Bourbaki Seminars, Vol. 2000/2001, Exp. 893 (2002), 365-405. pdf .
Laure Saint-Raymond; Per quanto riguarda la descrizione dei gas ideali , Images des Mathematics, CNRS (2004), 126-130. pdf .
François Golse e Laure Saint-Raymond; The Navier-Stokes Limit of the Boltzmann Equation for Bounded Collision Kernels , Inventiones Mathematicae, Volume 155 , Number 1 (2004), 81-1161.

Equazione di Boltzmann

Modello meccanico del gas

Funzione di distribuzione di una particella

Equazione di Boltzmann non relativistica

Operatore di Liouville non relativistico (NR)

Equazione di Boltzmann non relativistica

Teorema di Lanford

Equazione di Boltzmann relativistica

Limiti idrodinamici

Sesto problema di Hilbert

Derivazione delle equazioni di Navier-Stokes

Note e riferimenti

Appendici

Bibliografia

Libri di riferimento

Biblioteca virtuale

Articoli Correlati