Equazione degli hamburger

L' equazione di Burgers è un'equazione differenziale parziale risultante dalla meccanica dei fluidi . Appare in vari campi della matematica applicata , come la modellazione della dinamica dei gas, dell'acustica o del traffico stradale. Deve il suo nome a Johannes Martinus Burgers che ne parlò nel 1948. Appare in precedenti lavori di Andrew Russel Forsyth e Harry Bateman .

Formulazione

Denotando $u$ la velocità e $ν$ il coefficiente di viscosità cinematica, la forma generale dell'equazione di Burgers è:

{\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}}

Quando $ν = 0$ , l'equazione di Burgers diventa l'equazione di Burgers senza viscosità:

{\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0

La matrice Jacobiana di questa equazione si riduce alla quantità scalare $u$ , valore reale. È quindi un'equazione alle derivate parziali iperboliche . Può quindi includere discontinuità ( onde d'urto ).

La forma conservativa di questa equazione è:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left (u ^ {2} \ a destra) = 0}

Equazione senza viscosità

Soluzione regolare

Con il metodo delle caratteristiche

Stiamo cercando una linea caratteristica $[ x ( s ), t ( s )]$ lungo la quale l'equazione di Burgers si riduce a un'equazione differenziale ordinaria. Calcoliamo la derivata di $ν$ lungo tale curva:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} u [x (s), t (s)]} {\ mathrm {d} s}} & = 0 \\ [1em] & = & {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} s}} {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} s}} {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} \ end {align}}}

Identifichiamo l'equazione di Burgers facendo (assumiamo $t (0) = 0$ ):

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} s}} = 1 \ qquad \ Rightarrow \ qquad t (s) = s}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} s}} = u \ qquad \ Rightarrow \ qquad x (s) = x_ {0} + us = x_ {0} + ut}

Le caratteristiche nel piano $( x , t )$ sono rette di pendenza $ν$ lungo le quali la soluzione è costante.

Il valore in un punto $( x c , t c ) si$ ottiene "ascendendo" la caratteristica alla sua origine $x 0 = x c - ut c$ . Questo valore è $u = u ( x 0 )$ .

Metodo che utilizza un ansatz

Possiamo dare una soluzione generale nel modulo

{\ Displaystyle u (x, t) = f (w)}

dove $f$ è una qualsiasi funzione della variabile $w = x - ut$ .

Notiamo ${\ displaystyle f '= {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} w}}}$

Se continuiamo nell'equazione di Burgers, arriva:

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} \ right) \ left (1 + tf '\ right) = 0}

$f$ è quindi una soluzione a meno che il secondo termine dell'equazione non svanisca.

La derivata di $u è$ scritta:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {f '} {1 + tf'}}}

La funzione $u$ diventa singolare per $1 + tf ' = 0$ , punto di intersezione delle caratteristiche. Al di là della soluzione regolare l'equazione non ha più un significato fisico poiché la soluzione è multivalore.

Importo conservativo

Integra l'equazione in forma conservativa da $a$ a $b$ :

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {a} ^ {b} u \ mathrm {d} x = {\ frac {u_ {a} ^ { 2}} {2}} - {\ frac {u_ {b} ^ {2}} {2}} \; \; \; \ forall a, b}

Se $u$ svanisce a due limiti finiti (problema periodico) o infiniti allora:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {a} ^ {b} u \ mathrm {d} x = 0}

In un sistema chiuso, la quantità viene mantenuta nel tempo. ${\ displaystyle \ int u \ mathrm {d} x}$

Discontinuità

Per un sistema di equazioni iperboliche scritte nella forma

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial g (u)} {\ partial x}} = 0}

la velocità di propagazione di uno shock è data dall'equazione di Rankine-Hugoniot

{\ displaystyle c = {\ frac {\ Delta g} {\ Delta u}}}

Nel nostro caso , dove ${\ displaystyle g = {\ frac {u ^ {2}} {2}}}$

{\ displaystyle c = {\ frac {{\ frac {u_ {G} ^ {2}} {2}} - {\ frac {u_ {D} ^ {2}} {2}}} {u_ {G} -u_ {D}}} = {\ frac {u_ {G} + u_ {D}} {2}}}

dove $u G$ e $u D$ sono le velocità su entrambi i lati dell'urto.

Equazione con viscosità

Possiamo trasformare questa equazione usando la trasformazione di Hopf-Cole:

{\ displaystyle u = - {\ frac {2 \ nu} {\ phi}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x}}}

Portando nell'equazione si ottiene:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left ({\ frac {1} {\ phi}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} \ right) = { \ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left ({\ frac {\ nu} {\ phi}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial x ^ {2}}} \ giusto)}

Per integrazione rispetto $ax$ si introduce una “costante” di funzione di integrazione del tempo che si nota $g ( t )$ , determinata dalle condizioni al contorno:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} = \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial x ^ {2}}} + g (t) \ phi}

Il nuovo cambio di variabile $ψ = ϕ exp (\int g d t )$ permette di scrivere:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} = \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial x ^ {2}}}}

Otteniamo un'equazione di diffusione analoga all'equazione del calore per la quale esistono soluzioni analitiche.

Note e riferimenti

(in) Jan Burgers , " A Mathematical Model Illustrating the Theory of Turbulence " , Advances in Applied Mechanics , Academic Press, vol. 1,1948
(in) Andrew Russell Forsyth, " Theory of Differential Equations, Part 4 " , Partial Differential Equations , Cambridge University Press, vol. 5-6,1906
(in) Harry Bateman , " Some Recent Researches on the Motion of Fluids " , Monthly Weather Review , 1915 [1]
(in) Jan Burgers , The Nonlinear Diffusion Equation , Springer,1974( ISBN 978-94-010-1747-3 )
(in) Eberhard Hopf , " The Partial Differential Equationy there t + yy x = μ xx " , Communications is Pure and Applied Mathematics , vol. 3, n o 3,Settembre 1950

link esterno

(en) Leon van Dommelen, The Inviscid Burger's Equation [2]
(en) Burgers 'Equation , Institut für Theoretische Physik, Münster [3]
(en) Equazione di NEQwiki Burgers
(en) John Burkardt, 40 Solutions of the Burgers Equation (codici sotto licenza GNU ) [4]