Gerarchia BBGKY
La gerarchia BBGKY (per le iniziali di: Bogolioubov , Born , Green , Kirkwood e Yvon ) è un metodo per esprimere l'equazione descrittiva della funzione di distribuzione di un sistema N-corpi sotto forma di una serie di equazioni di rango inferiore e quindi consentire varie approssimazioni.
Autori
Diversi fisici hanno pubblicato lavori che hanno portato a quella che oggi è conosciuta come la gerarchia BBGKY. Questi sono in ordine alfabetico:
Yvon ha sviluppato nel 1935 la nozione di funzione di distribuzione con N particelle. Nel 1946 vari fisici pubblicarono i risultati usando il metodo qui descritto.
Formulazione
L'evoluzione di un sistema classico composto da N particelle è data dall'evoluzione della funzione di distribuzione :
fNON=fNON(q1...qNON,p1...pNON,t){\ Displaystyle f_ {N} = f_ {N} (\ mathbf {q} _ {1} \ dots \ mathbf {q} _ {N}, \ mathbf {p} _ {1} \ dots \ mathbf {p} _ {N}, t)}![{\ Displaystyle f_ {N} = f_ {N} (\ mathbf {q} _ {1} \ dots \ mathbf {q} _ {N}, \ mathbf {p} _ {1} \ dots \ mathbf {p} _ {N}, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b770eda90fa826f6fac5ed1daf50ac507cdb18)
dove q i sono le coordinate generalizzate del sistema e p i sono la quantità di moto di ciascuna particella. Ci sono quindi 6N variabili in uno spazio tridimensionale.
Questa evoluzione è data dall'equazione di Liouville :
∂fNON∂t+∑io=1NONq˙io∂fNON∂qio-∑io=1NON(∂ΦioeXt∂qio+∑j=1NON∂Φioj∂qio)∂fNON∂pio=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {N}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ dot {\ mathbf {q}}} _ {i} {\ frac {\ partial f_ {N}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} - \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left ({\ frac {\ partial \ Phi _ {i } ^ {ext}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} + \ sum _ {j = 1} ^ {N} {\ frac {\ partial \ Phi _ {ij}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} \ right) {\ frac {\ partial f_ {N}} {\ partial \ mathbf {p} _ {i}}} = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {N}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ dot {\ mathbf {q}}} _ {i} {\ frac {\ partial f_ {N}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} - \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left ({\ frac {\ partial \ Phi _ {i } ^ {ext}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} + \ sum _ {j = 1} ^ {N} {\ frac {\ partial \ Phi _ {ij}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} \ right) {\ frac {\ partial f_ {N}} {\ partial \ mathbf {p} _ {i}}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c378d8a73dec5cc589a21739c7792c26beca03)
o
Φioj{\ displaystyle \ Phi _ {ij}}![{\ displaystyle \ Phi _ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2dae28913f519171bf3a021c3cf392f4bc7b238) |
è il potenziale di interazione delle particelle i e j,
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ΦioeXt{\ displaystyle \ Phi _ {i} ^ {ext}}![{\ displaystyle \ Phi _ {i} ^ {ext}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4650b3ec830e8f2d2953bf0cf2e0f263027fac9) |
qualsiasi potenziale esterno.
|
Definiamo ora le funzioni di distribuzione per insiemi di particelle 2, 3 ..., s:
fS=fS(q1...qS,p1...pS,t){\ displaystyle f_ {s} = f_ {s} (\ mathbf {q} _ {1} \ dots \ mathbf {q} _ {s}, \ mathbf {p} _ {1} \ dots \ mathbf {p} _ {s}, t)}![{\ displaystyle f_ {s} = f_ {s} (\ mathbf {q} _ {1} \ dots \ mathbf {q} _ {s}, \ mathbf {p} _ {1} \ dots \ mathbf {p} _ {s}, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c570dace73e9164c75d4eba97bdae36026dfcdf)
Integrando l'equazione di Liouville per parti, otteniamo una gerarchia di equazioni per ciascuno degli insiemi:
∂fS∂t+∑io=1Sq˙io∂fS∂qio-∑io=1S(∂ΦioeXt∂qio+∑j=1S∂Φioj∂qio)∂fS∂pio=(NON-S)∑io=1S∂∂pio∫∂ΦioS+1∂qiofS+1dqS+1dpS+1{\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {s}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {s} {\ dot {\ mathbf {q}}} _ {i} {\ frac {\ partial f_ {s}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} - \ sum _ {i = 1} ^ {s} \ left ({\ frac {\ partial \ Phi _ {i } ^ {ext}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} + \ sum _ {j = 1} ^ {s} {\ frac {\ partial \ Phi _ {ij}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} \ right) {\ frac {\ partial f_ {s}} {\ partial \ mathbf {p} _ {i}}} = (Ns) \ sum _ {i = 1} ^ {s} {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {p} _ {i}}} \ int {\ frac {\ partial \ Phi _ {i \, s + 1}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} \, f_ {s + 1} \, d \ mathbf {q} _ {s + 1} d \ mathbf {p} _ {s + 1}}![{\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {s}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {s} {\ dot {\ mathbf {q}}} _ {i} {\ frac {\ partial f_ {s}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} - \ sum _ {i = 1} ^ {s} \ left ({\ frac {\ partial \ Phi _ {i } ^ {ext}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} + \ sum _ {j = 1} ^ {s} {\ frac {\ partial \ Phi _ {ij}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} \ right) {\ frac {\ partial f_ {s}} {\ partial \ mathbf {p} _ {i}}} = (Ns) \ sum _ {i = 1} ^ {s} {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {p} _ {i}}} \ int {\ frac {\ partial \ Phi _ {i \, s + 1}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} \, f_ {s + 1} \, d \ mathbf {q} _ {s + 1} d \ mathbf {p} _ {s + 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a980e45241ccecf85c229afa8ffb82674728efa)
Ogni equazione su f s rivela al secondo membro tutte le funzioni di distribuzione di ordine superiore. In quanto tale, questa equazione è equivalente alla precedente. Il suo interesse è consentire un troncamento all'ordine s supponendo di sapere come esprimere f s + 1 in funzione dei termini di rango inferiore. Un esempio è l' equazione di Vlassov in cui ci fermiamo all'ordine 1 ed eseguiamo un'approssimazione del campo medio:
f2(q1,q2,p1,p2,t)≃f1(q1,p1,t)f1(q2,p2,t){\ Displaystyle f_ {2} (\ mathbf {q} _ {1}, \ mathbf {q} _ {2}, \ mathbf {p} _ {1}, \ mathbf {p} _ {2}, t) \ simeq f_ {1} (\ mathbf {q} _ {1}, \ mathbf {p} _ {1}, t) f_ {1} (\ mathbf {q} _ {2}, \ mathbf {p} _ {2}, t)}![{\ Displaystyle f_ {2} (\ mathbf {q} _ {1}, \ mathbf {q} _ {2}, \ mathbf {p} _ {1}, \ mathbf {p} _ {2}, t) \ simeq f_ {1} (\ mathbf {q} _ {1}, \ mathbf {p} _ {1}, t) f_ {1} (\ mathbf {q} _ {2}, \ mathbf {p} _ {2}, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d51f7de6a82415e3ba83b169d625e6bdf07fa85d)
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Note e riferimenti
-
(ru) NN Bogoliubov , " Kinetic Equations " , Journal of Experimental and Theoretical Physics , vol. 16, n o 8,1946, p. 691-702
-
(in) NN Bogolyubov , " Kinetic Equations " , Journal of Physics USSR , vol. 10, n o 3,1946, p. 265–274
-
(in) Max Born e Herbert S. Green , " A General Kinetic Theory of Liquids I: The Molecular Distribution Functions " , Atti della Royal Society , vol. A188,1946, p. 10-18
-
(in) John G. Kirkwood , " The Statistical Mechanical Theory of Transport Processes I. General Theory " , The Journal of Chemical Physics , vol. 14, n o 3,1946( DOI 10.1063 / 1.1724117 )
-
Jacques Yvon , " La teoria statistica dei fluidi e l'equazione di stato ", Notizie scientifiche e industriali , Hermann , n . 203,1935
Bibliografia
- (it) Carlo Cercignani , VI Gerasimenko e D. Ya. Petrina, Dinamica a molte particelle ed equazioni cinetiche , Springer ,1997( ISBN 978-94-010-6342-5 , DOI 10.1007 / 978-94-011-5558-8 )
- (en) Carlo Cercignani , Reinhard Illner e Mario Pulvirenti, The Mathematical Theory of Dilute Gases , vol. 106, Springer Verlag , coll. "Scienze matematiche applicate",1994( ISBN 0-387-94294-7 , leggi online )
- (en) GE Uhlenbeck e GE Ford, “ Bogoliubov. Studies in Statistical Mechanics I " , Summer Seminar on Applied Mathematics, 2, University of Colorado, 1960 ,1962
- (en) Jan de Boer e GE Uhlenbeck , Studies in Statistical Mechanics , North Holland Publishing ,1962
- (en) Jan de Boer, Distribuzione molecolare ed equazione di stato dei gas , vol. 12, coll. "Reports on Progress in Physics",1949( leggi in linea ) , cap. 1
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