Teorema dei tre quadrati

In matematica e più precisamente in aritmetica modulare , il teorema dei tre quadrati si afferma come segue:

Un numero intero naturale è somma di tre quadrati di interi se (e solo se) è non del modulo 4 j × (8 k - 1) con j e k interi.

Storia

N. Beguelin scoprì nel 1774 che ogni intero positivo che non è né della forma 8 n + 7, né della forma 4 n , è una somma di 3 quadrati, senza fornire una prova soddisfacente. Questa affermazione è chiaramente equivalente all'asserzione (1) di cui sopra, di cui Adrien-Marie Legendre , nel 1797 o 1798, fornisce una prova difettosa. Nel 1801, Carl Friedrich Gauss diede la prima dimostrazione corretta e completa di questo teorema, contando anche le soluzioni di scrivere un intero in somma di tre quadrati, che generalizza un altro risultato di Legendre, la cui dimostrazione lasciava a desiderare.

Con il teorema dei quattro quadrati di Lagrange (che è anche un corollario del teorema dei tre quadrati) e il teorema dei due quadrati di Girard , Fermat ed Eulero , il problema di Waring per k = 2 è completamente risolto.

Prove

Il significato "solo se" dell'equivalenza è semplicemente dovuto al fatto che modulo 8, ogni quadrato è congruente a 0, 1 o 4. Al contrario , i tre strumenti principali della dimostrazione, dovuti a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet in 1850 e diventati classici, lo sono

Questo inverso può anche essere dedotto dal teorema di Davenport-Cassels , che permette persino di mostrare che non appena un intero è la somma di tre quadrati di razionali , è la somma di tre quadrati di numeri interi.

Note e riferimenti

  1. "  Dimostrazione del teorema di Bachet e analisi dei numeri in triangolare e quadrato  ", Nouvelles Mémoires de l'Académie de Berlin (1774, pubb. 1776), p.  312-369 .
  2. (in) Leonard Eugene Dickson , History of the Theory of Numbers  (en) [ edizioni dettagliate ], volo. II, p. 15 (Carnegie Institute of Washington 1919; AMS Chelsea Publ., 1992, ristampa).
  3. AL Cauchy , "Dimostrazione del teorema generale di Fermat sui numeri dei poligoni  ", Mém. Sci. Matematica. Phys. dell'Institut de France , (1) 14 (1813-1815), p.  177 e segg., Opere complete , Serie 2, Volume 6, p. 320 e seguenti.  : vedi p.  323 .
  4. A.-M. Legendre, Saggio sulla teoria dei numeri , Parigi, An VI (1797-1798), p.  202 e 398-399 .
  5. Dickson , p.  261, non notare i difetti in questa dimostrazione, ma vedi l' analisi precisa di Carl Friedrich Gauss , Disquisitiones arithmeticae ,1801[ dettaglio delle edizioni ], Aggiunta ai n. 288-293, [ leggere su Wikisource ] e i commenti di (en) André Weil , Teoria dei numeri: un approccio attraverso la storia da Hammurapi a Legendre [ dettaglio delle edizioni ], p. 332 e versioni precedenti su Google Libri o (en) Elena Deza e Michel Marie Deza , Figurate Numbers , World Scientific ,2012( leggi in linea ) , p.  314.
  6. Gauss 1801 , art. 291 e 292, [ leggi su Wikisource ].
  7. A.-M. Legendre, "  Research of indeterminate analysis  ", Hist. e Mem. Acad. Roy. Sci. Parigi , 1785, p.  465-559  : p.  514-515 .
  8. Dickson , p.  261-262.
  9. vedi ad esempio vol. I, parte III, cap. 4 di: (de) E. Landau , Vorlesungen über Zahlentheorie , New York, Chelsea, 1927.
  10. (de) G. Lejeune Dirichlet, "  Über die Zerlegbarkeit der Zahlen in drei Quadrate  " , J. queen angew. Matematica. , vol.  40,1850, p.  228-232 ( leggi in linea ).
  11. G. Lejeune-Dirichlet, "  Sulla possibilità della scomposizione dei numeri in tre quadrati  ", J. math. pure appl. (2) , vol.  4,1859, p.  233-240 ( leggi in linea ).
  12. In un'altra dimostrazione, vedi ad esempio (in) N Ankeny  (in) , "  Sums of Three Squares  " , Proc. Amaro. Matematica. Soc. , vol.  8, n o  21957, p.  316-319 ( leggi in linea ).

Vedi anche

Articoli Correlati

Bibliografia

André Weil , "  Sulla somma di tre e quattro quadrati  ", Educazione matematica , vol.  20,1974, p.  215-222 ( leggi in linea )

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