Poliedro regolare

Un poliedro si dice regolare se è composto da tutte le facce identiche e regolari e se tutti i suoi vertici sono identici (se c'è lo stesso numero di spigoli che convergono in ogni vertice).

Ci sono cinque poliedri convessi regolari , conosciuti come solidi platonici .

Ci sono quattro poliedri regolari non convessi, noti come solidi di Kepler-Poinsot .

Solidi platonici

Sembra che lo stesso Pitagora ( 530 a.C. circa ) o il pitagorico Archita di Taranto ( 360 a.C. circa ), abbiano scoperto i primi tre dei cinque: il tetraedro (la piramide), l'esaedro (il cubo), il dodecaedro. Poi, Teeteto di Atene (morto nel 395 o 369 aC ) scoprì gli altri due: l'ottaedro e l'icosaedro. Platone li usa profondamente nel Timeo (54c - 56c), che risale al 358 a.C. dC Euclide li studia nei suoi Elementi (c. 300 aC)

Il tetraedro regolare (piramide)

Il tetraedro regolare (di tetra , quattro, ed èdre , base), poliedro con 4 facce triangolari,

consiste di 4 facce in un triangolo equilatero,
ha 4 vertici e 6 spigoli.

L'esaedro regolare (cubo)

L'esaedro (da hexa , sei, ed èdre , base)

composto da 6 facce quadrate,
ha 8 vertici e 12 spigoli,
ha 24 triangoli rettangoli isosceli .

L'ottaedro regolare

L'ottaedro (da octa , otto e èdre , base)

consiste di 8 facce in un triangolo equilatero,
ha 6 vertici e 12 spigoli,
ha 48 triangoli rettangoli scaleni.

Il dodecaedro regolare

Il dodecaedro (da dodecah , dodici e edron , base)

composto da 12 facce pentagonali uguali,
ha 20 vertici e 30 spigoli.

L'icosaedro

L'icosaedro (da icosa , venti, ed èdre , base)

consiste di 20 facce in un triangolo equilatero ,
ha 12 vertici e 30 spigoli,
ha 120 triangoli rettangoli scaleni.

I centri delle facce di un solido platonico sono i vertici di un solido platonico. Questa corrispondenza è interna ai tetraedri; scambia cubi e ottaedri da un lato, dodecaedri e icosaedri dall'altro.

Platone considerava questi solidi come l'immagine della perfezione; per lui, come spiega nel Timeo , il tetraedro è il simbolo del fuoco, l'ottaedro quello dell'aria, l'icosaedro quello dell'acqua, il cubo quello della terra e il dodecaedro quello dell'intero universo.

Due articoli di Cauchy nel Journal de l' École polytechnique trattano dei poliedri regolari.

La matematica classica mette in relazione questi cinque solidi regolari con la nozione di gruppo .

Dimostrazione

Mostreremo che possono esistere solo i cinque poliedri convessi regolari di Platone; questa dimostrazione è equivalente a quella di Euclide.

Termini & Condizioni

Sia $m$ il numero di spigoli di una faccia, $n$ il numero di facce che si incontrano in un vertice del poliedro ({ m , n } è il simbolo Schläfli del poliedro). Lo sappiamo :

$m$ e $n$ sono numeri naturali;
$m \geq 3$ , perché un poligono, che è una figura bidimensionale, ha almeno tre spigoli;
$n \geq 3$ , perché un vertice in un poliedro, figura in tre dimensioni, non può unire meno di tre facce;
l'angolo di un poligono $m$ regolare è uguale a gradi: 60 gradi per un triangolo equilatero, 90 per un quadrato, 108 per un pentagono regolare, 120 per un esagono regolare, ecc. ; ${\ displaystyle {\ frac {180 (m-2)} {m}}}$
la somma $s$ degli angoli ad un vertice è strettamente minore di 360 gradi, altrimenti le facce sono complanari ( $s$ = 360 gradi) o si sovrappongono ( $s$ > 360 gradi).

Equazione

Si tratta quindi di trovare tutte le soluzioni del seguente sistema:

{\ begin {casi} m, n \ in {\ mathbb N} \\ m, n \ geq 3 \\ s (m, n) = {\ frac {180n (m-2)} {m}} <360 \ fine {casi}}

Soluzioni

Se m = 3 (facce triangolari), i valori adatti sono:
- $n = 3$ , perché $s (3,3) = 180 <360$ : è il tetraedro
- $n = 4$ , perché $s (3,4) = 240 <360$ : è l'ottaedro
- $n = 5$ , perché $s (3,5) = 300 <360$ : è l'icosaedro
- Se $n \geq 6$ , allora il risultato è troppo grande: $s (3,6) = 360$ . Sono infatti sei i triangoli equilateri che hanno un vertice comune, formando così un esagono piatto regolare.

Se m = 4 (facce quadrate), l'unica soluzione è:
- $n = 3$ , perché $s (4,3) = 270 <360$ : è il cubo
- Se $n \geq 4$ , allora il risultato è troppo grande: $s (4,4) = 360$ . Ci sono infatti quattro quadrati che hanno un vertice comune, formando così un quadrato piatto.

Se m = 5 (facce pentagonali):
- $n = 3$ , perché $s (5,3) = 324 <360$ : è il dodecaedro.
- Se $n \geq 4$ , allora il risultato è troppo grande: $s (5,4) = 432> 360$ .

Se $m \geq 6$ , non c'è più soluzione: $s (6,3) = 360$ e se $m \geq 6$ allora $s ( m , n ) => 360$ per ogni $n \geq 3$ .

dualità

Questo metodo permette anche di identificare poliedri duali , perché basta invertire $m$ ed $n$ per ottenere il duale di un poliedro:

il duale del tetraedro {3,3} è il tetraedro {3,3} stesso;
il duale dell'ottaedro {3,4} è il cubo {4.3};
il duale dell'icosaedro {3,5} è il dodecaedro {5,3}.

Vediamo anche che il tetraedro è l'unico autoduo, perché, posto $m = n$ , l'unica soluzione intera dell'equazione

s (n, n) = {\ frac {180n (n-2)} {n}} = 180 (n-2) <360

è $n = 3$ , poiché $s (3,3) = 180 <360$ ; mentre con $n = 4$ , il risultato è troppo grande: $s (4,4) = 360$ .

Poliedri di Keplero-Poinsot

Oltre ai cinque solidi platonici, possiamo costruire altri quattro solidi regolari, due le cui facce sono poligoni regolari stellati (o incrociati): i solidi di Keplero , e due aventi facce regolari, ma che possono compenetrarsi: i solidi di Poinsot .

La piccola stella dodecaedro fu scoperta da Keplero ventidue secoli dopo Platone, nel 1619 . Ha 12 facce che sono pentagoni stellari, 12 vertici e 30 spigoli. Ad ogni vertice si incontrano cinque facce. Questo piccolo dodecaedro stellato può essere visto in un mosaico di Paolo Uccello , nella Basilica di San Marco a Venezia , realizzato approssimativamente nel 1430 (quasi 200 anni prima della sua descrizione matematica).
Il grande dodecaedro stellare , scoperto da Keplero, formato dagli stessi 12 pentagoni stellari, che ha 20 vertici e anche 30 spigoli.
Il grande dodecaedro scoperto da Poinsot nel 1809 . Le sue 12 facce sono pentagoni regolari, ha 12 vertici e 30 spigoli. Più di 200 anni prima, nel suo Perspectiva corporum regularium , un libro xilografico pubblicato nel 1568, Wenzel Jamnitzer dipinse il grande dodecaedro.
Il grande icosaedro , scoperto da Poinsot, formato da 20 triangoli equilateri, e che ha 12 vertici e anche 30 spigoli.

piccolo dodecaedro stellato {5/2, 5}
grande dodecaedro stellato {5/2, 3}
dodecaedro grande
{3, 5/2}
icosaedro grande
{5, 5/2}

Note e riferimenti

Vedi anche

Link esterno

“ Poliedri in movimento ” ( Archivio • Wikiwix • Archive.is • Google • Cosa fare? ) , Su icosaweb.ac-reunion.fr