Modello Black-Scholes

Il modello di Black-Scholes viene utilizzato per designare due concetti molto simili:

il modello di Black-Scholes o modello di Black-Scholes-Merton che è un modello matematico del mercato di un titolo , in cui il prezzo del titolo è un processo stocastico in tempo continuo ; al contrario del “modello di Cox Ross-Rubinstein ” che segue un processo stocastico a tempo discreto (cfr. i processi stocastici sono funzioni casuali del tempo);
l' equazione alle derivate parziali di Black-Scholes è l'equazione soddisfatta dal prezzo di una derivata di una primitiva.

Robert C. Merton è stato il primo a pubblicare un articolo che sviluppa l'aspetto matematico di un modello di prezzo delle opzioni , citando il lavoro di Fischer Black e Myron Scholes . Questi, pubblicati nel 1973 , si basano sugli sviluppi di teorici come Louis Bachelier o Paul Samuelson . Il contributo fondamentale del modello di Black e Scholes è mettere in relazione il prezzo implicito dell'opzione con le variazioni del prezzo dell'asset sottostante.

Robert Merton e Myron Scholes hanno ricevuto nel 1997 il prezzo della Bank of Sweden in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel per il loro lavoro. Fischer Black, morto nel 1995 e quindi non idoneo, è stato citato come collaboratore.

Presupposti e modello

Il modello Black-Scholes si basa su una serie di condizioni:

il prezzo dell'attività sottostante S t segue un moto browniano geometrico con volatilità costante e deriva costante: $\ sigma$ $\ mu$

{\ displaystyle Pr [{\ frac {\ Delta p_ {t} -E (\ Delta p_ {t})} {\ sigma (\ Delta p_ {t})}} <{\ frac {VaR_ {q} -E (\ Delta p_ {t})} {\ sigma (\ Delta p_ {t})}}] = 1-q}

è un processo Wiener ,

{\ displaystyle \ phi ^ {-} 1 (1-q)}

è un processo Wiener ,

{\ displaystyle VaR_ {q} = {E (\ Delta p_ {t})} - \ phi ^ {-} 1 (q) \ sigma (\ Delta p_ {t})}

è un processo Wiener ,

{\ displaystyle VaR_ {q} = - \ phi ^ {-} 1 (q) \ sigma (\ Delta p_ {t})}

è un processo Wiener ,

{\ displaystyle VaR_ {q} = {E (\ Delta p _ {\ textbf {P}})} - \ phi ^ {-} 1 (q) \ sigma (\ Delta p _ {\ textbf {P}}) }

è un processo Wiener ,

{\ displaystyle ES_ {p} = E [X | X> VaR_ {p}]}

è un processo Wiener ,

{\ displaystyle ES_ {p} = {\ frac {1} {p}} \ displaystyle \ int _ {0} ^ {p} VaR (_ {\ theta}) (X) \, \ mathrm {d} \ theta }

è un processo Wiener ;

non ci sono opportunità di arbitrato;
il tempo è una funzione continua ;
è possibile effettuare vendite allo scoperto ;
non ci sono costi di transazione;
esiste un tasso di interesse privo di rischio , noto in anticipo e costante;
tutti i sottostanti sono perfettamente divisibili (ad esempio è possibile acquistare 1/100 ° di una quota);
nel caso di un'azione, non paga dividendi tra il momento in cui l'opzione è valutata e la sua scadenza.

Ciascuna di queste ipotesi è necessaria per la dimostrazione della formula.

Quando tutte queste ipotesi sono soddisfatte, parliamo quindi di un modello Black-Scholes, oppure diciamo che siamo nel caso Black-Scholes. Il modello, dalle sue ipotesi, non corrisponde alla realtà dei mercati finanziari. Ma la generalizzazione dell'uso di questo modello fa riferimento alla nozione di “mimetismo razionale” (o, appunto, in questo caso “irrazionale”) che determina il fenomeno del processo decisionale “autoavverante”. Ad esempio, quando il pastore di un gregge salta in acqua e le sue pecore lo seguono, possiamo anticipare e concludere che il gregge e il pastore saranno bagnati. Il risultato finale è rilevante ma l'ipotesi iniziale lo è meno.

Formula di Black-Scholes

La formula di Black-Scholes consente di calcolare il valore teorico di un'opzione europea dai seguenti cinque dati:

${\ mathcal {}} S_ {0}$ il valore corrente dell'azione sottostante
${\ mathcal {}} T$ il tempo rimanente all'opzione prima che scada (espresso in anni),
${\ mathcal {}} K$ il prezzo di esercizio fissato dall'opzione,
${\ mathcal {}} r$ il tasso di interesse privo di rischio,
${\ mathcal {}} \ sigma$ la volatilità del prezzo delle azioni.

Se i primi quattro dati sono evidenti, la volatilità dell'asset è difficile da valutare. Due analisti potrebbero avere un'opinione diversa sul valore di scegliere. ${\ mathcal {}} \ sigma$ ${\ mathcal {}} \ sigma$

Il prezzo teorico di un'opzione call , che dà il diritto ma non l'obbligo di acquistare l'attività S al valore K alla data T, è caratterizzato dal suo payoff : $({\ mathcal {S}} _ {{T}} - K) ^ {{+}} = \ max (S _ {{T}} - K; 0)$

È dato dall'aspettativa con probabilità di rischio neutro del payoff terminale aggiornato .

${\ displaystyle C = \ mathbb {E} ({\ text {Payoff}} \ times e ^ {- rT}) ~}$ ,

o la formula di Black-Scholes:

${\ displaystyle C (S_ {0}, K, r, T, \ sigma) = S_ {0} {\ mathcal {N}} (d_ {1}) - Ke ^ {- rT} {\ mathcal {N} } (d_ {2})}$

Allo stesso modo, il prezzo teorico di un'opzione put al payoff è dato da: $(K - {\ mathcal {S}} _ {{T}}) ^ {{+}} = \ max (K-S _ {{T}}; 0)$

${\ displaystyle P (S_ {0}, K, r, T, \ sigma) = - S_ {0} {\ mathcal {N}} (- d_ {1}) + Ke ^ {- rT} {\ mathcal { N}} (- d_ {2})}$

con

${\ mathcal {N}}$ la funzione di distribuzione della legge normale ridotta centrata , i.e. ${\ mathcal {N}} \ sinistra (0,1 \ destra)$ ${\ mathcal {N}} (x) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{x}} {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} e ^ {{- {\ frac {1} {2}} u ^ {2}}} da$
$d_ {1} = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {T}}}} \ left [\ ln \ left ({\ frac {S_ {0}} {K}} \ right) + \ left (r + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right) T \ right]$
$d_ {2} = d_ {1} - \ sigma {\ sqrt {T}}$

Possiamo anche applicare la formula al contrario. Dato il prezzo dell'opzione quotato sui mercati, quale valore di deve essere scelto affinché la formula di Black-Scholes dia esattamente quel prezzo? Si ottiene così la volatilità implicita che è di grande interesse pratico e teorico. ${\ mathcal {}} \ sigma$

Dimostrazione

Il calcolo del prezzo di un'opzione di payoff europea si basa sulla formula che qui accettiamo (l'aspettativa è considerata neutrale al rischio di probabilità). $h$ $C = {\ mathbb {E}} [e ^ {{- rT}} h]$

Il prezzo di una Call europea con scadenza T e strike K è scritto:

${\ begin {align} C & = {\ mathbb {E}} [e ^ {{- rT}} (S_ {T} -K) {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K }}] \\ & = e ^ {{- rT}} {\ mathbb {E}} [S_ {T} {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] - Ke ^ {{-rT}} {\ mathbb {E}} [{1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] \\ & = e ^ {{- rT}} {\ mathbb { E}} [S_ {T} {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] - Ke ^ {{- rT}} {\ mathbb {P}} (S_ {T}> K) \ end {allineato}}$

Questi ultimi due termini possono essere calcolati esplicitamente utilizzando l'espressione del prezzo del sottostante. Inizieremo quindi stabilendo questa espressione. È posto sotto probabilità neutrale rischio, il che significa che la deriva è (o r-a 'a' essendo il tasso di dividendo) .Abbiamo: . $r$ ${\ frac {dS_ {t}} {S_ {t}}} = rdt + \ sigma dW_ {t}$

Consideriamo i nuovi processi come ad esempio: . La formula Itô applicata a dà: $(Z_ {t}) _ {{0 \ leq t \ leq T}}$ $Z_ {t} = ln (S_ {t})$ $Z$

${\ begin {align} dZ_ {t} & = {\ frac {\ partial ln} {\ partial x}} (S_ {t}) dS_ {t} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} ln} {\ partial ^ {2} x}} (S_ {t}) d <S, S> _ {t} \\ & = (r - {\ frac {\ sigma ^ { 2}} {2}}) dt + \ sigma dW_ {t} \ end {allineato}}$

Integrando l'ultima riga si arriva , quindi utilizzando il fatto che si ottiene la formula desiderata: $Z_ {t} = Z_ {0} + (r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) t + \ sigma W_ {t}$ $S_ {t} = e ^ {{Z_ {t}}}$

$S_ {t} = S_ {0} e ^ {{(r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) t + \ sigma W_ {t}}}$

Abbiamo qui implicitamente utilizzato il fatto che il processo è strettamente positivo. Possiamo provare questo risultato mostrando che il processo trovato è l'unica soluzione dell'equazione differenziale stocastica . Per questo, possiamo applicare la formula di Itô al processo e mostrare che è costante. $S$ $dS_ {t} = rS_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t}$ $\ left (S_ {t} e ^ {{- (r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) t- \ sigma W_ {t}}} \ right) _ {t}$

Nota che la variabile casuale segue una distribuzione normale . $W_t$ ${\ mathcal {N}} (0, t)$

Abbiamo : ${\ begin {align} {\ mathbb {P}} (S_ {T}> K) & = {\ mathbb {P}} \ left ((r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2} }) T + \ sigma W_ {T}> ln ({\ tfrac {K} {S_ {0}}}) \ right) \\ & = {\ mathbb {P}} \ left ({\ tfrac {1} {{\ sqrt {T}}}} W_ {T}> {\ frac {ln ({\ tfrac {K} {S_ {0}}}) - (r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) T} {\ sigma {\ sqrt {T}}}} \ right) \\ & = {\ mathbb {P}} (G> -d_ {2}) \ end {allineato}}$

Dove e . $G \ sim {\ mathcal {N}} (0,1)$ $d_ {2} = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {T}}}} \ left [ln ({\ tfrac {S_ {0}} {K}}) + (r - {\ frac { \ sigma ^ {2}} {2}}) T \ right]$

Come e hanno la stessa legge quindi: $G$ $-G$

${\ begin {align} {\ mathbb {P}} (S_ {T}> K) & = {\ mathbb {P}} (- G> -d_ {2}) \\ & = {\ mathbb {P} } (G <d_ {2}) \\ & = N (d_ {2}) \ end {allineato}}$

Dov'è la funzione di distribuzione di una gaussiana centrata ridotta. $NON(.)$

Diamo ora uno sguardo al calcolo del primo termine. Seguendo gli stessi passaggi precedenti, si può facilmente vedere che:

${\ mathbb {E}} [S_ {T} {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] = S_ {0} {\ mathbb {E}} \ sinistra [e ^ { {(r - {\ tfrac {\ sigma ^ {2}} {2}}) T + \ sigma {\ sqrt {T}} G}} {1 \! \! 1} _ {{G> -d2} } \ right]$

Pertanto,

${\ begin {align} e ^ {{- rT}} {\ mathbb {E}} [S_ {T} {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] & = S_ { 0} \ int _ {{{\ mathbb {R}}}} {1 \! \! 1} _ {{x> -d_ {2}}} e ^ {{{\ tfrac {-x ^ {2} } {2}} + \ sigma {\ sqrt {T}} x - {\ tfrac {\ sigma ^ {2}} {2}} T}} {\ tfrac {dx} {{\ sqrt {2 \ pi} }}} \\\\ & = S_ {0} \ int _ {{- d_ {2}}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{- {\ tfrac {1} {2}} (x - \ sigma {\ sqrt {T}}) ^ {2}}} {\ tfrac {dx} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} \\ & = S_ {0} \ int _ {{- d_ {2} - \ sigma {\ sqrt {T}}}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{- {\ tfrac {x ^ {2}} {2}}}} {\ tfrac {dx} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} \\ & = S_ {0} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{d_ {1}}} e ^ {{- {\ tfrac {x ^ {2}} {2}}}} {\ tfrac {dx} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} \\ & = S_ {0} N (d_ {1}) \ end {allineato}}$

Infine, unendo gli ultimi due risultati, otteniamo: $C = S_ {0} N (d_ {1}) - Ke ^ {{- rT}} N (d_ {2})$

Recensioni

Il matematico Benoît Mandelbrot attraverso i suoi numerosi lavori sull'argomento mette totalmente in discussione la validità della teoria di Harry Markowitz e dei suoi corollari il CAPM , sviluppato da William F. Sharpe e la formula di Black-Scholes. Ritiene che queste teorie, per quanto belle possano apparire e così semplici nella loro applicazione, sono totalmente fuori dal contatto con la realtà dei mercati finanziari. La critica devastante di Roll (in) pone come tautologica o impossibile osservare il portafoglio di mercato. Le conclusioni del modello sono state più volte rimesse in discussione durante i vari crolli del mercato azionario. Hanno portato a politiche di gestione del rischio che possono essere qualificate come irresponsabili da parte delle istituzioni finanziarie.

Una delle critiche che emergono spesso è il fatto che queste teorie si basano sulla distribuzione normale (legge di Gauss o "curva a campana"), che sottostima notevolmente gli eventi "improbabili" come crisi o arresti allora. Che alla fine sono molto meno raro di quanto previsto da questa legge. Tuttavia, è facile correggere questo problema tenendo conto di una volatilità adattata (vedi smile of volatility ). Un altro problema: le ipotesi su cui si basano queste teorie sono molto irrealistiche (la razionalità degli investitori in particolare ...).

Nonostante tutte queste critiche, il modello Black e Scholes rimane il punto di riferimento tra professionisti e accademici a causa della sua natura (relativamente) semplice e pratica.

Soluzione dell'equazione

Ritorni continui

Rendimenti proporzionali

Lettere greche

Le lettere greche usate dal modello Black-Scholes sono le seguenti:

Per la chiamata e la messa

$\ Delta = {\ frac {\ partial P} {\ partial S}}$
$\ Gamma = {\ frac {\ partial ^ {2} P} {\ partial S ^ {2}}}$
$\ Theta = - {\ frac {\ partial P} {\ partial T}}$
$\ rho = {\ frac {\ partial P} {\ partial R}}$
${\ mathcal {V}} = {\ frac {\ partial P} {\ partial V}}$

Formule di derivazione

Importanza storica ed economica

È stato pubblicato nel 1973 ed era un'estensione del lavoro di Paul Samuelson e Robert Merton . Il matematico francese Louis Bachelier ha inaugurato lo studio della materia nel 1900 . L'intuizione di base di Black e Scholes è stata quella di mettere in relazione il prezzo implicito dell'opzione con le variazioni del prezzo dell'asset sottostante. La loro scoperta ha avuto molto rapidamente un'influenza considerevole e le variazioni del loro modello sono utilizzate in tutti i segmenti dei mercati finanziari. Già nel 1977 , Oldrich Vasicek è stata ispirata da essa a fondare la moderna teoria dei tassi di interesse .

Il modello di Black e Scholes in pratica

La tesi fondamentale del modello Black and Scholes era che il prezzo dell'opzione call è implicitamente indicato se il sottostante è negoziato sui mercati.

L'utilizzo del modello e della formula di Black-Scholes è molto diffuso nei mercati finanziari, a tal punto che alcune quotazioni sono date in volatilità piuttosto che in prezzo assoluto. Infatti, gli altri parametri del modello (termine alla scadenza, prezzo di esercizio, tasso di interesse privo di rischio e prezzo del sottostante) sono facilmente osservabili sui mercati.

Tuttavia, il modello di Black and Scholes non riproduce accuratamente il mondo reale. L'esperienza mostra che in realtà la volatilità dipende dal prezzo di esercizio e dalla scadenza.

In pratica, la superficie di volatilità (la volatilità implicita in funzione del prezzo di esercizio e della scadenza) non è piatta. Spesso, per una data scadenza, la volatilità implicita rispetto al prezzo di esercizio ha una forma di sorriso (chiamato sorriso di volatilità ): in denaro, la volatilità implicita è tanto più bassa quanto più lontana dal denaro, maggiore è. Notiamo anche che il sorriso spesso non è simmetrico sul mercato azionario: più alto sul lato put che sul lato call . Questo perché i partecipanti al mercato sono più sensibili al rischio di ribasso rispetto al rischio di rialzo nel titolo.

Per un dato prezzo di esercizio, la differenza tra la volatilità implicita osservata e quella al prezzo è chiamata skew .

Anche la superficie di volatilità di un sottostante cambia nel tempo. Gli operatori di mercato lo rivalutano costantemente, modificando la loro anticipazione della probabilità, per ogni prezzo di esercizio e scadenza, che un'opzione finisca nella valuta.

Estensioni del modello

La formula di cui sopra non è esente da critiche: non consente di supportare tassi e volatilità non costanti o di prezzare opzioni europee pagando dividendi .

Quindi, prima del crollo del 1987, potevamo osservare che le opzioni sui titoli S & P500 avevano una volatilità implicita costante ma dopo questo crollo, la volatilità implicita mostra un "sorriso".

Tuttavia, il modello può essere facilmente modificato per supportare tassi e volatilità non costanti.

Pertanto, molte pubblicazioni scientifiche su riviste di matematica finanziaria sottoposte a revisione paritaria criticano questa formula e suggeriscono di estenderla, correggerla, spiegare le differenze o proporre soluzioni alternative.

Può anche essere esteso per le opzioni europee che pagano dividendi. Per le opzioni su indici (come FTSE 100 o CAC 40 ) in cui ciascuna delle società che entrano nel calcolo può pagare un dividendo una o due volte all'anno, è ragionevole presumere che i dividendi vengano pagati senza interruzioni.

Si segnala quindi il pagamento dei dividendi in un periodo di tempo : $\ sinistra [t, t + \ delta t \ destra]$

q \, S_ {t} \, dt

per una costante. In questa formulazione il prezzo di arbitraggio libero secondo il modello Black-Scholes può essere mostrato come: $q$

C (S, T) = e ^ {{- qT}} S_ {0} N (d_ {1}) - e ^ {{- rT}} KN (d_ {2}) \,

P (S, T) = e ^ {{- rT}} KN (-d_ {2}) - e ^ {{- qT}} S_ {0} N (-d_ {1}) \,

o adesso:

F = e ^ {{(rq) T}} S_ {0} \,

è il prezzo modificato in anticipo che si verifica in termini e . Questa formula è generalmente nota come Black-Scholes-Merton . $d_1$ $d_2$

La stessa formula viene utilizzata per prezzare le opzioni sui tassi di valuta estera, tranne per il fatto che ora assume il ruolo di tasso di interesse estero privo di rischio e di tasso di cambio immediato. Questo è il modello di Garman-Kohlhagen (1983). $q$ $S$

È anche possibile estendere il quadro di Black-Scholes alle opzioni su strumenti che pagano dividendi discreti. Ciò è utile quando l'opzione è basata su azioni semplici.

Un modello tipico dovrebbe presumere che una parte del prezzo delle azioni (prezzo) venga pagata come dividendo in date predeterminate. $\delta$ $T_ {1}, T_ {2} ...$

Il prezzo delle azioni è quindi modellato da: $S_ {t} = S_ {0} (1- \ delta) ^ {{n (t)}} e ^ {{\ sigma W_ {t} + \ mu t}}$

dov'è il numero di dividendi pagati in tempo . $n (t)$ $t$

Il prezzo di un'opzione call su tali azioni è ancora:

C (S_ {0}, K, r, T, q, \ sigma) = e ^ {{- rT}} (FN (d_ {1}) - KN (d_ {2})) \,

P (S_ {0}, K, r, T, q, \ sigma) = e ^ {{- rT}} (KN (-d_ {2}) - FN (-d_ {1})) \,

o adesso:

F = S_ {0} (1- \ delta) ^ {{n (T)}} e ^ {{rT}} \,

è il prezzo iniziale delle azioni che pagano dividendi.

È più difficile valutare le opzioni americane. Un esempio di modello è quello di Whaley che fornisce una formula analitica esplicita; il modello di Cox Ross e Rubinstein simula gli eventi sul prezzo del sottostante (salti, dividendi, ecc.) utilizzando un albero binomiale dove ad ogni nodo è associata una probabilità.

Infine, va ricordato che gli sviluppi in termini di estensione del modello sono andati nelle seguenti quattro direzioni:

modello di volatilità locale. La volatilità diventa una funzione deterministica del sottostante e del tempo. È il caso del cosiddetto modello Dupire;
modello di volatilità stocastica. La volatilità diventa una funzione stocastica con diffusione. Questo è il caso del cosiddetto modello Heston o Pitterbarg;
modello di salto;
modello che combina gli approcci sopra menzionati (ad esempio modello con volatilità locale e salto, modello con volatilità locale e stocastica, ecc.).

Vedi anche

Bibliografia

Benoît Mandelbrot . Fractals, Chance and Finance , Flammarion , 1959, 1997.
Benoît Mandelbrot . A Fractal Approach to Markets , Benoît Mandelbrot & Richard Hudson, Edizioni Odile Jacob , 2005.
Nicole El Karoui , Copertura dei rischi nei mercati finanziari (file.pdf)

Note e riferimenti

(in) " Benvenuto in un mondo diverso da Black-Scholes " ( Archivio • Wikiwix • Archive.is • Google • Cosa fare? ) [PDF] .

Modello Black-Scholes

Presupposti e modello

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Recensioni

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Ritorni continui

Rendimenti proporzionali

Lettere greche

Per la chiamata e la messa

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Importanza storica ed economica

Il modello di Black e Scholes in pratica

Estensioni del modello

Vedi anche

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Bibliografia

Note e riferimenti