Corpo reale chiuso
In matematica , un corpo reale chiuso è un campo totalmente ordinabile di cui nessuna estensione algebrica propria è totalmente ordinabile.
Esempi
I seguenti corpi sono realmente chiusi:
Caratterizzazione di corpi reali chiusi
Un campo commutativo F è chiuso reale (secondo la definizione dell'introduzione) se e solo se soddisfa una delle seguenti proprietà equivalenti:
-
F è euclideo e qualsiasi polinomio di grado dispari con coefficienti in F ammette almeno una radice in F ;
- –1 non è un quadrato in F e F ( √ -1 ) è chiuso algebricamente ;
- la chiusura algebrica di F è un'estensione finita propria di F ;
- v'è un ordine di F per i quali il valore intermedio teorema è vero per qualsiasi polinomio sopra F .
Una dimostrazione dell'implicazione 1 ⇒ 2 (attribuita da Nicolas Bourbaki a Eulero e Lagrange ) è data nell'articolo dedicato al teorema di d'Alembert-Gauss .
Teorema di Artin-Schreier
Emil Artin e Otto Schreier dimostrato nel 1927 che per ogni corpo totalmente ordinata K , non esiste una vera chiuso algebrico su K e il cui ordine estende quella del K . Questa estensione, solo per isomorfismo , è chiamata la vera chiusura di K .
Ad esempio, "la" chiusura reale di ℚ è il campo ℝ∩ ℚ dei reali algebrici , secondo la caratterizzazione 2 sopra. Possiamo notare che secondo la caratterizzazione 3, è l'estensione algebrica “unica” di ℚ di cui “la” chiusura algebrica ℚ è un'estensione finita propria.
Inoltre, per ogni sottocampo "reale" (cioè totalmente ordinabile) un corpo algebricamente chiuso , esiste un sottocampo intermedio reale come chiuso .
L{\ displaystyle L}F{\ displaystyle F}L=F(-1){\ displaystyle L = F ({\ sqrt {-1}})}
Teoria dei corpi reali chiusi
La teoria dei campi reali chiusi è una teoria del primo ordine i cui simboli non logici sono le costanti 0 e 1, le operazioni aritmetiche +, × e la relazione ≤; le formule sono costruite dalle formule atomiche tramite i connettori ⋀, ⋁, ⇒, e i quantificatori ∀, ∃; gli assiomi sono quelli che esprimono che la struttura è precisamente un corpo reale chiuso.
Questa teoria ammette l' eliminazione dei quantificatori , vale a dire che è possibile, da una formula con quantificatori, trovare una formula senza quantificatori, con le stesse variabili libere, ed equivalenti (vale a dire che l'equivalenza logica di le due formule, quella prima dell'eliminazione e quella dopo l'eliminazione, si deduce dagli assiomi). Esistono algoritmi che implementano questa eliminazione. Il primo, dovuto ad Alfred Tarski , ha una complessità non elementare, vale a dire che non è delimitata da una torre di esponenziali , e quindi ha un interesse prevalentemente storico, ma fornisce un esempio di una teoria assiomatica non banale che fa non soddisfa il primo teorema di incompletezza di Gödel .
22...non{\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {\ dots ^ {n}}}}
James Davenport (en) e Joos Heintz hanno mostrato nel 1988 che il problema è intrinsecamente complesso: esiste una famiglia Φ n di formule con n quantificatori, di lunghezza O (n) e di grado costante, tale che qualsiasi formula senza quantificatore equivale a Φ n deve implementare polinomi di grado e lunghezza , con notazioni asintotiche O e Ω .
22Ω(non){\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {\ Omega (n)}}}22Ω(non){\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {\ Omega (n)}}}
Il software QEPCAD e la funzione Reduce to Mathematica 5, ad esempio, forniscono implementazioni di algoritmi quantificatori di eliminazione per un campo chiuso reale.
A causa dell'esistenza di algoritmi di eliminazione dei quantificatori, la teoria dei campi reali chiusi è decidibile : da qualsiasi formula chiusa possiamo ottenere algoritmicamente una formula equivalente senza quantificatori o variabili libere, e quindi facilmente decidibile.
Un'altra conseguenza dell'eliminazione dei quantificatori (indipendentemente dal fatto che sia fattibile algoritmicamente) è che questa teoria è completa , quindi ogni corpo reale chiuso ha la stessa teoria del primo ordine di ℝ.
Gruppo moltiplicativo
Il gruppo moltiplicativo di tutto il settore campo chiuso è la somma diretta del sottogruppo e sottogruppi isomorfo a : . Infatti, 1 e –1 sono i suoi unici elementi di torsione ( cioè radici di unità ), e il sottogruppo di elementi positivi ( quadrati ) è divisibile .
F{\ displaystyle F} {±1}{\ displaystyle \ {\ pm 1 \}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}F∗≃Z/2Z⊕Q(|F|){\ displaystyle F ^ {*} \ simeq \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Q} ^ {(| F |)}}
Al contrario, per ogni cardinale infinito , esiste un campo reale chiuso il cui gruppo moltiplicativo è isomorfo a . In effetti, esiste un campo algebricamente chiuso di caratteristica 0 e del cardinale κ , e ( vedi sopra ) tale campo ha un sottocampo chiuso reale dello stesso cardinale.
κ{\ displaystyle \ kappa}Z/2Z⊕Q(κ){\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Q} ^ {(\ kappa)}}
Note e riferimenti
(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in
inglese intitolato
" Real closed field " ( vedere l'elenco degli autori ) .
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(in) TY Lam , Introduzione alle forme quadratiche sui campi , AMS ,2005, 550 p. ( ISBN 978-0-8218-1095-8 , leggi online ) , p. 236.
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L'equivalenza tra la definizione dell'introduzione e le caratterizzazioni 1 e 2 è classica: si veda ad esempio Lam 2005 , p. 240-242. L'equivalenza tra 1 e 4 è dimostrata in (in) H. Salzmann , T. Grundhofer , H. Hahl e R. Lowen , The Classical Fields: Structural Features of the Real and Rational Numbers , Cambridge, CUP , al. "Encyclopedia of Mathematics and its Applications" ( n ° 112)2007, 401 p. ( ISBN 978-0-521-86516-6 , leggi online ) , p. 127-128. L'implicazione 2 ⇒ 3 è immediata. Il suo contrario è dimostrato in (en) Keith Conrad , " Il teorema di Artin-Schreier " .
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I. e. : F può essere provvisto di un ordine (nel senso: ordine totale e compatibile con le operazioni) per il quale ogni elemento positivo è un quadrato. Su un corpo euclideo, c'è un solo ordine (nel senso precedente).
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N. Bourbaki , Algebra , cap. 6 (Gruppi e campi ordinati), teorema 3 p. 25.
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(de) E. Artin e O. Schreier, " Algebraische Konstruktion reeller Körper " , Hamb. Abh. , vol. 5,1927, p. 85-99, traduzione in francese del gruppo di lavoro: "Aux sources de la Géométrie Algebrique Réelle" di IRMAR
-
(en) Serge Lang , Algebra ,1965[ dettaglio delle edizioni ] , p. 278-279o p. 457 dell'edizione 2002 , Example .
-
Artin e Schreier 1927 , Teorema 7.
-
Alfred Tarski, A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry , University of California Press, 1951; incluso in Quantifier Elimination and Cylindrical Algebraic Decomposition menzionato in bibliografia
-
Documentazione di Mathematica per Reduce , Novità di Mathematica 5: Reduce
-
(it) Gregory Karpilovsky, Field Theory: Fondazioni classiche e moltiplicativa Gruppi , CRC Press ,1988( leggi in linea ) , p. 469-470.
Bibliografia
- (en) Saugata Basu, Richard Pollack (en) e Marie-Françoise Roy , Algorithms in Real Algebraic Geometry , Berlino / New York, Springer , coll. "Algoritmi e calcolo in matematica" ( n o 10),2003, 662 p. ( ISBN 978-3-540-33099-8 , leggi in linea )
-
(en) Bob F. Caviness e Jeremy R. Johnson, editori, Quantifier Elimination and Cylindrical Algebraic Decomposition , Springer, 1998 ( ISBN 978-3-7091-9459-1 )
-
(in) Chen Chung Chang e Howard Jerome Keisler , Model Theory , Elsevier, 3 e ed., 1990 ( ISBN 978-0-444-88054-3 )
-
(en) Harold Garth Dales e W. Hugh Woodin , Super-Real Fields , Clarendon Press, 1996 ( ISBN 978-0-19853991-9 )
-
(en) Bhubaneswar Mishra (en) , "Computational Real Algebraic Geometry" , in Handbook of Discrete and Computational Geometry , CRC Press ,1997( [PDF] o p. 743-764 dell'edizione 2004 su Google Libri )
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