In matematica , un quadrato perfetto (un quadrato se non c'è ambiguità) è il quadrato di un intero . I primi 70 piazze (suite A000290 del OEIS ) sono:
0 2 = 0 | 5 2 = 25 | 10 2 = 100 | 15 2 = 225 | 20 2 = 400 | 25 2 = 625 | 30 2 = 900 | 35 2 = 1225 | 40 2 = 1.600 | 45 2 = 2.025 | 50 2 = 2.500 | 55 2 = 3.025 | 60 2 = 3.600 | 65 2 = 4.225 |
1 2 = 1 | 6 2 = 36 | 11 2 = 121 | 16 2 = 256 | 21 2 = 441 | 26 2 = 676 | 31 2 = 961 | 36 2 = 1296 | 41 2 = 1.681 | 46 2 = 2116 | 51 2 = 2 601 | 56 2 = 3136 | 61 2 = 3.721 | 66 2 = 4 356 |
2 2 = 4 | 7 2 = 49 | 12 2 = 144 | 17 2 = 289 | 22 2 = 484 | 27 2 = 729 | 32 2 = 1.024 | 37 2 = 1369 | 42 2 = 1.764 | 47 2 = 2 209 | 52 2 = 2.704 | 57 2 = 3.249 | 62 2 = 3.844 | 67 2 = 4.489 |
3 2 = 9 | 8 2 = 64 | 13 2 = 169 | 18 2 = 324 | 23 2 = 529 | 28 2 = 784 | 33 2 = 1.089 | 38 2 = 1444 | 43 2 = 1.849 | 48 2 = 2.304 | 53 2 = 2 809 | 58 2 = 3.364 | 63 2 = 3 969 | 68 2 = 4.624 |
4 2 = 16 | 9 2 = 81 | 14 2 = 196 | 19 2 = 361 | 24 2 = 576 | 29 2 = 841 | 34 2 = 1.156 | 39 2 = 1.521 | 44 2 = 1936 | 49 2 = 2 401 | 54 2 = 2916 | 59 2 = 3481 | 64 2 = 4096 | 69 2 = 4761 |
Nel nostro solito sistema di numerazione , la cifra delle unità di un quadrato perfetto può essere solo 0, 1, 4, 5, 6 o 9. In base dodici , sarebbe necessariamente 0, 1, 4 o 9.
Diciamo che un intero q è un residuo quadratico modulo un intero m se esiste un intero n tale che:
.È un concetto molto utile; permette in particolare di mostrare che certe equazioni diofantine non ammettono una soluzione. Ad esempio, con k intero, l'equazione non ammette una soluzione in . Infatti, essendo i residui quadratici modulo 4 0 e 1, un quadrato perfetto non può avere un resto uguale a 2 nella divisione euclidea per 4.
Consideriamo un e B diversi da zero interi naturali .
3. Se a è un quadrato perfetto allora esiste un intero m > 0 tale che a = m 2 . Notando la scomposizione di in fattori primi, si deduce :, quindi tutti gli esponenti nella scomposizione di a sono pari. Viceversa, se tutti gli esponenti nella scomposizione di a sono pari, allora a è della forma .
4. Supponi che pgcd ( a , b ) = 1 e che ab = n 2 dove .
Indichiamo con c = pgcd ( a , n ) . Quindi abbiamo:
.Allo stesso modo, b = (pgcd ( b , n )) 2 .
5. Basta notare che .
6. Per la proprietà 3, a è un quadrato perfetto se e solo se gli esponenti j p nella sua scomposizione in fattori primi sono tutti pari, il che è equivalente alla disuguaglianza del prodotto . Ora questo prodotto è il numero di divisori di a .
7. Cfr. “ Residui quadratici modulo 10 ”.
8. Vedi " Somma dei primi n cubi ".
Un numero quadrato è un numero poligonale (quindi un intero strettamente positivo ) che può essere rappresentato geometricamente da un quadrato . Ad esempio, 9 è un numero quadrato poiché può essere rappresentato da un 3 punto 3 × quadrato . I numeri quadrati sono quindi i quadrati perfetti diversi da zero , l' n- esimo è n 2 .
Il prodotto di due numeri quadrati è un numero quadrato.
La rappresentazione del primo numero quadrato è un punto. Quello dell'n- esimo si ottiene confinando con 2 n - 1 punti due lati consecutivi del quadrato precedente :
1 + 3 = 2 2 = 4
4 + 5 = 3 2 = 9
9 + 7 = 4 2
1 + 3 + 5 + 7 = 4 2
L' ennesimo numero quadrato è quindi la somma dei primi n numeri dispari : ,
che fornisce un mezzo pratico per formare una tabella di quadrati: si scrive su una prima riga i successivi interi di cui si vuole formare i quadrati, poi i successivi numeri dispari. Su una terza riga, a partire da 1, aggiungendo ogni volta il numero dispari immediatamente a destra e sopra, costruiamo naturalmente la sequenza dei quadrati perfetti. Questa proprietà viene utilizzata anche per un metodo di estrazione della radice quadrata e, ancor più praticamente, per l'estrazione della radice quadrata con un pallottoliere .
Il n- numero quadrato th è uguale alla somma della n- esimo triangolare numero e quello precedente:
La somma di due numeri quadrati consecutivi è un numero quadrato centrato .
La somma dei primi n numeri quadrati è uguale al numero n- esimo della piramide quadrata :
I matematici erano spesso interessati ad alcune curiosità sui numeri quadrati. La più nota, soprattutto per il suo riferimento al teorema di Pitagora , è l'uguaglianza 3 2 + 4 2 = 5 2 , che dà inizio allo studio delle triple pitagoriche. Secondo il teorema di Fermat-Wiles , dimostrato nel 1995, solo i numeri quadrati possono formare un'identità come quella delle triple pitagoriche. Ad esempio, non v'è alcuna soluzione per un 3 + b 3 = c 3 con un , b e c interi non zero.
Quadrato perfetto su recreomath.qc.ca
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