Torsore cinetico

Il torsore cinetico è uno strumento matematico utilizzato nella meccanica dei solidi , in particolare per calcolare l'energia cinetica di un sistema e per applicare il principio fondamentale della dinamica .

Definizione

Sia un sistema di riferimento R, e un solido S per il quale definiamo il campo di densità ρ. Il vettore velocità può essere definito in qualsiasi punto M del solido . Da questo campo vettoriale possiamo definire il momento angolare rispetto ad un dato punto A, indicato con: ${\ vec {{\ mathrm {V}}}} ({\ mathrm {M}})$ ${\ vec {\ sigma}} _ {{\ mathrm {A}}} ({\ mathrm {S / R}})$

{\ vec {\ sigma}} _ {{\ mathrm {A}}} ({\ mathrm {S / R}}) = \ int _ {{{\ mathrm {S}}}} {\ overrightarrow {{\ mathrm {AM}}} \ wedge {\ vec {{\ mathrm {V}}}} ({\ mathrm {M}}, {\ mathrm {S / R}}) \ rho ({\ mathrm {M}} ) {\ mathrm {dV}}} = \ int _ {{{\ mathrm {S}}}} {\ overrightarrow {{\ mathrm {AM}}} \ wedge {\ vec {{\ mathrm {V}}} } ({\ mathrm {M}}, {\ mathrm {S / R}}) {\ mathrm {d}} m}

dove dV è un volume elementare infinitesimale di materia attorno al punto M ed m = ρ (M) dV è la massa di questo elemento. Il momento angolare è espresso in kg⋅m 2 ⋅s −1 .

Si può definire un momento angolare rispetto a ciascun punto A del solido. Il momento angolare forma quindi un campo vettoriale. Questo campo è equiproettivo : è quindi un torsore , chiamato torsore cinetico (da non confondere con il torsore cinematico ).

Dimostrazione

Si omettono i riferimenti al solido S e al sistema di riferimento R per alleggerire le notazioni.

Abbiamo

{\ vec {\ sigma}} _ {{\ mathrm {B}}} - {\ vec {\ sigma}} _ {{\ mathrm {A}}} = \ int (\ overrightarrow {{\ mathrm {BM} }} - \ overrightarrow {{\ mathrm {AM}}}) \ wedge {\ vec {{\ mathrm {V}}}} ({\ mathrm {M}}) {\ mathrm {d}} m = \ int \ overrightarrow {{\ mathrm {BA}}} \ wedge {\ vec {{\ mathrm {V}}}} ({\ mathrm {M}}) {\ mathrm {d}} m = \ overrightarrow {{\ mathrm {BA}}} \ wedge \ int {\ vec {{\ mathrm {V}}}} ({\ mathrm {M}}) {\ mathrm {d}} m = \ overrightarrow {{\ mathrm {BA}} } \ wedge {\ vec {p}}

{\ vec {p}} = \ int {\ vec {{\ mathrm {V}}}} ({\ mathrm {M}}) {\ mathrm {d}} m

è indipendente dal punto.

Esiste una risultante, il campo è quindi equiproiettivo.

Si nota che, come per il torsore dinamico e contrariamente al torsore cinematico, non è necessario supporre che il solido sia indeformabile.

Risultante

La risultante del torsore è chiamata quantità di moto e viene annotata . È definito da (vedere la dimostrazione sopra): ${\ vec {p}} ({\ mathrm {S / R}})$

{\ vec {p}} ({\ mathrm {S / R}}) = \ int _ {{{\ mathrm {S}}}} {{\ vec {{\ mathrm {V}}}} ({\ mathrm {M}}, {\ mathrm {S / R}}) \ rho ({\ mathrm {M}}) {\ mathrm {dV}}} = \ int _ {{{{\ mathrm {S}}} } {{\ vec {{\ mathrm {V}}}} ({\ mathrm {M}}, {\ mathrm {S / R}}) {\ mathrm {d}} m}

È espresso in kg⋅m⋅s −1 . Notare che

{\ vec {p}} ({\ mathrm {S / R}}) = m {\ vec {{\ mathrm {V}}}} ({\ mathrm {G / R}})

dove G indica il centro di inerzia e m la massa totale del solido S.

Elementi di riduzione

Come tutti i torsori , il torsore cinetico può essere rappresentato da elementi di riduzione in un punto, cioè dai dati del vettore risultante e da un valore del momento angolare in un punto particolare A. Quindi annotiamo

{\ displaystyle {{\ mathcal {C}} (\ mathrm {S / R})} = {\ begin {Bmatrix} {\ vec {p}} (\ mathrm {S / R}) \\ {\ vec { \ sigma}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) \ end {Bmatrix}} _ {\ mathrm {A / R}}}

Momento cinematografico

È anche possibile scrivere il vettore del momento angolare

{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) = {\ overrightarrow {\ mathrm {AG}}} \ wedge m {\ vec {\ mathrm { V}}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) + [\ mathrm {I_ {A}} (\ mathrm {S})] \ cdot {\ vec {\ Omega}} ( \ mathrm {S / R})}

dove [I A (S)] è la matrice di inerzia (o operatore di inerzia ) di S rispetto al punto A, ed è il vettore di velocità angolare (o velocità di rotazione) di S. ${\ vec {\ Omega}} ({\ mathrm {S / R}})$

Se scriviamo il momento angolare in G abbiamo:

{\ vec {\ sigma}} _ {{\ mathrm {G}}} ({\ mathrm {S / R}}) = [{\ mathrm {I_ {G}}} ({\ mathrm {S}}) ] \ cdot {\ vec \ Omega} ({\ mathrm {S / R}})

da dove :

{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) = {\ overrightarrow {\ mathrm {AG}}} \ wedge m {\ vec {\ mathrm { V}}} _ {\ mathrm {G}} (\ mathrm {S / R}) + {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {G}} (\ mathrm {S / R})}

Rapporto con il torsore dinamico

Il momento dinamico può essere dedotto dal momento angolare di

{\ vec {\ delta}} _ {{\ mathrm {A}}} ({\ mathrm {S / R}}) = {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} {\ vec {\ sigma}} _ {{\ mathrm {A}}} ({\ mathrm {S / R}}) + m \ cdot {\ vec {{\ mathrm {V}}}} _ {{\ mathrm {A / R}}} \ wedge {\ vec {{\ mathrm {V}}}} _ {{\ mathrm {G}}} ({\ mathrm {S / R}})

Questa relazione è semplificata quando il vettore velocità dei punti A è collineare con quello di G - a fortiori quando A = G - o quando A è un punto fisso in R:

{\ vec {\ delta}} _ {{\ mathrm {A}}} ({\ mathrm {S / R}}) = {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} {\ vec {\ sigma}} _ {{\ mathrm {A}}} ({\ mathrm {S / R}})

{{\ mathcal {D}} ({\ mathrm {S / R}})} _ {{\ mathrm {A}}} = {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d} } t}} \ sinistra [{{\ mathcal {C}} ({\ mathrm {S / R}})} _ {{\ mathrm {A}}} \ destra]

Energia cinetica

Grazie alle notazioni torsionali possiamo calcolare l'energia cinetica di un solido. Quest'ultimo è pari alla metà della quota del torsore cinetico da parte del torsore cinematico .

${\ mathrm {T}} ({\ mathrm {S / R}}) = {\ frac {1} {2}} {\ begin {Bmatrix} {\ mathcal {C}} ({\ mathrm {S / R }}) _ {{\ mathrm {G}}} \\\ end {Bmatrix}} \ otimes {\ begin {Bmatrix} {\ mathcal {V}} ({\ mathrm {S / R}}) _ {{ \ mathrm {G}}} \\\ end {Bmatrix}}$

L'energia cinetica è espressa in joule (J).

Bibliografia

Michel Combarnous , Didier Desjardins e Christophe Bacon , Meccanica dei solidi e sistemi dei solidi , Dunod , coll. "Scienze superiori",2004, 3 e ed. ( ISBN 978-2-10-048501-7 ) , p. 97-99

Vedi anche