Ragionando per assurdo

Il ragionamento per assurdo (il latino reductio ad absurdum ) o apagogie (dal greco antico apagôgê ) è una forma di ragionamento logico , filosofico , scientifico che consiste nel dimostrare la verità di una proposizione mostrando l' assurdità della proposta complementare (o " contrario "), o per mostrare la falsità di una proposizione deducendone logicamente conseguenze assurde .

In filosofia

Apagogia positiva

Parliamo di apagogia positiva o dimostrazione per semplice assurdità quando la conclusione afferma la verità di una proposizione, non stabilendola direttamente mediante una dimostrazione tratta dalla natura stessa della cosa, ma indirettamente, mostrando che la proposizione contraria è assurda. Concludiamo dalla falsità dell'uno alla verità dell'altro.

Ad esempio, Spinoza dimostra per assurdo che "la produzione di una sostanza è assolutamente impossibile" ( Etica I , Proposizione VI , corollario). Infatti, se una sostanza potesse essere prodotta, la conoscenza di questa sostanza dovrebbe dipendere dalla conoscenza della sua causa (sapendo che la conoscenza dell'effetto suppone quella della causa) e quindi non sarebbe più una sostanza, poiché una sostanza è proprio ciò che è in se stesso ed è concepito da se stesso.

Limiti di questo modo di ragionare

Questo ragionamento è legittimo solo quando ci sono solo due possibili proposizioni contraddittorie, una delle quali è necessariamente falsa se l'altra è vera, e viceversa; altrimenti degenera in un errore basato su un falso dilemma . Oppure, dobbiamo dimostrare efficacemente la falsità di tutte le altre tesi alternative: o A, B o C considerate come ipotesi possibili, dimostriamo che B e C sono false, A è quindi vero (è quello che classicamente chiamiamo anche ragionamento disgiuntivo o modus tollendo-ponens ).

Da un punto di vista epistemologico , questa dimostrazione rimane sempre inferiore alla dimostrazione diretta, perché, se costringe la mente, non la illumina e non dà la ragione delle cose, come fa la dimostrazione diretta o ostensiva. È quindi preferibile utilizzarlo solo quando non si può fare altrimenti: se, ad esempio, nella discussione si ha a che fare con un contraddittore che rifiuta qualsiasi prova diretta o che nega i principi. Questo è il caso della confutazione di alcune dottrine, come lo scetticismo .

Apagogia negativa

In filosofia , il metodo apagogico o la riduzione all'assurdo ha un posto più importante nel campo della confutazione delle idee opposte. L'apagogia consiste quindi nel far emergere che la proposizione da confutare porta a conseguenze assurde perché impossibili ( contraddittorie con se stesse o con altri principi ammessi come veri). Meno rischioso dell'apagogia positiva, questo modo di ragionare non afferma necessariamente che sia vero il contrario. Così, ad esempio, confuteremo l'affermazione secondo cui tutto ciò che è raro è costoso indicando che se fosse vero, ne conseguirebbe che un cavallo a buon mercato, cosa rara, dovrebbe allo stesso tempo essere costoso, il che è assurdo, cioè contraddittorio in termini. La proposizione "tutto ciò che è raro è costoso" è quindi necessariamente falsa. Ma questo non significa che l'opposto logico di questa proposizione, vale a dire "C'è qualcosa che è raro senza essere caro", sia vero.

Meno rigorosamente, anche in modo sofisticato , ci accontenteremo di evidenziare le conseguenze disastrose o sgradevoli di una tesi o di una dottrina (vedi l' argomento ad consequentiam ).

Tuttavia, è anche preferibile da un punto di vista logico confutare mediante analisi diretta la falsità dei principi . Quindi un uso non critico di questo tipo di prova può essere sospettato di appartenere più alla dialettica e alla retorica eristica che alla filosofia vera e propria.

In logica e matematica

La dimostrazione dell'assurdo, usata nella logica classica per dimostrare certi teoremi , ritorna nella dimostrazione apagogica.

Ammettiamo che dobbiamo dimostrare una proposizione $p$ . L'approccio consiste nel mostrare che l' ipotesi non $p$ (vale a dire che $p$ è falso) porta a una contraddizione logica. Quindi $p$ non può essere falso e deve quindi essere vero.

La reductio ad absurdum è quindi rappresentata da:

{\ displaystyle {\ frac {S \ cup \ {\ neg p \} \ vdash F} {S \ vdash p}}}

In quanto sopra, $p$ è la proposizione che vogliamo dimostrare e $S$ è un insieme di asserzioni che sono date come già acquisite; questi potrebbero essere, ad esempio, gli assiomi della teoria su cui si sta lavorando o ipotesi specifiche. Considerando la negazione di $p$ oltre a $S$ , se questo porta ad una contraddizione logica $F$ , allora possiamo concludere che, dalle proposizioni di $S$ , deduciamo $p$ .

Nella logica matematica , distinguiamo la regola di confutazione :

$p$ → Falso, quindi no ( $p$ ) , che può essere preso come definizione della negazione ,

della regola del ragionamento dall'assurdo :

no ( $p$ ) → Falso, quindi $p$ che è il ragionamento dell'assurdo.

La logica classica e la logica intuizionista ammettono entrambe la prima regola, ma solo la logica classica ammette la seconda regola, che richiede l'eliminazione dei doppi negativi. Allo stesso modo, nella logica intuizionista, rifiutiamo il principio del terzo escluso . Una proposizione che può essere dimostrata nella logica intuizionista non richiede il ragionamento attraverso l'assurdo. Una proposizione provata nella logica classica, ma non valida nella logica intuizionista, richiede un ragionamento per assurdo. Nella sua pratica attuale, il matematico, usando intuitivamente la logica classica, tende a non distinguere tra le due regole.

È possibile utilizzare un ragionamento assurdo per provare l'esistenza astratta di oggetti matematici. Per una proposizione che afferma l'esistenza di un tale oggetto, il ragionamento dell'assurdo consiste nel supporre che questo oggetto non esista e dedurne una contraddizione. Concludiamo quindi che il suddetto oggetto esiste senza esibirlo. Questo tipo di ragionamento viene rifiutato nella logica intuizionista perché non fornisce in alcun modo una costruzione efficace dell'oggetto detto. Viceversa, se l'affermazione dell'esistenza porta a una contraddizione, si conclude che l'oggetto non esiste (si confuta la sua esistenza) senza che ci sia ragionamento da parte dell'assurdo e quindi questo tipo di ragionamento è accettato nella logica intuizionista.

Il ragionamento dell'assurdo viene utilizzato anche nel ragionamento per contrapposizione , consistente nel provare l'implicazione $P \to Q$ mostrando che $non ( Q ) \to non ( P )$ .

Esempi

Dimostrazione della proposizione "zero non ha inverso": assumiamo vera la proposizione "zero ha un inverso". Deduciamo che esiste un reale $a$ tale che: $a \times 0 = 1$ . Ora, $a \times 0 = a \times (0 + 0) = ( a \times 0) + ( a \times 0)$ ; si finisce quindi con l'uguaglianza 1 = 2, che è un'assurdità. Quindi, per assurdità, abbiamo zero non ha il contrario.
Prova dell'irrazionalità di √ 2 : assumiamo vero che √ 2 è razionale. Ci sono quindi due interi a e b, che possiamo supporre di essere il primo tra di loro , in modo tale che $\sqrt 2 = a / b$ . Abbiamo quindi $2 b 2 = a 2$ . Se prendiamo i resti dei due membri della divisione per 2, otteniamo $un 2 = 0 mod2$ , quindi $un$ è anche uguale a $2, un '$ ( $un'$ essendo un intero). Abbiamo quindi $b 2 = 2 a ' 2$ , che, con un ragionamento comparabile, porta a $b$ pari. Tuttavia, il fatto che $un$ e $b$ sono entrambi conduce anche ad una contraddizione con $una$ e $B$ privilegiata tra di loro. L'asserzione √ 2 è razionale quindi porta a una contraddizione, e quindi la sua negazione è valida, √ 2 è irrazionale. In questa dimostrazione, abbiamo utilizzato solo il fatto che, se una proposizione $P$ porta a una contraddizione, allora non abbiamo $( P )$ . Non c'è quindi alcun ragionamento dall'assurdo, nonostante le apparenze. Il ragionamento sostenuto è quindi valido sia nella logica classica che nella logica intuizionista.
Dimostra che esiste un'infinità di numeri primi : supponiamo che ci sia solo un numero finito $n$ di numeri primi, e li indichiamo, nell'ordine, $p 1 = 2 < p 2 = 3 < p 3 = 5 <... < p n$ . Consideriamo quindi $P = p 1 p 2 p 3 ... p n + 1$ . Per costruzione, $P$ è strettamente maggiore di 1 e non è divisibile per alcun numero primo. Questo risultato è assurdo. L'ipotesi è quindi falsa; c'è quindi un'infinità di numeri primi (nella prop.20 del libro IX degli Elementi di Euclide , Euclide non ragiona per assurdo, ma si limita a mostrare che i numeri primi sono in quantità maggiore di qualsiasi quantità proposta di numeri primi ) .
Dimostrare il teorema dei valori intermedi : anche se un ragionamento dall'assurdo non sembra apparire nella dimostrazione di questo teorema, si fa comunque appello al principio del terzo escluso la cui validità poggia sul ragionamento dell'assurdo. L'esistenza della radice asserita dal teorema è puramente formale e inefficace. Questo teorema non è accettato nell'analisi costruttiva tranne quando si aggiungono ipotesi più forti.

Vedi anche

Note e riferimenti

Karim Nour, René David e Christoffe Raffalli, Introduzione alla logica: teoria della prova ,2004, 352 p. ( ISBN 978-2-10-006796-1 )
(in) Errett Bishop e Douglas Bridge, Constructive analysis , Berlin / Heidelberg / New York etc., Springer-Verlag ,1985, 477 p. ( ISBN 3-540-15066-8 ) , p. 40