Sistema dinamico

In matematica , chimica o fisica , un sistema dinamico è i dati di un sistema e una legge che descrive l'evoluzione di questo sistema. Può essere l'evoluzione di una reazione chimica nel tempo, il movimento dei pianeti nel sistema solare (governato dalla legge di gravitazione universale di Newton ) o l'evoluzione della memoria di un computer sotto l'azione di un programma per computer . Formalmente, viene fatta una distinzione tra sistemi dinamici a tempo discreto (come un programma per computer) da sistemi dinamici a tempo continuo (come una reazione chimica).

Due aspetti importanti di un sistema dinamico sono che è:

• causale , vale a dire che il suo futuro dipende solo da fenomeni del passato o del presente;
• deterministico , cioè che una “condizione iniziale” data nell'istante “presente” corrisponderà ad ogni istante successivo uno ed un solo possibile stato “futuro”.

Una nozione importante è quella di un sistema dinamico reversibile per il quale si può anche descrivere uno stato passato del sistema dal suo presente e dal suo futuro. In altre parole, invertendo la freccia del tempo, abbiamo ancora un sistema dinamico. Matematicamente, un sistema dinamico reversibile è un caso particolare di azione di gruppo (il gruppo è quello degli interi relativi Z nel caso discreto e l'insieme dei numeri reali R nel caso continuo).

Sistema di tempo discreto dinamico

Nozione di stato dinamico: aspetto filosofico

Dobbiamo prestare attenzione al significato molto particolare che la nozione di stato assume per la teoria dei sistemi dinamici. Un paradosso di Zenone può presentare difficoltà. Zenone ha chiesto: "Siamo una freccia in volo. In un momento è a riposo o in movimento? Se rispondessimo che è in movimento, direbbe: "Ma essere in movimento è cambiare posizione. In un momento, la freccia ha una posizione, non cambia. Non è quindi in movimento. Se rispondessimo che è a riposo, direbbe "Ma se è a riposo in questo momento, è a riposo anche in tutti gli altri momenti, quindi è sempre a riposo". Non è mai in movimento. Ma come può allora passare da una posizione all'altra? Ha concluso che non è possibile dire la verità su ciò che è in movimento. Qualsiasi cosa in movimento sarebbe intrinsecamente falsa e non ci sarebbero verità sulla materia ma solo sulle grandi idee, a condizione che siano immutabili. Il buon senso è esattamente l'opposto. Crediamo più comunemente nella verità di ciò che vediamo che nelle verità metafisiche . La teoria dei sistemi dinamici concorda con il buon senso su questo punto.

La nozione di stato dinamico fornisce una soluzione al paradosso di Zenone: in un dato momento la freccia si muove, ha una posizione ma cambia posizione, ha velocità istantanea. I numeri che misurano la sua posizione e velocità sono i valori delle sue variabili di stato . Le variabili di stato sono tutte le grandezze fisiche che determinano lo stato istantaneo del sistema e che non sono costanti a priori. Sono anche chiamate variabili dinamiche. Se scattiamo una foto con il flash, non vediamo che la freccia si sta muovendo, ma possiamo rilevarla con altri mezzi, ad esempio con l' effetto Doppler , senza dover misurare un cambiamento di posizione. Lo stato dinamico di un sistema è uno stato istantaneo, ma è uno stato di movimento. È determinato dai valori di tutte le variabili di stato in quel momento.

Spazio delle fasi

Lo spazio delle fasi è una struttura corrispondente all'insieme di tutti i possibili stati del sistema considerato. Può essere uno spazio vettoriale , una varietà differenziale o un fascio vettoriale , uno spazio misurabile ...

Per un sistema avente n gradi di libertà , ad esempio, lo spazio delle fasi del sistema ha n dimensioni, così che lo stato completo del sistema al tempo t è generalmente un vettore con n componenti. Γ{\ displaystyle \ Gamma}X(t)∈Γ{\ displaystyle x (t) \ in \ Gamma}

Discreta dinamica

Un sistema dinamico discreto è generalmente definito da una mappa biiettiva dello spazio delle fasi su se stesso (studiamo anche la dinamica di mappe non necessariamente biettive, in particolare nelle dinamiche olomorfe ). Funziona come segue: data una condizione iniziale dello stato del sistema, il seguente primo stato è: ϕ:Γ→Γ{\ displaystyle \ phi: \ Gamma \ to \ Gamma}X0{\ displaystyle x_ {0}}

X1 = ϕ(X0){\ displaystyle x_ {1} \ = \ \ phi (x_ {0})}

Il secondo stato, che segue immediatamente il primo, è:

X2 = ϕ(X1) = ϕ(ϕ(X0)) = (ϕ∘ϕ)(X0) = ϕ2(X0){\ displaystyle x_ {2} \ = \ \ phi (x_ {1}) \ = \ \ phi (\ phi (x_ {0})) \ = \ (\ phi \ circ \ phi) (x_ {0}) \ = \ \ phi ^ {2} (x_ {0})}

e così via, in modo che l' n -esimo stato sia dato da:

Xnon = ϕ(Xnon-1) = ... = ϕnon(X0){\ displaystyle x_ {n} \ = \ \ phi (x_ {n-1}) \ = \ \ dots \ = \ \ phi ^ {n} (x_ {0})}

Per tornare indietro nel tempo è sufficiente invertire la funzione , cosa sempre possibile per una biiezione. ϕ{\ displaystyle \ phi}

Definizione generale

Un sistema dinamico è una terzina ( T , M , Φ) dove T è un monoide , indicato in modo additivo, M un insieme e Φ una funzione

Φ:U⊂T×M→M{\ displaystyle \ Phi: U \ subset T \ times M \ to M}

con

io(X)={t∈T:(t,X)∈U}{\ displaystyle I (x) = \ {t \ in T: (t, x) \ in U \}} Φ(0,X)=X{\ displaystyle \ Phi (0, x) = x} Φ(t2,Φ(t1,X))=Φ(t1+t2,X){\ displaystyle \ Phi (t_ {2}, \ Phi (t_ {1}, x)) = \ Phi (t_ {1} + t_ {2}, x)}, per tutto .t1,t2,t1+t2∈io(X){\ displaystyle t_ {1}, t_ {2}, t_ {1} + t_ {2} \ in I (x)}

La funzione Φ ( t , x ) è detta funzione di evoluzione del sistema dinamico: associa ad ogni punto di M una singola immagine, dipendente dalla variabile t , detta parametro di evoluzione. M è chiamato spazio delle fasi o spazio degli stati e la variabile x rappresenta lo stato iniziale del sistema. Scriviamo anche:

ΦX(t): =Φ(t,X){\ displaystyle \ Phi _ {x} (t): = \ Phi (t, x)} Φt(X): =Φ(t,X){\ displaystyle \ Phi ^ {t} (x): = \ Phi (t, x)}

Se impostiamo una delle variabili.

ΦX:io(X)→M{\ displaystyle \ Phi _ {x}: I (x) \ to M}

Si chiama flusso in x e il suo grafico di traiettoria rispetto a x . Tutti

γX: ={Φ(t,X):t∈io(X)}{\ displaystyle \ gamma _ {x}: = \ {\ Phi (t, x): t \ in I (x) \}}

si chiama orbita rispetto a x .

Il sottoinsieme S dello spazio degli stati M è Φ- invariante se per ogni x in S e per ogni t in T

Φ(t,X)∈S.{\ displaystyle \ Phi (t, x) \ in S.}

In particolare, in modo che S è Φ- invariante , 'un necessario che I ( x ) = T per tutti x in S .

Classificazione delle dinamiche

Esistono diversi tipi principali di dinamiche a seconda della natura matematica dello spazio delle fasi:

• quando è uno spazio topologico e la mappa è un omeomorfismo , si parla di dinamica topologica  ;Γ{\ displaystyle \ Gamma}ϕ:Γ→Γ{\ displaystyle \ phi: \ Gamma \ to \ Gamma}
• quando è una varietà differenziale e l'applicazione è un diffeomorfismo , si parla di dinamica differenziale  ;Γ{\ displaystyle \ Gamma}ϕ:Γ→Γ{\ displaystyle \ phi: \ Gamma \ to \ Gamma}
• quando è una varietà analitica complessa e l'applicazione è olomorfa , si parla di dinamica olomorfa o dinamica complessa  ;Γ{\ displaystyle \ Gamma}ϕ:Γ→Γ{\ displaystyle \ phi: \ Gamma \ to \ Gamma}
• quando c'è uno spazio misurato e un'applicazione che preserva la misura , entriamo nel campo della teoria ergodica e parliamo di un sistema dinamico misurato .Γ{\ displaystyle \ Gamma}ϕ:Γ→Γ{\ displaystyle \ phi: \ Gamma \ to \ Gamma}

Esempi

La funzione logistica

La funzione logistica è un'applicazione del segmento [0, 1] in sé che funge da ricorrenza della sequenza:

Xnon+1 = rXnon (1-Xnon){\ displaystyle x_ {n + 1} \ = \ r \, x_ {n} \ (1-x_ {n})}

dove n = 0, 1,… denota il tempo discreto, la variabile dinamica unica e r un parametro reale compreso tra 0 e 4. X{\ displaystyle x}

Le dinamiche di questa applicazione mostrano comportamenti molto diversi a seconda del valore del parametro r  :

• Infatti , il sistema ha un punto fisso attraente, che diventa instabile quando .0≤r<3{\ displaystyle 0 \ leq r <3}r=3{\ displaystyle r = 3}
• Infatti , l'applicazione ha un attrattore che è un'orbita periodica, di periodo in cui n è un numero intero che tende verso l'infinito quando r tende verso 3,57 ...3≤r<3,57...{\ displaystyle 3 \ leq r <3,57 \ ldots}2non{\ displaystyle 2 ^ {n}}
• Dove , l'app ha un attrattore Feigenbaum frattale (ma non strano ) scoperto da Robert May nel 1976.r=3,57...{\ displaystyle r = 3.57 \ ldots}
• Il caso era stato studiato già nel 1947 da Stanislas Ulam e John von Neumann . In questo caso preciso, possiamo stabilire l'esatta espressione della misura invariante ergodica .r=4{\ displaystyle r = 4}

Si ottiene così un susseguirsi di biforcazioni della regolarità verso il caos all'aumentare del parametro, riassunte nella figura allegata.

L'app "gatto" di Arnold (1968)

Il nome dell'applicazione "  gatto  " deriva da un gioco di parole inglese che non può essere tradotto in francese: infatti, "  chat  " è " gatto "  in inglese, e Vladimir Arnold usò questa parola come acronimo di: "  Continuous Automorphisms of the Torus , letteralmente : "  automorfismi continui del toro  ".

L'applicazione "gatto" è un'applicazione del quadrato [0, 1] × [0, 1] di per sé definita da:

Xnon+1=Xnon+ynon(mod 1)ynon+1=Xnon+2ynon(mod 1){\ displaystyle {\ begin {matrix} x_ {n + 1} & = & x_ {n} \, + \, y_ {n} \ quad (\ mathrm {mod} \ 1) \\ y_ {n + 1} & = & x_ {n} \, + \, 2 \, y_ {n} \ quad (\ mathrm {mod} \ 1) \ end {matrix}}}

dove ( mod 1) significa: fino a un numero intero. Questa condizione significa che il quadrato [0, 1] × [0, 1] ha i bordi incollati insieme a due a due per formare il "toro" del titolo. È un sistema dinamico conservativo, che preserva la misura di Lebesgue d x d y .

Questa applicazione ha proprietà interessanti che permettono di illustrare concetti fondamentali della teoria dei sistemi dinamici.

L'applicazione di Hénon (1976)

La mappa di Michel Hénon è una biiezione del quadrato [0, 1] × [0, 1] in sé definito da:

Xnon+1=ynon+1-aXnon2ynon+1=bXnon{\ displaystyle {\ begin {matrix} x_ {n + 1} & = & y_ {n} \, + \, 1 \, - \, a \, x_ {n} ^ {2} \\ y_ {n + 1} & = & b \, x_ {n} \ end {matrix}}}

dove un e b sono due parametri, valori tipici di cui e . Con questi valori la dinamica presenta uno strano attrattore di natura frattale, di tipo Cantor. a=1,4{\ displaystyle a = 1,4}b=0,3{\ displaystyle b = 0,3}

Hénon ha ottenuto le sue equazioni cercando una versione semplificata del sistema dinamico di Lorenz a tempo continuo introdotto nel 1963 ( vedi sotto ). Il sistema dinamico di Hénon non è conservatore , perché lo giacobiano della trasformazione è costante e vale , che è diverso dall'unità in casi interessanti. -b{\ displaystyle -b}

L'applicazione di Hénon è anche studiata e generalizzata come un sistema dinamico complesso (in ). VS2{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}

Altri esempi

• L'applicazione shift su sequenze binarie definite come segue. Lo spazio dinamico è l'insieme delle sequenze di e di e l'applicazione per iterare è la cosiddetta applicazione offset (traduzione del termine di lingua inglese shift , talvolta usata in francese) che sposta la sequenza di una tacca a sinistra: se è una sequenza di e di , è la sequenza . Questo modello di sistema dinamico è generalizzato e la sua importanza sta nel fatto che generalmente risulta dalla codifica di un sistema dinamico da parte di una partizione Markoviana (in) .0{\ displaystyle 0}1{\ displaystyle 1}σ{\ displaystyle \ sigma}X=(X0,X1,X2,...){\ displaystyle x = (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, ...)}0{\ displaystyle 0}1{\ displaystyle 1}σ(X){\ displaystyle \ sigma (x)}(X1,X2,X3,...){\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, ...)} 
• La dinamica olomorfa sul piano complesso . È in questo quadro che definiamo l' insieme di Mandelbrot e l' insieme di Julia .VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
• La percolazione .

Sistema dinamico differenziale

Dal lavoro di Isaac Newton ( 1687 ), l'idea che l'evoluzione temporale di qualsiasi sistema fisico sia ben modellata da un'equazione differenziale (o dalle sue generalizzazioni alla teoria dei campi, equazioni alle derivate parziali ) è accettata. Da allora questa modellazione differenziale è stata estesa con successo ad altre discipline come chimica , biologia , economia, ecc.

Tipicamente consideriamo un sistema differenziale del primo ordine del tipo:

dX(t)dt = f(X(t),t){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x (t)} {\ mathrm {d} t}} \ = \ f (x (t), t)}

dove la funzione f definisce il sistema dinamico studiato (per un sistema con n gradi di libertà, si tratta in senso stretto di un campo di vettori con n dimensioni, cioè da un punto di vista prosaico, un insieme di n funzioni scalari) .

Problema di Cauchy

Ci poniamo la seguente domanda, chiamata problema di Cauchy  : data una condizione iniziale che rappresenta lo stato completo del sistema fisico nel suo spazio delle fasi in un momento iniziale , trovare lo stato completo del sistema nel suo spazio delle fasi per un istante successivo . La soluzione a questo problema fondamentale sta nel teorema di Cauchy-Lipschitz , che assicura (sotto un'ipotesi abbastanza ampia) l'esistenza locale e l'unicità della soluzione di un'equazione differenziale. X0{\ displaystyle x_ {0}}t0{\ displaystyle t_ {0}}X(t){\ displaystyle x (t)}t>t0{\ displaystyle t> t_ {0}}

Determinismo

L'ipotesi che il futuro sia determinato dal presente è molto audace. Il suo successo non è ovvio a priori. Eppure tutte le grandi teorie fondamentali della fisica l'hanno adottata, seguendo quella di Newton.

Determinismo di un sistema conservatore

Saremo d'accordo nel dire che un sistema fisico conservatore è deterministico se e solo se la dinamica del sistema associa a ciascuna condizione iniziale uno e solo uno stato finale . Ciò implica che esiste una biiezione dello spazio delle fasi di se stesso come: X0{\ displaystyle x_ {0}} X(t){\ displaystyle x (t)} ϕt:Γ→Γ{\ displaystyle \ phi _ {t}: da \ Gamma \ a \ Gamma}

X(t) = ϕt(X0){\ displaystyle x (t) \ = \ \ phi _ {t} (x_ {0})}

Quando il tempo varia, questo bijection genera un flusso a , vale a dire un gruppo continuo con un parametro come: t{\ displaystyle t}Γ{\ displaystyle \ Gamma} ϕt{\ displaystyle \ phi _ {t}}

ϕ0 = iod{\ displaystyle \ phi _ {0} \ = \ \ mathrm {Id}}

∀(t,S)∈R2ϕt ∘ϕS = ϕt+S{\ displaystyle \ forall (t, s) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \, \ quad \ phi _ {t} \ \ circ \ phi _ {s} \ = \ \ phi _ {t + s }}.

Questa descrizione corrisponde ad esempio al flusso hamiltoniano della meccanica classica , nonché al flusso geodetico .

Caso di un sistema non conservatore

Quando il sistema fisico considerato non è conservativo, la mappa non è biiettiva e generalmente esistono uno (o più) attrattori nello spazio delle fasi del sistema, cioè un sottoinsieme dello spazio delle fasi invariante sotto il quale il punto rappresentativo del sistema converge quando il tempo tende verso l'infinito, e questo per quasi tutte le condizioni iniziali . ϕt{\ displaystyle \ phi _ {t}}ϕt{\ displaystyle \ phi _ {t}}X(t){\ displaystyle x (t)}t{\ displaystyle t}X0{\ displaystyle x_ {0}}

Esempi

L' oscillatore Van der Pol (1928)

L'oscillatore di van der Pol libero ( cioè senza eccitazione esterna) è un sistema a un grado di libertà, descritto dalla coordinata x (t) , che ha due parametri:

• un impulso  ;ω0{\ displaystyle \ omega _ {0}}
• un coefficiente di non linearità .ϵ{\ displaystyle \ epsilon}

La sua equazione differenziale è scritta:

d2X(t)dt2 - ϵω0 (1-X2(t))dX(t)dt + ω02 X(t) = 0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ - \ \ epsilon \, \ omega _ {0} \ \ sinistra (1-x ^ {2} (t) \ right) \; {\ frac {\ mathrm {d} x (t)} {\ mathrm {d} t}} \ + \ \ omega _ {0} ^ { 2} \ x (t) \ = \ 0}

Questo sistema dissipativo ha una dinamica regolare quando è libero, caratterizzato da un attrattore sotto forma di ciclo limite rappresentato nella figura a fianco (dove abbiamo posto ): ω0=1{\ displaystyle \ omega _ {0} = 1}

Il sistema Lorenz (1963)

Nel 1963, Edward Lorenz proposto un sistema differenziale avente tre gradi di libertà, osservato , e , che è scritto: X(t){\ displaystyle x (t)}y(t){\ displaystyle y (t)}z(t){\ displaystyle z (t)}

{dXdt=σ[y(t)-X(t)]dydt=ρX(t)-y(t)-X(t)z(t)dzdt=X(t)y(t)-bz(t){\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = \ sigma \ left [y (t) -x (t) \ right] \\\ \ {\ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} = \ rho \, x (t) -y (t) -x (t) \, z (t) \\\\ {\ dfrac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t}} = x (t) \, y (t) -b \, z (t) \ end {case}}}

In queste equazioni , e sono tre parametri reali positivi. Per i seguenti valori , e questo differenziale ha un attrattore di sistema dinamico strano, mostrato nella figura contro. σ{\ displaystyle \ sigma}ρ{\ displaystyle \ rho}b{\ displaystyle b}σ=10{\ displaystyle \ sigma = 10}ρ=28{\ displaystyle \ rho = 28}b=8/3{\ displaystyle b = 8/3}

Sistemi lineari e non lineari

Si distingue tra sistemi dinamici lineari di sistemi dinamici non lineari . Nel primo, il lato destro dell'equazione è una funzione che dipende linearmente da x , tale che:

Xt+1=3Xt{\ displaystyle x_ {t + 1} = 3x_ {t}}.

Anche la somma di due soluzioni di un sistema lineare è soluzione ("principio di sovrapposizione"). Le soluzioni di un'equazione lineare formano uno spazio vettoriale , che consente l'uso dell'algebra lineare e semplifica notevolmente l'analisi. Per i sistemi a tempo continuo, la trasformata di Laplace trasforma le equazioni differenziali in equazioni algebriche.

I primi due esempi sopra riportati sono sistemi non lineari. La loro analisi è generalmente molto difficile. D'altra parte, i sistemi non lineari hanno spesso i cosiddetti comportamenti caotici , il che li rende apparentemente imprevedibili.

Sistemi dinamici e teoria del caos

I sistemi dinamici non lineari, o semplicemente lineari a tratti , possono esibire comportamenti completamente imprevedibili, che possono anche sembrare casuali (sebbene siano sistemi perfettamente deterministici). Questa imprevedibilità si chiama caos . Il ramo dei sistemi dinamici che si concentra sulla definizione e lo studio del caos in modo chiaro è chiamato teoria del caos .

Questa branca della matematica descrive qualitativamente i comportamenti a lungo termine dei sistemi dinamici. In questo quadro, l'enfasi non è sulla ricerca di soluzioni precise alle equazioni del sistema dinamico (che, in ogni caso, è spesso senza speranza), ma piuttosto sulla risposta a domande come "Il sistema convergerà - verso uno stato stazionario a lungo termine e, in caso affermativo, quali sono i possibili stati stazionari? "Oppure" Il comportamento a lungo termine del sistema dipende dalle condizioni iniziali? ".

Un obiettivo importante è la descrizione dei punti fissi , o stati stazionari, del sistema; questi sono i valori della variabile per cui non cambia più nel tempo. Alcuni di questi punti fissi sono attraenti , il che significa che se il sistema raggiunge il loro vicinato, converge verso il punto fisso.

Allo stesso modo, ci interessano i punti periodici , gli stati del sistema che si ripetono dopo un certo numero di passaggi (il loro periodo ). Anche i punti periodici possono essere attraenti. Il teorema di Charkovski fornisce un vincolo sull'insieme di possibili periodi di punti di una variabile reale in un sistema dinamico basato sull'evoluzione continua; in particolare, se c'è un punto del periodo 3, ci sono punti di qualsiasi periodo (spesso riassunti in "periodo 3 implica caos", secondo il titolo di un articolo fondatore).

Il comportamento caotico dei sistemi complessi non è una sorpresa: è noto da tempo che la meteorologia include comportamenti complessi e persino caotici. Piuttosto, la vera sorpresa è la scoperta del caos in sistemi quasi banali; quindi, la funzione logistica è un semplice polinomio di secondo grado, tuttavia il comportamento delle sue soluzioni è caotico.

Note e riferimenti

1. Quando il parametro r diventa strettamente maggiore di quattro, l'applicazione lascia l'intervallo [0, 1].
2. (in) RM May, Nature 261 (1976), 459.
3. (a) S. Ulam e J. von Neumann, Bulletin of the American Mathematical Society , 53 (1947), 1120.
4. (a) Pierre Collet e Jean-Pierre Eckmann  (a) , Mappe iterate sull'intervallo come sistemi dinamici , Birkhauser, 1980.
5. (in) Vladimir I. Arnold e André Do, Ergodic Problems of Classical Mechanics , (1968); Ristampa: Advanced Book Classics, Pearson Addison Wesley (maggio 1989), ASIN 0201094061.
6. Questo è uno degli esempi canonici di Hasselblatt e Katok 1997 .
7. (in) Michel Hénon, Una mappatura bidimensionale con uno strano attrattore , Communications in Mathematical Physics 50 (1976), 69 [ (in)  full text ] [PDF]
8. (in) James H. Curry, On the transformation Henon , Communications in Mathematical Physics 68 (1979) 129 [ (in)  full text ] [PDF]
9. Con a = 1.3 eb = 0.3, l'attrattore strano scompare completamente a favore di un attrattore sotto forma di orbita periodica, con periodo 7.
10. Questo tipo di mappa polinomiale Jacobiana costante è chiamata “trasformazione intera di Cremona”. Vedi (de) Wolfgang Engel, Ein Satz über ganze Cremona-Transformationen der Ebene , Mathematische Annalen 130 (1955), 11 e: Ganze Cremona-Transformationen von Primzahlgrad in der Ebene , Mathematische Annalen 136 (1958), 319.
11. Ricorda che un'equazione differenziale di ordine n può sempre essere ridotta a un sistema di n equazioni differenziali accoppiate di ordine uno.
12. In particolare, l'applicazione non ammette il contrario .ϕt{\ displaystyle \ phi _ {t}}
13. Introdotto nel 1928, questo oscillatore di rilassamento fu introdotto per modellare il battito del cuore umano; cfr. (in) Balth. van der Pol e J. van der Mark, Il battito cardiaco considerato come un'oscillazione di rilassamento e un modello elettrico del cuore , Supplemento 6 (1928) della rivista filosofica , 763-775.
14. (in) Edward N. Lorenz , "  Deterministic Nonperiodic Flow  " , J. Atmos. Sci. , vol.  20,1963, p.  130-141 ( leggi in linea )
15. (in) Tien-Yien Li e James A. Yorke  (in) , "  Period Three Implies Chaos  " , American Mathematical Monthly , vol.  82, n o  10,1975, p.  985-992 ( leggi in linea ).

Vedi anche

Articoli Correlati

Teoria dei sistemi dinamici (articolo più generale)

• Attrattore
• Ordinazione ottimale
• Equazione differenziale parziale
• Equazione differenziale ordinaria
• Omeostasi , omeoresia,
• Invariante di Parry-Sullivan
• Meccanica hamiltoniana
• Percolazione
• Previsione dinamica
• Rappresentanza statale
• Sistema complesso
• Sistema integrato
• Sistema oscillante con un grado di libertà
• Teorema di KAM
• Teoria del caos
• Teoria del controllo
• Teoria ergodica
• Trasformata discreta di Fourier
• Trasformazione di Laplace
• Trasformato in Z

link esterno

• (it) on cut-the-knot  :
  • Emersione del caos
  • Iterazioni nell'insieme di Mandelbrot
  • Modello logistico
• (en) Presentazione online del libro Introduzione alla macrodinamica sociale di Andreï Korotaïev , Artemy Malkov e Daria Khaltourina
• Sistemi dinamici ed equazioni differenziali su interstizi , inclusa un'applet di simulazione Java

Bibliografia

Libri di iniziazione

• Aurélien Alvarez , Dinamica dei sistemi di destinazione con Poincaré , Le Pommier , 2013
• John H. Hubbard e Beverly H. West, Equazioni differenziali e sistemi dinamici , Cassini, 1999 ( ISBN  284225015X )
• Grégoire Nicolis e Ilya Prigogine , Meet the Complex , Collection Philosophie Today, PUF , 1992 ( ISBN  2-13-043606-4 )
• (en) Boris Hasselblatt  (de) et Anatole Katok  (de) , Un primo corso in dinamica: con un panorama dei recenti sviluppi , Cambridge, Cambridge University Press ,2003, 424  p. ( ISBN  0-521-58750-6 )
• (en) Diederich Hinrichsen  (en) e Anthony J. Pritchard, Teoria dei sistemi matematici. Modeling, State Space Analysis, Stability and Robustness , New York, Springer, 2005 ( ISBN  978-3-540-44125-0 )
• (en) Boris Hasselblatt e Anatole Katok, Introduzione alla teoria moderna dei sistemi dinamici: con un supplemento di Anatole Katok e Leonardo Mendoza , Cambridge University Press , coll.  "Enciclopedia della matematica e delle sue applicazioni" ( n .  54)1997( ISBN  0-521-57557-5 )
• David Ruelle , Chance and chaos , Odile Jacob, Parigi, 1991.
• James Gleick (trad. Christian Jeanmougin), La Théorie du Chaos [“Chaos: Making a New Science”], Flammarion, coll. "Champs", Parigi, 1988 (ristampa 1999), 431 p. ( ISBN  2-08081-219-X )

Lavori più tecnici

• (en) Stephen Smale , The Mathematics of Time - Essays on Dynamical Systems, Economic Processes & Related Topics , Springer-Verlag, 1980 ( ISBN  978-0-387-90519-8 )
• (en) Boris Hasselblatt e Anatole Katok (a cura di), Handbook of Dynamical Systems , Elsevier. Volo. 1A , 2002 ( ISBN  978-0-444-82669-5 )  ; Volo. 1B , 2005 ( ISBN  978-0-444-52055-5 )
• (en) Bernold Fiedler  (de) (a cura di), Handbook of Dynamical Systems . Volo. 2: Applicazioni , Elsevier, 2002 ( ISBN  978-0-444-50168-4 )  ; Volo. 3: Metodi geometrici di dinamiche differenziabili , Elsevier, 2010 ( ISBN  978-0-444-53141-4 )
• (en) Leonid Bunimovich , Roland Lwowitsch Dobruschin  (de) , Iakov Sinai , Anatoly Vershik et al. , Sistemi Dinamici, teoria ergodica e Applicazioni , Serie: Encyclopaedia of Mathematical Sciences 100 , pacchetto Volume: Fisica matematica, Springer-Verlag, 2 °  edizione, 2000 ( ISBN  978-3-540-66316-4 )
• (en) Vladimir Damgov , Fenomeni non lineari e parametrici. Applicazioni ai sistemi radiometrici e meccanici , World Scientific, Series on Nonlinear Sciences, 2004

Biblioteca virtuale

• Paul Manneville, Sistemi dinamici e caos , 1998, 233 p. Corso tenuto dall'autore (LadHyX, École Polytechnique) alla DEA in Liquid Physics and Mechanics [ leggi online ]
• (en) David Ruelle, Teoria ergonomica dei sistemi dinamici differenziabili , Publ. Matematica. IHES 50 (1979), 27-58 [ (en)  full text ] [PDF] .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">