Numero quadrato triangolare
In matematica , un numero triangolare quadrato è un numero triangolare che è inoltre quadrato . Esistono un'infinità di tali numeri.
Sono scritti nella forma
NONK=((1+2)2K-(1-2)2K)232=((3+22)K-(3-22)K)232,K∈NON∗.{\ displaystyle N_ {k} = {\ frac {\ left (\ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2k} - \ left (1 - {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2k} \ right) ^ {2}} {32}} = {\ frac {\ left (\ left (3 + 2 {\ sqrt {2}} \ right) ^ {k} - \ left (3- 2 {\ sqrt {2}} \ right) ^ {k} \ right) ^ {2}} {32}}, \ quad k \ in \ mathbb {N} ^ {*}.}
Dimostrazione
Il problema si riduce alla risoluzione di un'equazione diofantina nel modo seguente.
Ogni numero triangolare ha la forma t ( t + 1) / 2. Cerchiamo quindi gli interi t e s tali che t ( t + 1) / 2 = s 2 , cioè ponendo x = 2 t + 1 ey = 2 s , le soluzioni dell'equazione di Pell- Fermat
X2-2y2=1.{\ displaystyle x ^ {2} -2y ^ {2} = 1.}
Le soluzioni sono date da
XK+yK2=(1+2)2K,{\ displaystyle x_ {k} + y_ {k} {\ sqrt {2}} = (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {2k},}
è
XK=(1+2)2K+(1-2)2K2etyK=(1+2)2K-(1-2)2K22.{\ displaystyle x_ {k} = {\ frac {(1 + {\ sqrt {2}}) ^ {2k} + (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {2k}} {2}} \ quad {\ rm {et}} \ quad y_ {k} = {\ frac {(1 + {\ sqrt {2}}) ^ {2k} - (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {2k}} {2 {\ sqrt {2}}}}.}
Quindi troviamo
tK=(1+2)2K+(1-2)2K-24etSK=(1+2)2K-(1-2)2K42,{\ displaystyle t_ {k} = {\ frac {(1 + {\ sqrt {2}}) ^ {2k} + (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {2k} -2} {4}} \ quad {\ rm {et}} \ quad s_ {k} = {\ frac {(1 + {\ sqrt {2}}) ^ {2k} - (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {2k }} {4 {\ sqrt {2}}}},}
da qui il valore annunciato per N k = s k 2 .
Osservazioni numeriche
K
|
N k
|
s k
|
t k
|
t k / s k
|
---|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
2
|
36
|
6
|
8
|
1.3 ...
|
3
|
1225
|
35
|
49
|
1.4
|
4
|
41 616
|
204
|
288
|
1.411 ...
|
5
|
1.413.721
|
1.189
|
1.681
|
1.413 ...
|
6
|
48.024.900
|
6.930
|
9.800
|
1.4141 ...
|
7
|
1.631.432.881
|
40.391
|
57.121
|
1.41420 ...
|
8
|
55 420 693056
|
235.416
|
332 928
|
1.414211 ...
|
9
|
1 882 672 131 025
|
1.372.105
|
1.940.449
|
1.4142132 ...
|
(vedi seguito A001110 della OEIS per alcuni seguenti valori di N k ).
Quando k tende all'infinito, il rapporto
tKSK=XK-1yK∼XKyK{\ displaystyle {\ frac {t_ {k}} {s_ {k}}} = {\ frac {x_ {k} -1} {y_ {k}}} \ sim {\ frac {x_ {k}} { y_ {k}}}}
tende alla radice quadrata di due e
NONK+1NONK=SK+12SK2→(1+2)4.{\ displaystyle {N_ {k + 1} \ over {N_ {k}}} = {s_ {k + 1} ^ {2} \ over s_ {k} ^ {2}} \ to (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {4}.}
Note e riferimenti
(it) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in
inglese intitolato
" Numero quadrato triangolare " ( vedere l'elenco degli autori )
, ribattezzato " Numero triangolare quadrato " nell'agosto 2005 .
-
(a) Eric W. Weisstein , " triangolare quadratico Number " su MathWorld .
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