Funzione numero divisori

Nella teoria dei numeri - branca della matematica - la funzione del numero di divisori è una funzione aritmetica che indica il numero di divisori di un numero naturale n , includendo tra i divisori di n i numeri 1 e n . Si nota generalmente o (dal tedesco Teiler : divisore), o ancora , come un caso particolare di funzione divisore . $d$ $\ tau$ $\ sigma _ {0}$

Definizione

Per ogni numero naturale definiamo: $non$

{\ displaystyle d (n): = \ operatorname {card} \ left (\ {d \ in \ mathbb {N} \ mid 1 \ leq d \ leq n \ {\ text {and}} \ d \ mid n \ } \ giusto)}

I primi valori sono:

$non$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
divisori di $non$	1	1, 2	1, 3	1, 2, 4	1, 5	1, 2, 3, 6	1, 7	1, 2, 4, 8	1, 3, 9	1, 2, 5, 10	1, 11	1, 2, 3, 4, 6, 12
$d (n)$	1	2	2	3	2	4	2	4	3	4	2	6

Proprietà

Abbiamo la seguente identità: ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} d (k) = \ sum _ {m = 1} ^ {n} E \ sinistra ({\ frac {n} {m}} \ destra)}$
Se la scomposizione del prodotto dei fattori primi di è $non$ ${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {e_ {1}} p_ {2} ^ {e_ {2}} \ punti p_ {r} ^ {e_ {r}}}$ , allora : ${\ displaystyle d (n) = (e_ {1} +1) (e_ {2} +1) \ punti (e_ {r} +1)}$ .
Il numero della funzione dei divisori è quindi moltiplicativo , cioè che se e sono coprimi , allora: $m$ $non$ ${\ stile di visualizzazione d (mn) = d (m) d (n)}$ .
Un numero è primo se e solo se . $non$ ${\ stile di visualizzazione d (n) = 2}$
Un numero è un quadrato perfetto se e solo se è dispari. $non$ $d (n)$
La serie di Dirichlet della funzione del numero di divisori è il quadrato della funzione zeta di Riemann : ${\ displaystyle \ zeta (s) ^ {2} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {d (n)} {n ^ {s}}}}$ (per ). ${\ displaystyle \ nomeoperatore {Re} (s)> 1}$

Comportamento asintotico

In media . Più precisamente: ci sono costanti come ${\ displaystyle d (n) \ circa \ log n}$ ${\ displaystyle \ beta \ leq {\ tfrac {1} {2}}}$

{\ displaystyle \ sum _ {n \ leq x} d (n) = x \ log x + (2 \ gamma -1) x + O (x ^ {\ beta})}

(dove è un simbolo di Landau e la costante di Eulero-Mascheroni .) $oh$ $\gamma$

Il valore è già stato dimostrato da Peter Gustav Lejeune Dirichlet , quindi la ricerca di valori migliori è chiamata " problema dei divisori di Dirichlet (in) ". ${\ displaystyle \ beta = {\ tfrac {1} {2}}}$

Valori migliori sono stati riportati da Gueorgui Voronoï (1903, sostituito da ), Johannes van der Corput (1922, ), nonché Martin Huxley (de) ( ). Al contrario, Godfrey Harold Hardy e Edmund Landau hanno dimostrato che è necessariamente maggiore o uguale a 1/4. I possibili valori per sono ancora allo studio. ${\ displaystyle O (x ^ {\ beta})}$ ${\ displaystyle O ({\ sqrt [{3}] {x}} \ log x)}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ tfrac {33} {100}}}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ tfrac {131} {416}}}$ $\beta$ $\beta$

Intero più piccolo con un numero prescritto di divisori

{\ displaystyle n_ {min} (d)}

: più piccoli con divisori.

non

d

$d$	${\ displaystyle n_ {min} (d)}$	Factoring ${\ displaystyle n_ {min} (d)}$
1	1	1
2	2	2
3	4	2 2
4	6	2 3
5	16	2 4
6	12	2 2 3
7	64	2 6
8	24	2 3 3
9	36	2 2 3 2
10	48	2 4 3
11	1.024	2 10
12	60	2 2 3 5
13	4.096	2 12
14	192	2 6 3
15	144	2 4 3 2
16	120	2 3 3 5
17	65.536	2 16
18	180	2 2 3 2 5
19	262.144	2 18
20	240	2 4 3 5
21	576	2 6 3 2
22	3.072	2 10 3
23	4,194,304	2 22
24	360	2 3 3 2 5
25	1.296	2 4 3 4
26	12 288	2 12 3
27	900	2 2 3 2 5 2
28	960	2 6 3 5
29	268 435 456	2 28
30	720	2 4 3 2 5
31	1.073.741.824	2 30
32	840	2 3 3 5 7
33	9.216	2 10 3 2
34	196.608	2 16 3
35	5 184	2 6 3 4
36	1.260	2 2 3 2 5 7

generalizzazioni

La funzione divisore associa ad ogni numero la somma delle potenze -ths dei suoi divisori: $\ sigma _ {k}$ $non$ $K$

{\ displaystyle \ sigma _ {k} (n) = \ sum _ {d \ mid n} d ^ {k}}

La funzione numero di divisori è quindi il caso particolare della funzione divisore per : $k = 0$

{\ displaystyle \ sigma _ {0} (n) = \ sum _ {d \ mid n} d ^ {0} = \ sum _ {d \ mid n} 1 = d (n)}

Note e riferimenti

(de) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in tedesco intitolato “ Teileranzahlfunktion ” ( vedi elenco degli autori ) .

Per altri valori, vedere prosecuzione A000005 della OEIS .
Monier, Jean-Marie. , Analisi. volume 1, 800 esercizi risolti e 18 materie di studio , Parigi, Dunod,1990, 304 pag. ( ISBN 2-04-018859-2 e 9782040188597 , OCLC 22533483 , leggi online ) , pagina 174
(in) GH Hardy e EM Wright , Introduzione alla teoria dei numeri ( 1 ° ed. 1938) [ Edizioni dettaglio ], 4 ° ed., 1975, p. 239 , Th. 273.
Hardy Wright , p. 250, Th. 289.
Hardy Wright , p. 264, Th. 320.
(de) PGL Dirichlet, “Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie”, Abhandl. König. Preus. Akad. saggio. , 1849, pag. 69-83 o Werke , t. II , pag. 49-66.
Olivier Bordellès, " Il problema dei divisori di Dirichlet " Quadrature , n o 71,2009, pag. 21-30 ( leggi online ).
G. Voronoï, “ Su un problema di calcolo delle funzioni asintotiche ”, J. Reine angew. Matematica. , vol. 126,1903, pag. 241-282 ( leggi in linea ).
(da) JG van der Corput, "Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem", Math. Anna. , volo. 87, 1922, pag. 39-65 . "-, Correzioni", vol. 89, 1923, pag. 160.
(in) MN Huxley, " Somme esponenziali e punti reticolari III " , Proc. Londra matematica. Soc. , vol. 87, n . 3,2003, pag. 591-609.
(in) GH Hardy, "Il problema del divisore di We Dirichlet", Proc. Londra. Matematica. Soc. (2) , vol. 15, 1915, pag. 1-25. Vedi Hardy Wright , p. 272.
Le prime due colonne sono tratte dal seguente A005179 di OEIS . Per prime come , e . $p, q$ ${\ displaystyle p \ leq q}$ ${\ displaystyle n_ {min} (p) = 2 ^ {p-1}}$ ${\ displaystyle n_ {min} (pq) = 2 ^ {q-1} 3 ^ {p-1}}$

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