Piano affine (struttura dell'incidenza)

In un approccio assiomatico alla geometria, è possibile definire il piano come una struttura di incidenza , cioè il dato di oggetti primitivi, punti e linee (che sono determinati insiemi di questi punti) e una relazione, nota come incidenza, tra punto e retta (che è la relazione di appartenenza del punto alla retta). Un piano affine è quindi una tale struttura che soddisfa gli assiomi di incidenza  :

• due punti distinti A e B incidono su una singola linea retta (indicata con ( AB ));
• ci sono almeno tre punti non incidenti sulla stessa linea (in altre parole: tre punti non allineati);
• per ogni diritto di e qualsiasi punto A non incidente a , v'è un unico diritto di incidente A tale che nessun punto è incidente ai due lati di e di (ovvero il diritto di modo di A e disgiunto di d ).

È anche possibile definire un piano affine come uno spazio affine di dimensione 2 su un corpo . Qualsiasi piano affine su un corpo, come il solito piano affine reale , è un piano affine come struttura di incidenza, nel senso che i suoi punti e le sue linee, e la relazione di appartenenza di un punto a una linea, soddisfano gli assiomi di incidenza . Ma queste due definizioni non coincidono: un assioma aggiuntivo, l' assioma di Desargues , è necessario per questo (vedi piano arguesiano affine ). Si dice che i piani affini, soddisfacendo così gli assiomi dell'incidenza, ma non soddisfacendo l'assioma di Desargues, siano non argomentativi .

Parallelismo

In questo approccio, si dice che due linee sono parallele se sono uguali o disgiunte. L'unicità di una linea incidente in due punti distinti implica che due linee non parallele hanno un solo punto in comune. Abbiamo quindi la seguente dicotomia:

• o due linee sono parallele;
• oppure si intersecano in un unico punto.

Il terzo assioma è riformulato dall'esistenza e dall'unicità di un parallelo a una data linea che passa per un dato punto (anche quando il punto appartiene alla linea, secondo la dicotomia di cui sopra).

Il parallelismo è una relazione di equivalenza  : riflessività e simmetria sono evidenti e la transitività è dimostrata come segue. Siano d , d ' e d' tre rette tali che d sia parallela a d ' e d' sia parallela a d '' . Se d e d '' sono disgiunti, sono paralleli. Se invece hanno un punto comune A , allora sono due parallele ad d passanti per A così che (per unicità di tale parallelo) sono quindi uguali, anche lì parallele.

Chiameremo direzioni le classi di equivalenza di questa relazione. La direzione di una linea è quindi l'insieme di tutte le linee ad essa parallele.

Ordine di un piano affine

In un piano affine, tutte le linee e tutte le direzioni hanno lo stesso numero di elementi e questo numero q (finito o infinito) è almeno 2. Si chiama ordine del piano.

Dimostrazione

Per ogni linea d , qualsiasi direzione D diversa da quella di d è in biiezione con d . Infatti, l'applicazione di qualsiasi diritto di D combina suo comune unico con d ha la biiezione inversa l'applicazione in qualsiasi punto A a D combina il giusto unica di D attraverso A .

Ora ci sono almeno tre direzioni (infatti, secondo il secondo assioma, ci sono tre punti non allineati A , B , C e le rette ( AB ), ( BC ) e ( CA ) definiscono quindi tre direzioni distinte). Pertanto, tutte le linee e tutte le direzioni hanno lo stesso numero di elementi e - secondo i primi due assiomi - questo numero è almeno 2.

Un piano affine ha almeno quattro punti non allineati da tre a tre.

Dimostrazione

In effetti, ci sono (per il secondo assioma) tre punti A , B , C non allineati. Con il terzo assioma, sia del parallelo a ( AB ) passante attraverso C . È distinto da ( AB ), quindi disgiunto da esso. Tuttavia, secondo la struttura di cui sopra, a contenere un punto D distinto da C . Ne consegue che i punti A , B , C e D sono da due a due distinti e da tre a tre non allineati.

Più precisamente, in un piano affine di ordine q , ogni punto appartiene a q + 1 linee, quindi il numero di direzioni è q + 1 e il numero di linee è q ( q + 1) e ci sono q 2 punti. (Se q è infinito, tutti questi numeri sono uguali.)

Dilatazioni

Una dilatazione di un piano affine è un'applicazione, dell'insieme di punti in sé, che invia una qualsiasi linea in una linea parallela, vale a dire tale che:

per tutti i punti distinti A e B , delle immagini A ' e B' , il punto B ' appartiene al parallelo a ( AB ) passante per A' .

Teorema  - 

1. Un'espansione è interamente determinata dalle immagini di due punti distinti, vale a dire che, dati quattro punti A , B , A ' e B' con A ≠ B , c'è al massimo un'espansione che invia A su A ' e B su B ' .
2. L'espansione è o degenerata (cioè costante ) o biiettiva .

Dimostrazione

1. Mostriamo che l'immagine M ' di qualsiasi punto M è interamente determinata dai dati di A' e B ' .
   1. Se M non è su ( AB ), ( AM ) e ( BM ) non sono paralleli. Il punto M ' deve trovarsi sia sul parallelo a ( AM ) passante per A' sia sul parallelo a ( BM ) passante per B ' , il che lo determina poiché queste due rette non sono parallele.
   2. Se M è su ( AB ), scegliere un punto non incidente N in ( AB ). Secondo il punto 1.1., La sua immagine N ' è determinata. Il punto M non è su ( AN ) quindi, sempre secondo 1.1. ma sostituire B e B ' con N e N' - M ' è completamente determinato.
2. Considera un'espansione non costante. Secondo il punto 1., è iniettiva . Dimostriamo che è anche suriettivo . Siano A , B , A ' e B' come sopra - il che implica che A ' e B' sono distinti e che ( A'B ' ) è parallelo a ( AB ) - e M' qualsiasi punto, di cui hai per costruire una storia.
   1. Se M ' non è presente ( A'B' ) allora il parallelo di α ( A'M ' ) passante A e parallela alla β ( B'M' ) passante B si incontrano in un punto M . Questo punto non può appartenere ad ( AB ) perché altrimenti, ( AB ) incontrerebbe α in A e in M e incontrerebbe β in B e in M , quindi sarebbe uguale ad α o a β, il che è impossibile poiché n 'è parallelo né a ( A'M ' ), né a ( B'M' ). Secondo 1.1, l'immagine di M è M ' .
   2. Se M ' è su ( A'B' ), scegli un punto non incidente N ' in ( A'B' ). Secondo 2.1., N ' ammette quindi un antecedente N - sempre secondo 2.1. ma sostituendo B e B ' con N e N' - M ' ammette un antecedente.

Per una dilatazione non degenere, l' immagine di qualsiasi linea è una linea parallela e la mappa indotta, dell'insieme di linee in sé, è biiettiva.

Omotee e traduzioni

Secondo il teorema di unicità di cui sopra, una dilatazione diversa dall'identità ha al massimo un punto fisso . Se ne ha uno, diciamo che è un'omotetia con il centro di questo punto; se non ne ha uno, si chiama traduzione . L'identità è considerata sia come un'omotetia (di centro arbitrario) sia come una traduzione. Nel seguito, si considereranno solo le dilatazioni non degenerate, che chiameremo omotetraduzioni.

La natura della trasformazione h può essere specificata nel caso in cui i quattro punti A , B , h ( A ) e h ( B ) non sono tutti sulla stessa linea. Questa ipotesi implica che h ( A ) ≠ A e h ( B ) ≠ B , e che le linee ( Ah ( A )) e ( Bh ( B )) siano distinte. Sono quindi:

• oppure secante in un punto O , e in questo caso h è un'omotetia con centro O  ;
• oppure strettamente parallela, e in questo caso h è una traduzione.

Il risultato precedente può essere migliorato se conosciamo a priori la natura della traduzione-omotetia:

• una traduzione è interamente determinata dall'immagine B di un punto A  :se M ∉ ( AB ) allora h ( M ) è il punto di intersezione del parallelo a ( AB ) passante per M e del parallelo a ( AM ) passante per B  ; l'immagine di un punto N ∈ ( AB ) è determinata mediante un punto M ∉ ( AB );
• un'omotetia è interamente determinata dal suo centro O e dall'immagine h ( A ) di un punto A ≠ O  :se M ∉ ( OA ) allora h ( M ) è il punto di intersezione della retta ( OM ) e la parallela ad ( AM ) passante per h ( A ); l'immagine di un punto B ∈ ( OA ) è determinata tramite un punto M ∉ ( OA ).

Definiamo la direzione di una traslazione t ≠ id come l'insieme di rette parallele a ( At ( A )), dove A è un punto arbitrario. L'identità è considerata una traduzione di qualsiasi direzione.

Composizione

Le omotetraduzioni formano un gruppo G per la composizione . In effetti, formano un sottogruppo del gruppo di biiezioni dell'insieme di punti in sé, poiché se due di tali biiezioni sono dilatazioni, lo sono anche i loro composti e i loro reciproci . Per ogni punto O , il centro di dilatazioni O formare un sottogruppo di G .

Le traduzioni formano un normale sottogruppo di G , così come le traduzioni con una data direzione.

Dimostrazione

• Le traduzioni formano un sottogruppo:
  • per ogni biiezione t , il reciproco t −1 ha gli stessi punti fissi di t quindi tanti, quindi il reciproco di una traslazione è una traslazione;
  • per tutte le traduzioni t e t 'il composto omotetia-translation t ∘ t' è una traduzione, perché se fissa un punto O allora t ' e t -1 , le definizioni che inviano O allo stesso punto, sono uguali e t ∘ t ' è l'identità.
• Le traduzioni della direzione d formano un sottogruppo:
  • il reciproco di una traduzione è una traduzione della stessa direzione;
  • se t e t ' sono di direzione d allora t ∘ t' anche perché (per arbitrario A ) i due punti A e t ( t ' ( A )) sono sulla linea di direzione d che attraversa t' ( A ).
• Il coniugato t '= h ∘ t ∘ h −1 di una traslazione t da una traslazione omotetia h è una traslazione perché se fissa un punto O allora la traslazione t , fissando h −1 ( O ), è l'identità quindi t '= h ∘id∘ h −1 = id.
• Inoltre, se t ≠ id allora t ' ha la stessa direzione di t  : se h invia A a B allora ( Bt' ( B )) = ( h ( A ) ( h ∘ t ) ( A )) è parallelo a ( At ( A )).

Collegamento con piani proiettivi

Qualsiasi piano proiettivo può essere ottenuto aggiungendo a un piano affine una retta all'infinito , ogni punto della quale è il punto all'infinito che aggiungiamo a tutte le rette affini della stessa direzione. Questo piano proiettivo avrà q 2 + q + 1 punti e altrettante rette proiettive , ciascuna retta contenente q + 1 punti e ogni punto appartenente a q + 1 rette. Viceversa, da un piano proiettivo, si ottengono vari piani affini (dello stesso ordine ma non necessariamente isomorfi) rimuovendo una retta proiettiva arbitraria (ei suoi punti).

Piani affini finiti e domande aperte

Il piano affine più piccolo è di ordine 2: è il piano affine sul campo finito F 2 con 2 elementi. Composto da 4 punti, è un parallelogramma perché i suoi lati sono paralleli a due a due, ma anche le sue due diagonali sono parallele (non c'è punto medio in una geometria sul corpo con 2 elementi). Si ottiene anche rimuovendo dal piano di Fano (il piano proiettivo su F 2 ) una retta (ei suoi tre punti).

Qualsiasi potenza di un numero primo è l'ordine di almeno un piano affine, ma non sappiamo se sia vero il contrario .

Il teorema di Bruck-Ryser-Chowla fornisce vincoli sull'ordine: se q è congruente a 1 o 2 modulo 4 , deve essere la somma di due quadrati  ; questo esclude i numeri 6, 14, 21, 22, 30, 33, 38, 42,  ecc. ma non 10 o 12, per esempio.

L'ordine 10 è stato escluso da massicci calcoli informatici.

Il numero più piccolo di cui non sappiamo se è l'ordine di un piano affine è 12.

Non sappiamo se ogni piano affine di primo ordine sia arguesiano.

Note e riferimenti

(de) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in tedesco intitolato “  Affine Ebene  ” ( vedi elenco degli autori ) .

1. (a) Emil Artin , Algebra geometrica , John Wiley & Sons ,2011( 1 a  ed. 1957 ) ( riga di lettura ) , cap.  II(trad. Algebra geometrica , Calmann-Lévy ).
2. Per distinguerli Jacqueline Lelong-Ferrand ( J. Lelong-Ferrand , Foundations of geometry , PUF ,1985( ISBN  978-2-13-038851-7 ) , p.  161) preferisce parlare di un piano di tipo affine per i piani che soddisfano gli assiomi di incidenza e non necessariamente l'assioma di Desargues, mentre menziona che le opere di geometria assiomatica parlano semplicemente di un piano affine.
3. Artin 2011 , p.  53.
4. Artin 2011 , p.  54.
5. In un piano affine arguesiano , ce n'è esattamente uno.
6. Artin 2011 , p.  55.
7. Artin 2011 , p.  56.
8. Artin 2011 , p.  57.
9. (in) CWH Lam , "  The Search for a Finite Projective Plane of Order 10  " , Amer. Matematica. Mensile , vol.  4,1991, p.  305-318 ( leggi in linea ).

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