Principio di relatività

Il principio di relatività afferma che le leggi fisiche sono espresse in modo identico in tutti i sistemi di riferimento inerziali  : le leggi sono “invarianti per cambiamento del sistema di riferimento inerziale”.

• Ciò implica che per due esperimenti preparati in modo identico in due sistemi di riferimento inerziali , le misurazioni effettuate su entrambi nei rispettivi sistemi di riferimento sono identiche: se lancio un proiettile, osservo la stessa traiettoria, che realizzo esperienza sulla piattaforma di un stazione o in un treno in moto rettilineo uniforme .
• Ciò non significa che le misurazioni durante un esperimento siano le stesse per i diversi osservatori , ciascuno misurando dal rispettivo sistema di riferimento inerziale, ma implica che le misurazioni effettuate dai diversi osservatori verificano le stesse equazioni (un cambiamento di struttura di riferimento per l'osservazione che avviene sotto forma di variazione di uno o più parametri nelle equazioni): se dal marciapiede di una stazione osservo una palla lasciata cadere su un treno in movimento, non osservo la stessa traiettoria (una curva) di quello osservato dallo sperimentatore situato nel treno (una linea retta), ma queste due traiettorie dipendono dalla stessa equazione.

Una generalizzazione alla base della relatività generale , e chiamata principio di covarianza o principio di relatività generale , afferma che le leggi fisiche sono espresse in modo identico in tutti i sistemi di riferimento (inerziali o meno). Diciamo quindi che le leggi sono “covarianti”.

Da una teoria all'altra ( fisica classica , relatività speciale o generale ), la formulazione del principio si è evoluta ed è accompagnata da altre ipotesi sullo spazio e sul tempo, sulle velocità, ecc. Alcune di queste ipotesi erano implicite o "ovvie" nella fisica classica , poiché erano coerenti con tutti gli esperimenti, e divennero esplicite e più discusse dal momento in cui fu formulata la relatività speciale .

Esempi in fisica classica

Prima situazione

Supponiamo che in un treno che viaggia a velocità costante (senza le accelerazioni, piccole o grandi, percepibili nel caso di un treno reale), un passeggero sia in piedi, immobile rispetto a questo treno, e tenendo in mano un oggetto. Se lascia andare l'oggetto, cade verticalmente sulla mano che lo teneva (velocità iniziale rispetto al treno zero) e secondo una certa legge in funzione del tempo.

Il principio di relatività non dice che il movimento di questo oggetto sarà lo stesso se, dopo averlo correlato a un quadro di riferimento legato al treno, lo mettiamo in relazione con un quadro di riferimento legato al suolo: l'esperienza mostra che questo Sarebbe sbagliato in quanto, dato dal treno l'oggetto descrive una linea verticale, mentre visto da terra descrive una parabola.

Visto dall'uno o dall'altro di questi quadri di riferimento, le condizioni iniziali dell'esperimento non sono le stesse: l'attrazione gravitazionale è identica in entrambi, ma rispetto al quadro di riferimento legato al treno la velocità iniziale dell'oggetto rilasciato è zero, mentre rispetto al quadro di riferimento legato al suolo non lo è.

Tuttavia, la stessa legge matematica per ciascuno dei due quadri di riferimento permette di descrivere questa esperienza, questa legge tiene conto della velocità iniziale rispetto al quadro di riferimento.

Seconda situazione

Se invece qualcuno fa cadere un oggetto che sta tenendo in mano, le condizioni generali così come le condizioni iniziali sono identiche per l'esperimento fatto a terra e quello fatto sul treno. Secondo il principio di relatività, l'oggetto deve cadere allo stesso modo sia nel caso in cui viene rilasciato nel treno (e l'osservazione fatta anche dal treno) che a terra (e l'osservazione fatta da terra anche): questo è ciò che l'esperienza conferma.

Conclusione

Nei due casi presentati, il principio di relatività si applica in modo diverso: per l'esperimento visto da due diversi sistemi di riferimento, le osservazioni sono diverse ma la stessa legge matematica le descrive entrambe (dove si tiene conto della velocità iniziale, zero o meno) ; per i due esperimenti condotti in due distinti quadri di riferimento, dove le condizioni dell'esperimento sono identiche, le osservazioni sono rigorosamente identiche (a parte le imprecisioni delle misurazioni).

Formulazioni

Nella meccanica classica

Definizione  : un galileiano (o inerziale ) è un deposito in cui tutto il corpo libero (non influenzato dall'esterno) è a riposo rimane indefinitamente, e qualsiasi corpo in movimento libero rimane costante di velocità vettoriale (e quindi anche in tempo angolare costante).

Principio di relatività di Galileo  : tutte le leggi della meccanica sono identiche in tutti i sistemi di riferimento galileiani.

Presupposti sullo spazio fisico  : lo spazio fisico , considerato omogeneo e isotropo , viene identificato con uno spazio affine di dimensione 3, quindi utilizziamo lo spazio vettoriale associato, il tempo (assunto come indipendente dal sistema di riferimento dell'osservatore, quindi ovvio ) parametrizzandolo le traiettorie e gli stati del sistema studiato.

Proprietà  : sia ( ) un sistema di riferimento galileiano, se ( ) è un sistema che si muove per traslazione a velocità costante V rispetto a ( ), allora anche ( ) è galileiano. R{\ displaystyle R}R∗{\ displaystyle R _ {*}}R{\ displaystyle R}R∗{\ displaystyle R _ {*}}

Nota  : si starà attenti al fatto che il contrario della proprietà non è vero, contrariamente a quanto sembrava ovvio a tutti fino a quando Albert Einstein non elaborò il principio di equivalenza .

Commento  : il principio ha due significati (come spiegato nel paragrafo precedente):

- La stessa esperienza, vista da due differenti quadri di riferimento galileiani ( ) e ( ), segue una legge che si esprime nello stesso modo quando è formulata nelle coordinate dell'uno o dell'altro dei quadri di riferimento. R{\ displaystyle R}R∗{\ displaystyle R _ {*}}

- Un esperimento condotto in modo identico in due quadri di riferimento galileiani segue, in ciascuno, la stessa legge e fornisce esattamente le stesse osservazioni.

Ipotesi di cambiamento del quadro di riferimento: le trasformazioni di Galileo .

Se è il vettore di coordinate di un punto in ( ) ed è il vettore di coordinate dello stesso punto in ( ), allora abbiamo:r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}R{\ displaystyle R}r→∗{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {*}}R∗{\ displaystyle R _ {*}}

r→=r→∗+t.V→{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {*} + t. {\ vec {V}}} e  t=t∗{\ displaystyle \ t = t _ {*}} Nota  : questa ipotesi è stata in perfetto accordo con tutti gli esperimenti per così tanto tempo che è stata evidente fino alla formulazione della relatività speciale. Inoltre, implica che non esiste una velocità massima, che era in accordo con le osservazioni sulla velocità infinita (sembrava) della trasmissione dell'influenza gravitazionale .

Viene espresso il principio di relatività di Galileo così come la necessità dell'invarianza delle equazioni del moto rispetto alle trasformazioni di Galileo.

La seconda uguaglianza significa che l'ora è la stessa in entrambi i sistemi di riferimento. La prima uguaglianza è equivalente alla legge della composizione della velocità: (fino a un vettore costante)v→=v→∗+V→⟺dr→dt=dr→∗dt+V→⟺dr→=dr→∗+V→.dt⟺r→=r→∗+V→.t{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {v}} _ {*} + {\ vec {V}} \ Longleftrightarrow {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}}} { \ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}} _ {*}} {\ mathrm {d} t}} + {\ vec {V}} \ Longleftrightarrow \ mathrm {d} {\ vec {r}} = \ mathrm {d} {\ vec {r}} _ {*} + {\ vec {V}}. \ mathrm {d} t \ Longleftrightarrow {\ vec {r }} = {\ vec {r}} _ {*} + {\ vec {V}}. t} Equivale anche all'indipendenza dell'accelerazione (e quindi della forza esercitata sul corpo) rispetto al sistema di riferimento inerziale dell'osservatore: (fino ad un vettore costante)F→=mr→¨{\ displaystyle {\ vec {F}} = m {\ ddot {\ vec {r}}}}r→¨=r→¨∗⟺d2r→dt2=d2r→∗dt2⟺dr→dt=dr→∗dt+V→⟺r→=r→∗+V→.t{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} = {\ ddot {\ vec {r}}} _ {*} \ Longleftrightarrow {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {r }}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {r}} _ {*}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ Longleftrightarrow {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}} _ {*}} {\ mathrm {d} t}} + {\ vec {V}} \ Longleftrightarrow {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {*} + {\ vec {V} } .t} Esempio di shock elastico di corpi a due punti

In un sistema di riferimento inerziale, due corpi a punto libero, avendo quindi una velocità uniforme, entrano in collisione in uno shock elastico (nessuna perdita di energia in calore o altro). Si presume che la massa di ciascun corpo venga conservata durante lo shock.
Fenomeni osservati secondo
il sistema di riferimento scelto: Nel sistema di riferimento inerziale del centro di inerzia  : i due corpi si avvicinano frontalmente sulla stessa retta ed entrambi partono alla stessa velocità di prima dell'ammortizzatore ma in direzione opposta .
Nel quadro di riferimento di uno dei corpi prima dello shock  : il secondo corpo si avvicina al primo (che è immobile) e, dopo lo shock, il primo corpo è animato da un movimento mentre il secondo viene rallentato o riparte nel 'altro modo.
In qualsiasi sistema di riferimento inerziale  : i due corpi, uno e l'altro a velocità costante, si scontrano durante il loro movimento, cambiano direzione e velocità.

Legge generale valido per qualsiasi sistema di riferimento inerziale: secondo la conservazione della quantità di moto , la velocità del centro di inerzia del sistema costituito dalle due masse ed è uguale a ed è costante e invariato prima e dopo lo shock, e le velocità dopo l'urto sono: per massa n ° 1 e per massa n ° 2 Un cambio del quadro di riferimento da ( ) a ( ) imponendo la variazione e , per i = 1; 2, lascia inalterata la legge sopra riportata. Si nota quindi che i fenomeni osservati differiscono da un quadro di riferimento all'altro, ma in tutti la legge verificata dalle velocità misurate è la stessa.m1{\ displaystyle m_ {1}}m2{\ displaystyle m_ {2}}V→io=m1.v→1+m2.v→2m1+m2{\ displaystyle {\ vec {V}} _ {I} = {\ frac {m_ {1}. {\ vec {v}} _ {1} + m_ {2}. {\ vec {v}} _ { 2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}u→1=-v→1+2.V→io{\ displaystyle {\ vec {u}} _ {1} = - {\ vec {v}} _ {1} +2. {\ vec {V}} _ {I}}u→2=-v→2+2.V→io{\ displaystyle {\ vec {u}} _ {2} = - {\ vec {v}} _ {2} +2. {\ vec {V}} _ {I}}

R{\ displaystyle R}R∗{\ displaystyle R _ {*}}v→io∗=v→io-V→{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {i *} = {\ vec {v}} _ {i} - {\ vec {V}}}u→io∗=u→io-V→{\ displaystyle {\ vec {u}} _ {i *} = {\ vec {u}} _ {i} - {\ vec {V}}}

Ovviamente nel caso delle masse non puntiformi e in altri casi più realistici, questa legge è solo un'approssimazione.   Esempio di un corpo, nel vuoto, sottoposto a un campo gravitazionale uniforme

• Nel repository ( ):R∗{\ displaystyle R _ {*}}

La forza è , dove è il vettore unitario della verticale rispetto al suolo; l'equazione della dinamica è , e l'equazione del moto èF→=-mgz→{\ displaystyle {\ vec {F}} = - mg {\ vec {z}}}z→{\ displaystyle {\ vec {z}}}-mgz→=md2r→∗dt2{\ displaystyle -mg {\ vec {z}} = m {\ tfrac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {r}} _ {*}} {\ mathrm {d} t ^ {2} }}}r→∗(t)=-12gt2.z→+v→∗(0).t+r→∗(0) {\ displaystyle {\ vec {r}} _ {*} (t) = - {\ tfrac {1} {2}} gt ^ {2}. {\ vec {z}} + {\ vec {v}} _ {*} (0) .t + {\ vec {r}} _ {*} (0) ~}

• Utilizzo delle trasformazioni di Galileo per ottenere la legge nel quadro di riferimento ( ):R{\ displaystyle R}

Sapendo che abbiamo (il che implica che , che è una piccola restrizione rispetto alla generalità), otteniamo : , quindi, usando l'uguaglianza abbiamo la stessa legge nel quadro di riferimento ( ):r→=r→∗+t.V→{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {*} + t. {\ vec {V}}}r→(0)=r→∗(0){\ displaystyle {\ vec {r}} (0) = {\ vec {r}} _ {*} (0)}r→(t)=-12gt2.z→+(v→∗(0)+V→).t+r→(0){\ displaystyle {\ vec {r}} (t) = - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}. {\ vec {z}} + ({\ vec {v}} _ {* } (0) + {\ vec {V}}). T + {\ vec {r}} (0)}v→(0)=v→∗(0)+V→{\ displaystyle {\ vec {v}} (0) = {\ vec {v}} _ {*} (0) + {\ vec {V}}}R{\ displaystyle R}r→(t)=-12gt2.z→+v→(0).t+r→(0){\ displaystyle {\ vec {r}} (t) = - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}. {\ vec {z}} + {\ vec {v}} (0). t + {\ vec {r}} (0)}

• Certo, possiamo anche usare le espressioni delle e dedotte dalle equazioni differenziali, e mostrare che , o più direttamente dedurre questa uguaglianza dal fatto che  : anzi, da noi otteniamo , quale è la trasformazione di Galileo in tutta la sua generalità, e reciproca la prova non rappresenta un problema.r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}r→∗{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {*}}r→-r→∗=t.V→{\ displaystyle {\ vec {r}} - {\ vec {r}} _ {*} = t. {\ vec {V}}}md2r→dt2=md2r→∗dt2=-mg.z→{\ displaystyle m {\ tfrac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {r}}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = m {\ tfrac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {r}} _ {*}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - mg. {\ Vec {z}}}d2r→dt2=d2r→∗dt2{\ displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {r}}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ tfrac {\ mathrm {d} ^ {2 } {\ vec {r}} _ {*}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}r→(t)=r→∗(t)+t.V→+r→(0)-r→∗(0){\ displaystyle {\ vec {r}} (t) = {\ vec {r}} _ {*} (t) + t. {\ vec {V}} + {\ vec {r}} (0) - {\ vec {r}} _ {*} (0)}

  Esempio di un corpo soggetto al solo attrito dell'aria

Nel sistema di riferimento ( ) la forza è schematizzata da , dove è la velocità (costante) del sistema di riferimento rispetto al sistema di riferimento (inerziale) dove l'aria è stazionaria (ed omogenea, ecc.): Infatti , l'attrito dipende dalla velocità del corpo rispetto all'aria, e non dalla velocità del corpo rispetto al sistema di riferimento ( ). La legge risultante è , dove e sono vettori costanti determinati dalle condizioni iniziali del moto.R∗{\ displaystyle R _ {*}}F→=-K(dr→∗dt-w→∗){\ displaystyle {\ vec {F}} = - k ({\ tfrac {\ mathrm {d} {\ vec {r}} _ {*}} {\ mathrm {d} t}} - {\ vec {w }} _ {*})}w→∗{\ displaystyle {\ vec {w}} _ {*}}R∗{\ displaystyle R _ {*}}
r→∗(t)=a→+b→.e-Km.t+w→∗.t{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {*} (t) = {\ vec {a}} + {\ vec {b}}. e ^ {- {\ frac {k} {m}}. t } + {\ vec {w}} _ {*}. t}a→{\ displaystyle {\ vec {a}}}b→{\ displaystyle {\ vec {b}}}

Questa legge è invariante dalla trasformazione di Galileo, come possiamo facilmente verificare.   Esempio di un'onda monocromatica in un fluido comprimibile

In un fluido comprimibile, immobile nel sistema di riferimento galileiano ( ), la funzione d'onda monocromatica è , con dov'è la velocità di propagazione dell'onda. Per determinare la funzione d'onda nel repository ( ) utilizza la trasformazione Galileo , e ci si ottiene: .R∗{\ displaystyle R _ {*}}ϕ(r→∗,t)=Aexp⁡(io(K→∗.r→∗-ω∗.t)){\ displaystyle \ phi ({\ vec {r}} _ {*}, t) = A \ exp \ left (i \ left ({\ vec {k}} _ {*}. {\ vec {r}} _ {*} - \ omega _ {*}. t \ right) \ right)}|K→∗|=ω∗vs∗{\ displaystyle \ left | {\ vec {k}} _ {*} \ right | = {\ frac {\ omega _ {*}} {c _ {*}}}}vs∗{\ displaystyle c _ {*}}
R{\ displaystyle R}r→=r→∗+t.V→{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {*} + t. {\ vec {V}}}ϕ(r→,t)=Aexp⁡(io(K→∗.r→-(ω∗-K→∗.V→).t)){\ displaystyle \ phi ({\ vec {r}}, t) = A \ exp \ left (i \ left ({\ vec {k}} _ {*}. {\ vec {r}} - \ left ( \ omega _ {*} - {\ vec {k}} _ {*}. {\ vec {V}} \ right) .t \ right) \ right)}

Da dove  :;  ;K→=K→∗{\ displaystyle {\ vec {k}} = {\ vec {k}} _ {*}}ω=ω∗-K→.V→{\ displaystyle \ omega = \ omega _ {*} - {\ vec {k}}. {\ vec {V}}}vs=vs∗-K→|K→|.V→{\ displaystyle c = c _ {*} - {\ frac {\ vec {k}} {\ left | {\ vec {k}} \ right |}}. {\ vec {V}}}   Controesempio: luce

Nella fisica classica, il principio di relatività riguarda solo la meccanica, quindi è escluso dall'applicazione all'elettromagnetismo e alla luce (ma si applica all'ottica geometrica ). Ma le interazioni tra particelle cariche e onde elettromagnetiche rendono necessario studiare simultaneamente questo principio e l'elettromagnetismo.

La luce, se considerata come un'onda (elettromagnetica) che si propaga in un mezzo chiamato etere , deve avere una funzione d'onda (monocromatica) verificando le proprietà viste sopra: la sua velocità non è la stessa in tutti i sistemi di riferimento galileiani, né in tutte le direzioni . Ma le equazioni di Maxwell danno dove si trova la permettività dielettrica del vuoto e la permeabilità magnetica del vuoto sono caratteristiche costanti del vuoto, a priori, indipendentemente dal sistema di riferimento utilizzato. Pertanto è necessaria una scelta: K→|K→|{\ displaystyle {\ frac {\ vec {k}} {\ left | {\ vec {k}} \ right |}}}
 ϵ0.μ0.vs2=1{\ displaystyle \ \ epsilon _ {0}. \ mu _ {0} .c ^ {2} = 1}ϵ0{\ displaystyle \ epsilon _ {0} \,}μ0{\ displaystyle \ mu _ {0} \,}

• O le equazioni di Maxwell sono state calcolate implicitamente in un quadro di riferimento privilegiato: quello in cui il mezzo di propagazione, l' etere , è stazionario. In questo caso la luce controlla le proprietà delle onde viste sopra.
• O le equazioni di Maxwell sono valide in tutti i sistemi di riferimento galileiani e la velocità della luce è la stessa in tutte e in tutte le direzioni. In questo caso, sono necessarie importanti revisioni per quanto riguarda la matematizzazione del principio di relatività.

 

Nella relatività speciale

La definizione di un quadro di riferimento galileiano è la stessa della meccanica classica.

Il principio di relatività vede ampliato il suo campo di applicazione:

Principio di relatività  : tutte le leggi della fisica, eccetto la gravità , sono identiche in tutti i sistemi di riferimento galileiani.

A vi è allegata una premessa secondo l' elettromagnetismo di Maxwell  : "la velocità della luce nel vuoto non dipende dalla velocità della sua sorgente", che può anche esprimere "il valore della velocità della luce nel vuoto è lo stesso in tutti i quadri di riferimento galileiani ”.

Gravitazione: fino alla relatività generale, la legge di gravità universale di Newton e l' avanzamento del perielio di Mercurio non erano compatibili con il postulato sulla velocità della luce e le ipotesi sullo spazio. Nota: la matematica propone, con il solo principio di relatività (in uno spazio affine), di avere una velocità invariata da un sistema di riferimento galileiano a un altro e insuperabile, essendo questa velocità, a piacere, finita o infinita. Le proprietà della velocità della luce, che è finita nella teoria dell'elettromagnetismo, ne consentono l'identificazione con la velocità limite della teoria.

Assunzioni sullo spazio fisico  : si assume che lo spazio fisico sia omogeneo e isotropo e si identifica, per ogni quadro di riferimento galileiano, con uno spazio affine (con l'associato spazio vettoriale) di dimensione 3, e un tempo che parametrizza le traiettorie e il stati del sistema studiato: la misura del tempo è specifica per ogni sistema di riferimento e anche i cambiamenti nei sistemi di riferimento indicano il cambiamento in questa misura. Poiché l'ipotesi della velocità della luce implica che ogni quadro di riferimento galileiano abbia il proprio tempo, lo spazio fisico può anche essere identificato con uno spazio-tempo di quattro dimensioni (tre dello spazio e una del tempo): spazio-tempo di Minkowski .

La proprietà è sempre vera:

Proprietà  : sia ( ) un sistema di riferimento galileiano, abbiamo: se ( ) è un sistema di riferimento che si muove per traslazione a velocità costante V rispetto a ( ), allora anche ( ) è galileiano. R{\ displaystyle R}R∗{\ displaystyle R _ {*}}R{\ displaystyle R}R∗{\ displaystyle R _ {*}}

Nota  : il reciproco della proprietà è implicitamente ammesso. Nella relatività speciale, i sistemi di riferimento studiati sono quelli inerziali e che si presume siano traduzioni a velocità costante l'una rispetto all'altra. La gravitazione non è affrontata da questa teoria.

Commento  : per il principio di relatività, come il commento fatto nel paragrafo precedente sulla meccanica classica. Per il secondo principio: possiamo comprenderne la necessità se consideriamo che la velocità della luce è una misura di due esperienze identiche (emissione luminosa) effettuate in due differenti quadri di riferimento galileiani: la sua misura deve essere la stessa in entrambi (ma ammettere che bisogna essere convinti che l' etere non ha posto in fisica).

Conseguenze  : la velocità della luce nel vuoto è una velocità insuperabile in qualsiasi sistema di riferimento; due eventi simultanei nel repository ( ) potrebbero non essere in ( ); le misurazioni di intervalli di tempo, lunghezze, velocità e accelerazioni cambiano da un quadro di riferimento all'altro; eccetera. R{\ displaystyle R}R∗{\ displaystyle R _ {*}}

 Trasformazioni di Lorentz : queste trasformazioni, deducibili dalle ipotesi, esprimono i cambiamenti nelle misure di intervalli di tempo, lunghezze e velocità da un sistema di riferimento inerziale ad un altro; il principio di relatività, nella relatività speciale, è espresso anche come necessità dell'invarianza delle equazioni della fisica da parte di queste trasformazioni.

Il diagramma di Minkowski consente di visualizzare i diversi effetti della relatività evitando di manipolare troppe formule matematiche.

Trasformazioni di Lorentz e composizione della velocità

Le coordinate e il tempo in ( ) essendo e in ( ) essendo , si presume che la velocità relativa tra i due quadri di riferimento sia nella stessa direzione dell'asse di . R{\ displaystyle \ R}(X; y; z; t){\ displaystyle (x; \ y; \ z; \ t)} R∗{\ displaystyle \ R _ {*}}(X∗; y∗; z∗; t∗){\ displaystyle (x _ {*}; \ y _ {*}; \ z _ {*}; \ t _ {*})} V→=(V;0;0){\ displaystyle \ {\ vec {V}} = (V; 0; 0)} X{\ displaystyle \ x}

Posando , le trasformazioni di Lorentz sono:γ=11-V2vs2{\ displaystyle \ gamma = {1 \ over {\ sqrt {1 - {\ frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}{ΔX=γ(ΔX∗+V.Δt∗)Δy=Δy∗Δz=Δz∗Δt=γ(Δt∗+Vvs2.ΔX∗){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ Delta x = \ gamma (\ Delta x _ {*} + V. \ Delta t _ {*}) \\\ Delta y = \ Delta y _ {* } \\ \ Delta z = \ Delta z _ {*} \\\ Delta t = \ gamma (\ Delta t _ {*} + {\ frac {V} {c ^ {2}}}. \ Delta x _ {*}) \ end {matrix}} \ right.}

Nella cinematica relativistica la legge della composizione della velocità è:

Scrivendo per la velocità misurata nel sistema di riferimento , e per la velocità misurata nel sistema di riferimento , abbiamo:v→=(vX;vy;vz),{\ displaystyle {\ vec {v}} = (v_ {x}; v_ {y}; v_ {z}) \ ,,} R{\ displaystyle \ R}v→∗=(v∗X;v∗y;v∗z),{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {*} = (v _ {* x}; v _ {* y}; v _ {* z}) \ ,,} R∗{\ displaystyle \ R _ {*}} v∗X=vX+V1+vXVvs2.{\ displaystyle v _ {* x} \, = \, {\ frac {v_ {x} + V} {1 + {\ frac {v_ {x} V} {c ^ {2}}}}} \, .} v∗y=1γ.vy1+vXVvs2.{\ displaystyle v _ {* y} \, = \, {\ frac {1} {\ gamma}}. {\ frac {v_ {y}} {1 + {\ frac {v_ {x} V} {c ^ {2}}}}} \,.}   Relatività del tempo e tempo proprio

La costanza della velocità della luce nel vuoto da un sistema di riferimento (inerziale, come sempre qui) ad un altro consente di definire la stessa unità di misura del tempo in tutti i sistemi di riferimento, quando un'unità di misura comune è lunghezze ben definite.

• Quindi, per essere sicuri che due sistemi di riferimento, in moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro, utilizzino la stessa lunghezza unitaria, possiamo considerare una lunghezza perpendicolare alla velocità relativa: la lunghezza di riferimento sarà quindi materialmente comune ad entrambi i benchmark ( come l'altezza di una porta scorrevole tenuta da due binari avvitati uno al pavimento e l'altro al soffitto).
• Con questo meccanismo, che conta come unità di tempo la metà dell'intervallo di tempo impiegato dalla luce per compiere il viaggio di andata e ritorno lungo la lunghezza comune, possiamo considerare di avere semplicemente un orologio identico in ogni repository.
• Nei disegni seguenti, ogni quadro di riferimento vede per sé il fenomeno della sinistra, e del primo vede nell'altro il fenomeno della destra.

Nel disegno a sinistra, il tempo misurato è il tempo proprio  : il tempo misurato tra due eventi, nel quadro di riferimento in cui si verificano nello stesso luogo . Nel disegno a destra, il tempo misurato è improprio  : il tempo misurato tra due eventi in un quadro di riferimento in cui si verificano in due luoghi diversi .

• Nel secondo disegno, il teorema di Pitagora si ottiene dove: .vs2t2=vs2t′2+v2t2,{\ displaystyle c ^ {2} t ^ {2} \, = \, c ^ {2} t '^ {2} + v ^ {2} t ^ {2} \ ,,}t=t′1-v2/vs2>t′{\ displaystyle t = {t '\ over {\ sqrt {1- {v ^ {2} / c ^ {2}}}}}> t'}

Quindi il tempo improprio è maggiore del tempo corretto e quest'ultimo è il tempo minimo misurabile tra due eventi. t{\ displaystyle \ t} t′{\ displaystyle \ t '}

• Ma sembra esserci un paradosso: come può essere che il tempo di ( ) sembri lento se visto da ( ) e viceversa?R∗{\ displaystyle R _ {*}}R{\ displaystyle R}

In effetti non è solo un momento qualsiasi che sembra rallentato, è il momento giusto tra due eventi. Per sapere se il tempo (improprio), separando due eventi situati in luoghi diversi, sembra rallentato o non visto da un altro quadro di riferimento, è necessario progettare un altro esperimento, e la risposta non sarà sempre positiva. La proprietà, vera per il momento giusto, non deve essere eccessivamente generalizzata.

Questa esperienza del passaggio del tempo su un orologio fornisce misurazioni diverse nel sistema di riferimento dell'orologio e in un altro sistema di riferimento inerziale.
Allo stesso modo, la misura di una lunghezza parallela al movimento relativo di due sistemi di riferimento inerziali dà risultati diversi a seconda che la misura venga effettuata in uno o nell'altro dei sistemi di riferimento.

Come esempio sperimentale, possiamo citare particelle elementari (come i muoni ) che hanno una durata di vita molto breve quando sono stazionarie (dopo circa 10-6 secondi, si disintegrano in altre particelle meno rilevabili), ma hanno una durata di vita 10 volte maggiore se osservate a velocità prossime a quella della luce.   Relatività della lunghezza

La misurazione di una lunghezza fornisce risultati diversi a seconda del sistema di riferimento in cui viene eseguita.

Le trasformazioni di Lorentz mostrano questo:

Supponendo che gli assi dei sistemi di riferimento e siano paralleli e che la velocità relativa sia parallela all'asse x, abbiamoR{\ displaystyle \ mathbb {R}}R′{\ displaystyle \ mathbb {R} '}  {vsΔt′=γ(vsΔt-βΔX)ΔX′=γ(ΔX-βvsΔt)Δy′=ΔyΔz′=Δz{\ displaystyle \, ~ \ left \ {{\ begin {matrix} c \ Delta t '= \ gamma \ left (c \ Delta t- \ beta \ Delta x \ right) \\\ Delta x' = \ gamma \ sinistra (\ Delta x- \ beta c \ Delta t \ right) \\\ Delta y '= \ Delta y \\\ Delta z' = \ Delta z \ end {matrix}} \ right. \,} Quindi, se le estremità dell'oggetto sono simultanee in , allora, e nel quadro di riferimento , sono le diverse lunghezze dell'oggetto in tutte e tre le dimensioni. Così e così, il che mostra che la lunghezza misurata è inferiore a quella misurata .R{\ displaystyle \ mathbb {R}}Δt=0,{\ displaystyle \ Delta t = 0 \ ,,}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}ΔX,Δy,Δz,{\ displaystyle \ Delta x \ ,, \ Delta y \ ,, \ Delta z \ ,,}ΔX′=γ.ΔX,{\ displaystyle \ Delta x '= \ gamma. \ Delta x \ ,,}ΔX=1/γ.ΔX′<ΔX′,{\ displaystyle \ Delta x = 1 / \ gamma. \ Delta x '\, <\ Delta x' \ ,,}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R′{\ displaystyle \ mathbb {R} '} Questo non è un paradosso perché a causa della relatività della simultaneità, la misurazione effettuata in non sembra essere eseguita correttamente quando viene osservata da allora .R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R′{\ displaystyle \ mathbb {R} '}   Relatività della simultaneità

Supponiamo che ci siano due osservatori di eventi, ciascuno stazionario nella sua struttura inerziale. Ognuno conosce perfettamente la distanza che lo separa da ogni punto fermo nel quadro di riferimento, quindi quando riceve un'informazione proveniente da uno di essi, conosce il tempo necessario alla trasmissione dell'informazione (che si suppone per andare alla velocità di luce) e può quindi determinare esattamente quando si è verificato questo evento.
Se due eventi distanti accadono simultaneamente nel quadro di riferimento di un osservatore, nel quadro dell'altro, non saranno simultanei.

Infatti, secondo le trasformazioni di Lorentz:

 {vsΔt′=γ(vsΔt-βΔX)ΔX′=γ(ΔX-βvsΔt)Δy′=ΔyΔz′=Δz{\ displaystyle \, ~ \ left \ {{\ begin {matrix} c \ Delta t '= \ gamma \ left (c \ Delta t- \ beta \ Delta x \ right) \\\ Delta x' = \ gamma \ sinistra (\ Delta x- \ beta c \ Delta t \ right) \\\ Delta y '= \ Delta y \\\ Delta z' = \ Delta z \ end {matrix}} \ right. \,} Quindi, se allora non c'è quindi simultaneità nell'altro quadro di riferimento. Possiamo dire che la simultaneità è relativa al sistema di riferimento dell'osservatore.Δt=0,{\ displaystyle \ Delta t = 0 \ ,,}vsΔt′=-γβΔX≠0:{\ displaystyle c \ Delta t '= - \ gamma \ beta \ Delta x \ neq 0 \,:}   L'invariante della relatività ristretta

Nella meccanica non relativistica, il tempo e le lunghezze sono invarianti per cambiamento dei sistemi di riferimento inerziali (e anche non inerziali); questo non è più il caso della relatività speciale. Tuttavia, una "misura", che mescola lunghezza spaziale e tempo, è invariante per cambiamento del quadro di riferimento: è chiamata metrica e fornisce allo spazio-tempo una nozione di distanza tra due eventi.
Questo invariante è , dove e sono rispettivamente le differenze temporali e spaziali tra due eventi, misurate in qualsiasi quadro di riferimento ed è il momento proprio che separa i due eventi. ΔS2=vs2Δt2-(ΔX2+Δy2+Δz2)=vs2Δt2-Δl2{\ displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ left (\ Delta x ^ {2} + \ Delta y ^ {2} + \ Delta z ^ {2} \ right) = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} \,}Δt{\ displaystyle \ Delta t \,}Δl{\ displaystyle \ Delta l \,}Δτ{\ displaystyle \ Delta \ tau \,}

Se i due eventi possono essere legati da un nesso di causalità, abbiamo dove è il momento giusto li separa. Si giustifica facilmente con la formula che collega tempo proprio e tempo improprio, dimostrato nel paragrafo relativo alla relatività del tempo , che questa espressione di ha lo stesso valore indipendentemente dal quadro di riferimento in cui sono state effettuate le misurazioni: è sufficiente passare da notazione e scrivi al posto di , poi al posto di e infine definisci da , perché è la distanza che separa i due eventi nel sistema di riferimento inerziale non proprio (e arbitrario).ΔS2=vs2Δτ2 ,{\ displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta \ tau ^ {2} \, ~,}Δτ{\ displaystyle \ Delta \ tau}ΔS2{\ displaystyle \, \ Delta s ^ {2} \,}Δτ{\ displaystyle \ Delta \ tau \,} t′{\ displaystyle \ t '\,}Δt{\ displaystyle \, \ Delta t \,}t{\ displaystyle \, t \,}Δl{\ displaystyle \ Delta l \,}v.t{\ displaystyle \, vt \,}

Questo invariante qui definito è talvolta definito da , vale a dire con i segni opposti a quelli qui presentati: la firma è qui (+, -, -, -), ea volte preferiamo la firma (-, +, +, + ), e in questo caso . ΔS2{\ displaystyle \, \ Delta s ^ {2} \,}ΔS2=-vs2Δτ2=-vs2Δt2+ΔX2+Δy2+Δz2{\ displaystyle \, \ Delta s ^ {2} = - \, c ^ {2} \ Delta \ tau ^ {2} \, = - \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} + \ Delta x ^ {2} + \ Delta y ^ {2} + \ Delta z ^ {2}}ΔS2=-vs2Δτ2{\ displaystyle \, \ Delta s ^ {2} = - \, c ^ {2} \ Delta \ tau ^ {2} \,}

Quindi, in un quadro di riferimento, due eventi sono distanti da una distanza e separati da un tempo  : queste misurazioni sono diverse da un quadro di riferimento all'altro, ma per tutti i quadri di riferimento è verificata l' uguaglianza . Δl{\ displaystyle \ Delta l \,}Δt{\ displaystyle \, \ Delta t \,}vs2Δτ2=vs2Δt2-Δl2{\ displaystyle \, c ^ {2} \ Delta \ tau ^ {2} \, = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} \,}

Mostriamo mediante calcolo che questa metrica è effettivamente invariante dall'applicazione delle trasformate di Lorentz, e che le trasformazioni affini che lasciano l'invariante metrica formano il gruppo di Poincaré , comprese le trasformazioni di Lorentz.  

Nella relatività generale

Controllare il principio di covarianza generale e modellare bene la gravità sono le ragioni principali di questa teoria.

Principio di relatività o covarianza generale  : le leggi della fisica sono identiche in tutti i sistemi di riferimento, inerziali o meno.

Definizione  : Un sistema di riferimento inerziale è un sistema in cui qualsiasi corpo libero (non influenzato dall'esterno) che è a riposo rimane lì indefinitamente, e qualsiasi corpo libero in movimento rimane a velocità costante (e quindi anche a momento angolare costante). A causa degli altri vincoli indicati di seguito, tale repository può essere definito solo localmente e temporaneamente.

Commento  :

Qui, il principio significa che un esperimento verifica una legge che è espressa nello stesso modo (stessa formula) per tutti i quadri di riferimento (galileiani e non) dei diversi osservatori. Nei sistemi di riferimento galileiani, osserviamo sempre esattamente gli stessi risultati per esperimenti identici; e più in generale, in due sistemi di riferimento soggetti esattamente allo stesso campo gravitazionale e aventi un'esperienza identica in ciascuno, la legge dell'esperienza sarà rigorosamente la stessa nei due sistemi di riferimento, le osservazioni dell'esperimento e anche le misurazioni. In quadri di riferimento con differenti vincoli gravitazionali, le misure di un esperimento saranno influenzate dal campo gravitazionale di ogni quadro, secondo la stessa legge.

Principio di equivalenza  : la gravitazione è localmente equivalente ad un'accelerazione del sistema di riferimento, qualsiasi sistema in caduta libera in un campo gravitazionale è un sistema di riferimento inerziale dove le leggi fisiche sono quelle della relatività speciale.

Nota  : partendo dall'ipotesi che debba esserci continuità di proprietà con la relatività speciale, un esperimento mentale fatto da Einstein gli fece capire che in un sistema di riferimento accelerato le misure delle lunghezze non sono compatibili con una geometria euclidea, cioè con una spazio piatto.

Struttura matematica utilizzata  : varietà Riemanniana di dimensione 4 (una “superficie di dimensione 4” deformata, con una metrica definita localmente), le leggi essendo scritte con uguaglianza tensoriale per assicurarne la validità in qualsiasi punto della varietà e per qualsiasi sistema di riferimento.

Proprietà  :

• Dove lo spazio è curvo (curvatura principale diversa da zero), gli unici sistemi di riferimento inerziali sono i fotogrammi in caduta libera nel campo gravitazionale, e sono inerziali solo su un arco spazio-tempo localmente piatto (che non è mai più di un'approssimazione). In tale misura, si applica la relatività speciale e qualsiasi quadro di riferimento tradotto dal quadro di riferimento inerziale è esso stesso inerziale (con limitazioni simili).
• Dove lo spazio è curvo, la nozione di traslazione è sostituita dallo spostamento lungo una geodetica . Ma la nozione di distanza è solo locale nella relatività generale (al di fuori del quadro locale, due punti distinti possono essere uniti da due geodetiche di diversa lunghezza ), ed è difficile voler conoscere l'evoluzione nel tempo (legata a un quadro di riferimento ) della distanza tra due sistemi di riferimento inerziali uniti da una geodetica  : a priori, la variazione di tale distanza non è proporzionale al tempo trascorso.
• Dove lo spazio è piatto (pseudo-euclideo), che a priori non è mai perfettamente realizzato, si applica la teoria della relatività speciale, ma possiamo scegliere un quadro di riferimento accelerato e quindi avere tutte le manifestazioni locali di un campo gravitazionale.

Conseguenze  : la gravitazione è la manifestazione della deformazione dello spazio-tempo, deformazione reale se è dovuta all'energia di un corpo, apparente se è dovuta alla scelta di un sistema di riferimento accelerato, senza che un osservatore non possa distinguere questi due casi da dati locali; le traiettorie seguite dalle particelle nel campo gravitazionale sono geodetiche ; le leggi della relatività speciale, sempre vere in sistemi di riferimento inerziali, possono essere generalizzate a tutti i sistemi di riferimento essendo espresse con uguaglianze tensoriali e utilizzando il principio di adeguata corrispondenza .

Nella fisica quantistica

Il principio di relatività non è un principio esplicito della fisica quantistica, ma l'intera costruzione di questa teoria lo usa, più o meno implicitamente.

Pertanto, l'equazione di Schrödinger è costruita dall'equivalenza dei principi di minima azione e Fermat (per la fisica non relativistica), quindi rispetta il principio di relatività nel quadro non relativistico.

Le equazioni di Klein-Gordon e Dirac sono state costruite da equazioni di relatività speciale, e quindi rispettano il principio di relatività nel quadro relativistico (vedi Meccanica quantistica relativistica ).

Nella fisica quantistica, le simmetrie e le invarianze delle equazioni scritte utilizzando le nozioni di gruppo di Lie e algebra di Lie , il principio di relatività (invarianza rispetto a certe trasformazioni dello spazio-tempo) è espresso dall'invarianza delle equazioni dal Gruppo di Poincaré che è un gruppo di Lie.

Storico

Diverse tappe importanti segnano la storia di questo principio:

La sua scoperta da parte di Galileo

Nel 1543 viene pubblicata l'opera di Nicolas Copernicus , De revolutionibus orbium coelestium , che fonda l' eliocentrismo . La sua influenza è inizialmente piuttosto limitata. Infatti, la prefazione, scritta da Andreas Osiander , presenta il punto di vista di Copernico come un dispositivo matematico volto a migliorare i metodi di calcolo delle tavole astronomiche. Le cose stanno cambiando rapidamente nei primi anni del XVII °  secolo, con Keplero , che, nel 1609 , esprime le sue prime leggi sul moto planetario, e Galileo , convinti dal 1610 il movimento della terra intorno al sole. Le concezioni di quest'ultimo si contrappongono ai dogmi sia religiosi che filosofici, che fanno della Terra il centro fisso del mondo, il luogo privilegiato della rivelazione divina.

Sulla base delle osservazioni, Galileo si oppone ai sostenitori di Aristotele , per i quali ogni movimento della Terra è impossibile. Infatti, secondo la fisica di Aristotele, se la Terra si muovesse, un oggetto lanciato verticalmente in aria non ricadrebbe nel luogo da cui è stato lanciato, gli uccelli verrebbero trascinati verso ovest, ecc. Galileo sviluppò quindi un discorso volto a confutare le argomentazioni degli aristotelici. Stabilisce i principi che fonderanno la relatività galileiana . Diversi passaggi della sua opera Dialogo su due grandi sistemi mondiali , pubblicata nel 1632 , sono dedicati a questa confutazione. Quindi, secondo Galileo, il movimento esiste solo in relazione agli oggetti considerati immobili, solo in modo comparativo: “Il movimento è movimento e agisce come movimento in quanto è in relazione a cose che ne sono prive; ma per tutte le cose che ne partecipano anche, non agisce, è come se non lo fosse ” .

Inoltre, i risultati di un esperimento non cambiano, sia che si svolga a terra o nella cabina di una barca che naviga senza intoppi o si lancia.

Estratto da "Dialogo sui due grandi sistemi del mondo"

“Chiuditi con un amico nella cabina più grande sotto il ponte di una grande nave e porta con te mosche, farfalle e altri animaletti volanti; procurati anche un grande contenitore pieno d'acqua con piccoli pesci; appendere anche un piccolo secchio con acqua gocciolante goccia a goccia in un altro vaso con una piccola apertura posta sotto. Quando la nave è ferma, osserva attentamente come le bestie volanti vanno alla stessa velocità in tutte le direzioni della cabina, vediamo i pesci che nuotano indifferentemente su tutti i lati, le gocce che cadono entrano tutte nel vaso posto sotto; se lanci qualcosa al tuo amico, non hai bisogno di lanciare più forte in una direzione che in un'altra quando le distanze sono uguali; se salti con entrambi i piedi, come si suol dire, attraverserai spazi uguali in tutte le direzioni. Dopo aver osservato attentamente ciò, sebbene non vi siano dubbi che dovrebbe essere così quando la nave è ferma, fate andare la nave alla velocità che desiderate; fintanto che il movimento è uniforme, senza oscillare in una direzione o nell'altra, non noterai il minimo cambiamento in tutti gli effetti appena citati; nessuno ti permetterà di capire se la nave è in movimento o ferma: saltando, percorrerai le stesse distanze sul pavimento di prima, e non è perché la nave andrà molto veloce che farai salti più grandi verso poppa che verso prua; tuttavia, durante il tempo in cui sei in aria, il pavimento sotto di te corre nella direzione opposta al tuo salto; se lanci qualcosa al tuo amico, non avrai bisogno di più forza per riceverlo, sia a prua che a poppa, eppure, mentre la goccia è nell'aria, la nave avanza di parecchie pinne; i pesci nella loro acqua non si stancheranno più di nuotare in avanti che verso il retro del loro contenitore, è con la stessa facilità che andranno verso il cibo che avrete disposto dove vorrete sul bordo del contenitore; infine, farfalle e mosche continueranno a volare indifferenti in tutte le direzioni, non le vedrete mai rifugiarsi verso il muro sul lato di poppa come se fossero stanche di seguire la rapida rotta della nave dalla quale si saranno separate per un molto tempo, poiché rimangono nell'aria; brucia un granello d'incenso, ci sarà un po 'di fumo che vedrai salire fino in cima e rimanere lì, come una piccola nuvola, senza che vada da una parte piuttosto che dall'altra. "

- Galileo

 

Nel linguaggio moderno, il movimento uniforme (inerziale) dell'esperienza + blocco osservatore non ha alcun effetto sull'esperienza osservata. Quindi, anche se la Terra si muove, la pietra lanciata verticalmente ricade ai piedi del lanciatore e gli uccelli normalmente volano in tutte le direzioni. Questo punto di vista costituisce una rivoluzione nelle progettazioni meccaniche dell'epoca. Secondo la fisica allora comunemente insegnata da Aristotele , il movimento e il riposo sono due stati diversi e il movimento richiede un motore. Secondo Galileo, movimento e riposo sono lo stesso stato, diversi l'uno dall'altro per un semplice cambio di quadro di riferimento. Questo design è alla base del principio di inerzia . Galileo rileva così che “i corpi gravi sono indifferenti al movimento orizzontale, per il quale non hanno né inclinazione (perché non è diretto verso il centro della Terra), né ripugnanza (perché non si allontana dallo stesso centro): a causa di la quale, e una volta rimossi tutti gli ostacoli esterni, una tomba posta su una superficie sferica e concentrica con la Terra sarà indifferente al riposo quanto al movimento in qualsiasi direzione, e rimarrà nello stato in cui sarà stata collocata " . Segnaliamo anche che Galileo, avendo confutato gli argomenti aristotelici contro il movimento della Terra, cercherà quale fenomeno osservabile possa spiegare questo movimento. Penserà di trovarlo, erroneamente, in una spiegazione delle maree . Ci vorranno più di due secoli per immaginare esperimenti meccanici che mostrino il movimento della Terra in relazione a un quadro di riferimento galileiano .

A seguito di Galileo, uno dei primi utilizzi di un referenziale fittizio (non rappresentato nell'esperimento da alcun corpo) può essere attribuito a Christiaan Huygens , nella sua opera Motu corporum ex percussione . Avendo preso coscienza nel 1652 degli errori di Descartes sulle leggi degli urti, concepì un punto di riferimento mobile in relazione al quale si svolge un esperimento. Cercando quali sono le velocità di due corpi identici dopo una scossa, mentre inizialmente il primo corpo si muove a velocità V e il secondo a velocità V 'rispetto al suolo, immagina un osservatore che si muove a velocità (V + V') ​​/ 2 . Questo osservatore vede i due corpi avvicinarsi alla velocità (V-V ') / 2, scontrarsi e, essendo della stessa massa, allontanarsi con la stessa velocità. Tornando al quadro di riferimento terrestre , Huygens conclude che dopo lo shock i due corpi si sono scambiati di velocità.

Va notato che l'additività delle velocità, usata da Huygens e da tutti i suoi successori durante un cambio di quadro di riferimento, non deriva dal principio di relatività di Galileo. Questa regola di additività sarà messa in discussione da Einstein , durante l'invenzione della relatività ristretta .

L'assoluto e relativo al XVII ° e XVIII °  secolo

Isaac Newton , un assiduo lettore di Cartesio e Galileo , estende le sue osservazioni quantitative e amplifica la matematizzazione della fisica, e pone la legge di inerzia come la sua prima legge della fisica, definendo la nozione di forza di passaggio .

Questa legge di inerzia (in assenza di forza applicata al corpo, la sua accelerazione è nulla) è valida solo in alcuni sistemi di riferimento (chiamati oggi riferimenti galileiani ), e Newton introducendo i termini “assoluto” e “relativo” per qualificare i movimenti (che per lui assumono il significato di "vero" e "apparente"), privilegia un particolare riferimento galileiano, lo "spazio assoluto", che è il punto di riferimento corretto dove si determina il "movimento assoluto" del corpo (e dove non c'è forza centrifuga o altra forza attribuibile alla scelta del quadro di riferimento). Gli altri punti di riferimento galileiani considerati come spazi relativi privilegiati rispetto a quelli non galileiani .

Per giustificare allo stesso tempo la gravità e la propagazione della luce Huygens si opponeva all'idea dell'esistenza di uno spazio assoluto, e Leibniz anche per ragioni filosofiche. In una lettera a Samuel Clarke , l'assistente di Newton, Leibniz tenta di dimostrare che la nozione di spazio assoluto è incompatibile con il suo principio di ragione sufficiente .

Queste considerazioni rimarranno ammesse fino a quando Einstein, essendo l'osservatore in grado di rilevare sempre (sembrava) se si trova o meno in un quadro di riferimento galileiano (sperimentando la legge di inerzia) e di eseguire matematicamente il cambio di quadro necessario, anche se lo "spazio assoluto" rimarrà sempre difficile da determinare, come già si rammaricava Newton.

Estratto dalla terza lettera di Leibniz a Clarke del 25 febbraio 1716

"Per confutare l'idea di chi prende lo Spazio per una sostanza, o almeno per qualche essere assoluto, ho diverse dimostrazioni, ma voglio solo usare ora solo quella che mi è stata data qui.

Quindi dico che se lo Spazio fosse un essere assoluto, accadrebbe qualcosa per cui sarebbe impossibile che ci fosse una ragione sufficiente, il che è contro il nostro assioma. Ecco come lo provo.

Lo spazio è qualcosa di assolutamente uniforme e, in assenza di cose collocate lì, un punto nello spazio non è assolutamente diverso da un altro punto nello spazio.

Ora, ne consegue, supponendo che lo spazio sia qualcosa di per sé indipendente dall'ordine dei corpi tra di loro, che sia impossibile che esista una ragione per cui Dio, mantenendo le stesse situazioni dei corpi tra di loro, ha posto così i corpi nello spazio e non altrimenti; e per cui tutto non è stato invertito (ad esempio) scambiando la destra e la sinistra.

Ma se lo Spazio non è altro che questo ordine o relazione, e non è niente senza corpi, se non è la possibilità di inserirli; questi due stati, uno così com'è, l'altro presumibilmente all'indietro, non differirebbero in alcun modo l'uno dall'altro. La loro differenza può essere trovata solo nella nostra ipotesi chimerica: la realtà dello spazio in sé.

Ma in realtà, uno sarà esattamente uguale all'altro, poiché sono assolutamente indistinguibili. E quindi non c'è bisogno di chiedere il motivo della preferenza dell'uno sull'altro. "  

La maggiore influenza del Newton e la nozione di spazio assoluto fatto che nel corso del XVIII °  secolo, lo sviluppo della meccanica ha portato le conseguenze matematiche di analisi del movimento dinamico, piuttosto che sullo studio del movimento di punti di riferimento o di modifiche di schemi di riferimento. Clairaut si avvicinò certamente a quest'ultima questione nel 1742, con l'introduzione di forze motrici inerziali, ma in modo imperfetto. La soluzione completa alla questione del cambio di quadri di riferimento fu fornita da Coriolis a partire dal 1832. Nel 1833 Ferdinand Reich dimostrò la deviazione ad est di un corpo in caduta libera, derivante dal fatto che un quadro di riferimento legato al La Terra non è inerziale. Le forze d'inerzia della pulsione e di Coriolis permisero anche di spiegare l'esperimento del pendolo di Foucault , effettuato nel 1851.

Il suo uso come principio da parte di Einstein nella relatività ristretta

Spetta a Poincaré aver profanato la scelta di Newton nel suo libro Science and the Hypothesis (1902): rifiuta lo "spazio assoluto" di Newton dimostrando che non è in alcun modo necessario per la fisica, e osserva persino che la nozione di cornice galileiana di riferimento e di moto rettilineo uniforme sono definiti in relazione tra loro e che la nozione di linea retta non è una realtà ma un'interpretazione completamente matematica delle esperienze. Così afferma la relatività di Galileo come un principio derivante dall'esperienza ma interpretandola.

Einstein , lettore di Poincaré, cerca di conciliare il principio di relatività di Galileo (formulato: le leggi sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento galileiani ) e il fatto che la velocità della luce è la stessa in tutti i sistemi di riferimento galileiani (cioè un risultato di La teoria dell'elettromagnetismo di Maxwell , fino ad allora interpretata in modo molto diverso con lo "spazio assoluto" e l' etere di Newton ). La sua conclusione è la relatività speciale , pubblicata nel 1905.

L'ex professore di matematica di Einstein, Hermann Minkowski , reinterpreterà questa teoria nel quadro di uno spazio piatto quadridimensionale avente una particolare misura delle distanze e dove si applica il principio di relatività di Galileo: lo spazio-tempo di Minkowski .

La sua generalizzazione di Einstein per la relatività generale

Preoccupato per la coerenza intellettuale, Einstein non concepisce che la scienza privilegi quadri di riferimento rispetto ad altri: le leggi della fisica cambierebbero per lo stesso esperimento a seconda che sia osservato da un quadro di riferimento galileiano o da un quadro non standard? Cerca quindi una teoria che generalizzi il principio di Galileo a tutti i sistemi di riferimento, e anche una legge di gravitazione compatibile, un altro obiettivo importante.

Con la scoperta del principio di equivalenza , la gravitazione diventa (localmente) un effetto equivalente alla scelta di un sistema di riferimento accelerato: sarà quindi sufficiente la generalizzazione del principio di relatività, sotto forma di equazioni differenziali.

Immaginando un disco che ruota attorno al suo centro, capisce che, secondo la relatività ristretta, una persona posta sul disco e ruotando con esso vedrebbe invariato il raggio del disco ma misurerebbe un perimetro maggiore di  : questo non corrisponde alla geometria Euclideo. La soluzione del suo problema doveva quindi passare attraverso la geometria differenziale (che include geometrie euclidee e non euclidee) e il calcolo tensoriale che ne consegue e che, fortunatamente, il suo amico Marcel Grossmann aveva studiato nell'ambito del suo dottorato. R{\ displaystyle R}2πR{\ displaystyle 2 \ pi R}

Il calcolo tensoriale è lo strumento che permette di stabilire vere uguaglianze qualunque sia il sistema di riferimento utilizzato. Il principio di relatività così generalizzato porta anche il nome di "principio di covarianza generale".

Dopo tentativi, errori ed esitazioni di fronte a questo strumento matematico piuttosto pesante, Einstein terminò la sua teoria della relatività generale nel 1915.

Note e riferimenti

Appunti

1. ed esprime il carattere assoluto del tempo nella fisica classica.
2. Questa uguaglianza era considerata ovvia a causa della geometria euclidea, fino al lavoro di Lorentz , Henri Poincaré e Albert Einstein
3. tempo, le lunghezze, le velocità (a parte la velocità della luce) e le accelerazioni sono relative al sistema di riferimento (presumibilmente inerziale) dell'osservatore che sta misurando.

Riferimenti

1. Lev Landau e Evgueni Lifchits , Theoretical Physics , t.  2: Teoria dei campi [ dettaglio delle edizioni ], §1.
2. Lev Landau e Evgueni Lifchits , Theoretical Physics , t.  2: Teoria dei campi [ dettaglio delle edizioni ], §82.
3. Teoria della relatività e diffusione di Albert Einstein , Gaultier-Villards, 1921, tradotta da M. Miss J. Rouviere, prefazione di Émile Borel  ; capitolo XVIII .
4. Jean-Claude Boudenot; Elettromagnetismo relativistico e gravitazione , ellisse (1989), ( ISBN  2729889361 ) , capitolo II , §3.
5. Galileo, Dialogo supra i due massimi sistemi del Mondo , 1632, ripubblicato da Edizione nazionale sotto gli auspicii di sua maesta il re d'Italia. Volo. VII, p.  142 . Edizione francese: Dialogo sui due grandi sistemi del mondo, Seuil (1992), p.  141 , traduzione di René Fréreux con l'assistenza di François de Gandt
6. Galileo, Dialogo supra i due massimi sistemi del Mondo , 1632, ripubblicato da Edizione nazionale sotto gli auspicii di sua maesta il re d'Italia. Volo. VII, p.213. Edizione francese: Dialogo sui due grandi sistemi del mondo, Seuil (1992), p.204, traduzione di René Fréreux con l'assistenza di François de Gandt
7. Maurice Clavelin, Galileo Copernicien , Albin Michel (2004), Seconda lettera di Galileo a Marcus Welser sulle macchie solari, 14 agosto 1612, p.  265-266 , o Opere complete di Galileo , V , p.  134
8. Possiamo vedere in questo ragionamento un residuo dell'influenza della dottrina aristotelica , come suggerisce F. Balibar nel suo libro Galileo, Newton letto da Einstein
9. De motu corporum ex percussione , Opere complete di Christian Huygens, Società olandese delle scienze (1929), Volume XVI, p.  30
10. Anna Chiappinelli, "La Relatività di Huygens", in "Attrazione Fisica", Sidereus Nuncius, 2009, p.  69-79 .
11. Albert Einstein , Il significato della relatività: quattro conferenze tenute alla Princeton University, maggio 1921 , Princeton: Princeton University Press,1923( leggi in linea ) , p.  66

Appendici

Bibliografia

• Françoise Balibar, Galilée , Newton letto da Einstein , PUF , 1984
• Albert Einstein, The Theory of Special e generalizzato Relatività , Gaulthier-Villards 1921, traduzione di M lle J. Rouvière e prefazione di M. Émile Borel .
• Banesh Hoffmann (con la collaborazione di Helen Dukas), Albert Einstein, creatore e ribelle , 1975, Éditions du Seuil, coll. Punti Scienze, trad. dall'americano di Maurice Manly. ( ISBN  2-02-005347-0 )
• Lev Landau e Evgueni Lifchits , Theoretical Physics [ dettaglio delle edizioni ]
• James H. Smith, Introduzione alla relatività , 1965; per la Francia: editore di Masson, traduzione dall'americano di Philippe Brenier nel 1997, prefazione di Jean-Marc Lévy-Leblond . ( ISBN  2-225-82985-3 )

Articoli Correlati

• Velocità relativa
• Relatività di scala

link esterno

• Poincaré e il principio di relatività di Michel Paty, 1994
• Un video pratico sulla teoria della relatività
• Videoconferenza sul tema "Relatività generale" (intervento di Thibault Damour )
• Storia di una teoria: relatività