Somma dei divisori

In aritmetica , la somma dei divisori di un intero strettamente positivo è l'intero ottenuto facendo la somma di tutti i divisori positivi di questo intero.

La funzione che associa la somma dei suoi divisori ad un intero è spesso indicata con $σ$ .

Quindi $σ$ (6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12, $σ$ ( p ) = p + 1 per qualsiasi numero primo p e $σ$ (1) = 1.

Questa funzione è coinvolta nello studio dei numeri perfetti , amichevoli , carenti o abbondanti , intoccabili o sublimi o in aliquote . Viene anche studiato nell'ambito dell'ipotesi di Riemann .

Questo è un esempio di funzione moltiplicativa .

Siamo inoltre a volte studiamo la somma s ( n ) = $σ$ ( n ) - n delle severe divisori di un numero intero n , vale a dire di tutti i divisori positivi di n strettamente minore di n .

Proprietà

Come tutte le funzioni divisorie $σ a$ , la funzione $σ = σ 1$ è moltiplicativa , cioè, per tutti gli interi m ed n primi tra loro , $σ$ ( mn ) = $σ$ ( m ) $σ$ ( n ).
La somma dei termini di una successione geometrica permette di calcolare la somma dei divisori di una potenza di un numero primo: $\ sigma (p ^ {k}) = \ sum _ {{j = 0}} ^ {k} p ^ {j} = {\ frac {p ^ {{k + 1}} - 1} {p-1 }}.$ (La funzione $σ non$ è quindi completamente moltiplicativa .)
L'utilizzo delle due proprietà precedenti permette di determinare la somma dei divisori di $n$ conoscendone la scomposizione in fattori primi : ${{\ rm {si}}} \ quad n = \ prod _ {{i = 1}} ^ {r} p_ {i} ^ {{k_ {i}}} \ quad {{\ rm {quindi}} } \ quad \ sigma (n) = \ prod _ {{i = 1}} ^ {r} {\ frac {p_ {i} ^ {{k_ {i} +1}} - 1} {p_ {i} -1}}.$
Nel senso della convoluzione di Dirichlet , possiamo scrivere . σ ha allora un inverso , che si può calcolare esplicitamente: è zero non appena si ammette un fattore cubico, e se no, scrivendo dove les e les sono due numeri primi distinti, si ha . ${\ displaystyle \ sigma = {\ rm {Id * \ mathbf {1}}}}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {- 1} = \ mathbf {1} ^ {- 1} * {\ rm {Id ^ {- 1} = \ mu * (\ mu {\ rm {Id)}}}}}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {- 1} (n)}$ $non$ ${\ displaystyle n = (p_ {1} p_ {2} ... p_ {r}) (q_ {1} q_ {2} ... q_ {l}) ^ {2}}$ $p_ {i}$ $q_ {i}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {- 1} (n) = (- 1) ^ {r} (p_ {1} +1) (p_ {2} +1) ... (p_ {r} +1) q_ {1} q_ {2} ... q_ {l}}$

legge di Eulero

Leonhard Euler enuncia nel 1752 un risultato, che chiama “Legge dei numeri assolutamente straordinaria rispetto alla somma dei loro divisori” , che permette di determinare la somma dei divisori di n utilizzando una formula di ricorrenza:

\ sigma (n) = \ sigma (n-1) + \ sigma (n-2) - \ sigma (n-5) - \ sigma (n-7) + \ sigma (n-12) + \ cdots

dove 1, 2, 5, 7, 12, ... è la sequenza dei numeri pentagonali generalizzati.

{\ displaystyle \ sigma (n) = \ sum _ {i \ in \ mathbb {Z} ^ {*}} (- 1) ^ {i + 1} f_ {n} \ left (n - {\ frac {i (3i-1)} {2}} \ destra)}

con $f_ {n} (k) = {\ begin {casi} \ sigma (k) & {\ text {si}} k> 0, \\ n & {\ text {si}} k = 0, \\ 0 & {\ text {si}} k <0, \ end {casi}}$

legge che dimostrò nel 1754 usando la scrittura seriale di un prodotto infinito : $(1-x) (1-x ^ {2}) (1-x ^ {3}) ... = \ prod _ {{i = 1}} ^ {{+ \ infty}} (1-x ^ {i}) = \ sum _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} (- 1) ^ {i} x ^ {{{\ frac {i (3i + 1)} 2}}} .$

Ordine medio

Un ordine medio semplice per la funzione $σ$ ( n ) è la funzione nπ 2 /6, poiché la stima

\ sum _ {{n \ leq x}} \ sigma (n) = {\ frac {\ pi ^ {2}} {12}} x ^ {2} + E (x),

dove il termine E ( x ) è un o ( x 2 ). Qui o , e sotto O e $Ω \pm$ , ci sono i simboli di Landau . Una buona stima del termine E ( x ) fornisce una valutazione dettagliata dell'accuratezza raggiunta se attribuiamo a $σ$ ( n ) l'ordine medio nπ 2 /6. L'aumento e la diminuzione più noti di questa precisione sono dati rispettivamente da

E (x) = O (x (\ log x) ^ {{2/3}}),

e da

E (x) = \ Omega _ {{\ pm}} (x \ log \ log x).

Somma dei divisori e ipotesi di Riemann

La funzione somma dei divisori è stata studiata nel contesto dell'ipotesi di Riemann .

TH Gronwall dimostrò nel 1913 che $\ limsup _ {{n \ a + \ infty}} {\ dfrac {\ sigma (n)} {n \ ln (\ ln (n))}} = {{\ rm {e}}} ^ {{\ gamma}}$ dove $γ$ è la costante di Eulero-Mascheroni .

Il criterio di Robin (del matematico francese Guy Robin, nel 1984) afferma che l'ipotesi di Riemann è vera se e solo se

\ sigma (n) <n {{\ rm {e}}} ^ {{\ gamma}} \ ln (\ ln (n)) \,

per tutti $n$ ≥ 5,041.

Questa disuguaglianza è già stata accertata per il 70,26% dei numeri naturali. (Gli autori mostrano che gli interi quadratfrei , di densità $6/ π 2$ , così come quelli dispari, di densità 1/2, soddisfano la disuguaglianza. Essendo i non-quadratfrei dispari di densità $0.5 - 4 / π 2$ , gli interi soddisfacendo la disuguaglianza sono di densità almeno $2 / π 2 + 1/2 = 0.702642\dots$ .)

Nel 2001, Jeffrey Lagarias , utilizzando il criterio di Robin, mette in relazione la somma dei divisori con l'n-esimo numero armonico H n e dimostra che l'ipotesi di Riemann è vera se e solo se per ogni intero n , $\ sigma (n) \ leq H_ {n} + \ exp (H_ {n}) \ ln (H_ {n}).$

Altre espressioni

La somma dei divisori può essere espressa come somma trigonometrica:

{\ displaystyle \ sigma _ {1} (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {k} \ cos {\ frac {2 \ pi jn} {k }}}

Note e riferimenti

" sigma (n) = somma dei divisori di n. Detto anche sigma_1(n) ” : a seguito di A000203 di OEIS .
Ad esempio, n è primo se e solo se s ( n ) = 1. Si dice perfetto se s ( n ) = n .
(La) Leonhard Euler, Commentationes arithmeticae collectae , vol. I, Observatio de summis divisorum , p. 148.
(La) Leonhard Euler, Commentationes arithmeticae collectae , vol. I, Demonstratio theorematis circa ordinem in summis divisorum observatum , p. 234.
(De) A. Walfisz , Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie , Berlino, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften ,1963.
Y.-FS Petermann. Un Ω -theorem per un termine di errore relativo alla funzione somma dei divisori. Mh. Matematica. 103, 145-157 (1987); addendum ibid. 105, 193-194 (1988).
(in) Eric W. Weisstein , " Teorema di Gronwall " su MathWorld .
(in) Eric W. Weisstein , " Teorema di Robin " su MathWorld .
(in) Youngju Choie , Nicolas Lichiardopol Pieter Moree e Patrick Solé , " è il criterio di Robin per l'ipotesi di Riemann " , J. Theorem. Numeri di Bordeaux , vol. 19, n . 22007, pag. 357-372.
(in) Jeffrey C. Lagarias, " Un problema elementare equivalente all'ipotesi di Riemann ", Amer. Matematica. Mensile 109 (2002), n. 6,534-543. Online su arXiv : math/0008177 .

Vedi anche

Bibliografia

G. Halphén , “ Su varie formule ricorrenti riguardanti i divisori di interi ”, Bulletin de la SMF , vol. 6,1878, pag. 173-188 ( leggi in linea )