Matrici di Pauli
Le matrici di Pauli , sviluppato da Wolfgang Pauli , forma, fino al fattore i , una base della Lie del gruppo SU (2) .
Sono definiti come l'insieme di matrici complesse di dimensioni 2 × 2 seguenti:
σ1=σX=(0110){\ displaystyle \ sigma _ {1} = \ sigma _ {x} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}
σ2=σy=(0-ioio0){\ displaystyle \ sigma _ {2} = \ sigma _ {y} = {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}}}
σ3=σz=(100-1){\ displaystyle \ sigma _ {3} = \ sigma _ {z} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}
(dove i è l' unità immaginaria dei numeri complessi).
Queste matrici sono utilizzate nella meccanica quantistica per rappresentare lo spin delle particelle , in particolare dal 1927 nello studio non relativistico dello spin dell'elettrone: l' equazione di Pauli .
Proprietà
Identità
- σ12=σ22=σ32=(1001)=io2{\ displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2} = \ sigma _ {2} ^ {2} = \ sigma _ {3} ^ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = I_ {2}}
![{\ displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2} = \ sigma _ {2} ^ {2} = \ sigma _ {3} ^ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = I_ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deeb07e89c75b8b4535c36cb201bef08be1b867b)
- σ1σ2=ioσ3{\ displaystyle \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} = i \ sigma _ {3} \, \!}
![{\ displaystyle \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} = i \ sigma _ {3} \, \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f14a48c2491aa6784a709e23541bfd11f2e3fa7)
- σ3σ1=ioσ2{\ displaystyle \ sigma _ {3} \ sigma _ {1} = i \ sigma _ {2} \, \!}
![{\ displaystyle \ sigma _ {3} \ sigma _ {1} = i \ sigma _ {2} \, \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a9de5c8ab1b7dfdb8d6225eb27c9fc254d5e0c)
- σ2σ3=ioσ1{\ displaystyle \ sigma _ {2} \ sigma _ {3} = i \ sigma _ {1} \, \!}
![{\ displaystyle \ sigma _ {2} \ sigma _ {3} = i \ sigma _ {1} \, \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb2091f6c488d21063eb945309b3c784a64e925)
- σioσj=-σjσio per io≠j{\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = - \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} {\ mbox {for}} i \ neq j \, \!}
![{\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = - \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} {\ mbox {for}} i \ neq j \, \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a070e8c0a02956d3378011b3a04d542e05be03f)
Queste identità implicano la formula (a→⋅σ→)(b→⋅σ→)=a→⋅b→io2+ioa→×b→⋅σ→{\ displaystyle ({\ vec {a}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}) ({\ vec {b}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}) = {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} \, I_ {2} + i \, {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}}
Autovalori e autovettori
Il determinante e la traccia delle matrici di Pauli sono:
det(σio)=-1Tr(σio)=0per io∈{1;2;3}{\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ det (\ sigma _ {i}) & = & - 1 & \\ [1ex] \ operatorname {Tr} (\ sigma _ {i}) & = & 0 & \ end {matrice}} \ quad {\ hbox {per}} \ i \ in \ {1; 2; 3 \}}![{\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ det (\ sigma _ {i}) & = & - 1 & \\ [1ex] \ operatorname {Tr} (\ sigma _ {i}) & = & 0 & \ end {matrice}} \ quad {\ hbox {per}} \ i \ in \ {1; 2; 3 \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae363b1b4da40faf339f42f5c93a4ee23093e77)
Pertanto, gli autovalori di ciascuna matrice sono ± 1.
Ciascuna delle tre matrici ha due autovettori:
- Per : eσ1{\ displaystyle \ sigma _ {1}}
(11){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}}}
(1-1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ - 1 \ end {pmatrix}}}
- Per : eσ2{\ displaystyle \ sigma _ {2}}
(1io){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ i \ end {pmatrix}}}
(1-io){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ - i \ end {pmatrix}}}
- Per : eσ3{\ displaystyle \ sigma _ {3}}
(10){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}
(01){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}
Altre proprietà
Le matrici di Pauli obbediscono alle seguenti relazioni di commutazione e anticommutazione :
[σio,σj]=2ioϵiojKσK{σio,σj}=2δioj⋅io{\ displaystyle {\ begin {matrix} [\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j}] & = & 2i \, \ epsilon _ {ijk} \, \ sigma _ {k} \\ [1ex] \ {\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j} \} & = & 2 \ delta _ {ij} \ cdot I \ end {matrice}}}![{\ displaystyle {\ begin {matrix} [\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j}] & = & 2i \, \ epsilon _ {ijk} \, \ sigma _ {k} \\ [1ex] \ {\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j} \} & = & 2 \ delta _ {ij} \ cdot I \ end {matrice}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373615c65651dbf9e1535b39b46839dc9c9a74cb)
dove è il simbolo di Levi-Civita , è il simbolo di Kronecker ed è la matrice dell'identità . Le relazioni di cui sopra possono essere verificate utilizzando:
ϵiojK{\ displaystyle \ epsilon _ {ijk}}
δioj{\ displaystyle \ delta _ {ij}}
io{\ displaystyle I}![io](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f)
σioσj=ioϵiojKσK+δioj⋅io{\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = i \ epsilon _ {ijk} \ sigma _ {k} + \ delta _ {ij} \ cdot I}![{\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = i \ epsilon _ {ijk} \ sigma _ {k} + \ delta _ {ij} \ cdot I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351f859748ca4047b3d9800581d4b60ba3ac367a)
.
Queste relazioni di commutatività sono simili a quelle sull'algebra di Lie e, infatti, possono essere interpretate come l'algebra di Lie di tutte le combinazioni lineari dei tempi immaginari delle matrici di Pauli , cioè come le anti matrici.- Hermitiani 2 × 2 con traccia di 0 In questo senso, le matrici di Pauli generano . Pertanto, può essere visto come i generatori infinitesimali del corrispondente gruppo di Lie SU (2) .
Su(2){\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}
Su(2){\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}
io{\ displaystyle i}
ioσj{\ displaystyle i \ sigma _ {j}}
Su(2){\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}
ioσj{\ displaystyle i \ sigma _ {j}}![{\ displaystyle i \ sigma _ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b58d81b893a4b7c78fcf19f9093c4a88bcf00ebe)
L'algebra di è isomorfa all'algebra di Lie , che corrisponde al gruppo di Lie SO (3) , il gruppo delle rotazioni tridimensionali. In altre parole, si tratta di realizzazioni di rotazioni "infinitesimali" in uno spazio tridimensionale (si tratta infatti di realizzazioni di dimensione inferiore).
Su(2){\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}
So(3){\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}
ioσj{\ displaystyle i \ sigma _ {j}}![{\ displaystyle i \ sigma _ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b58d81b893a4b7c78fcf19f9093c4a88bcf00ebe)
Per un vettore di rotazione tridimensionale e il vettore composto da matrici di Pauli, abbiamo la seguente relazione:
ω→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}
σ→=(σ1,σ2,σ3){\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} = (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3})}![{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} = (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee0afa4e0df870104dfa10e48846db373e9675e9)
e-ioσ→⋅ω→/2=io⋅cos(ω/2)-ioω^⋅σ→peccato(ω/2){\ displaystyle e ^ {- i {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {\ omega}} / 2} = I \ cdot \ cos (\ omega / 2) -i {\ hat {\ omega} } \ cdot {\ vec {\ sigma}} \ sin (\ omega / 2)}
dove è l'angolo di rotazione (la norma di ) e .
ω{\ displaystyle \ omega}
ω→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}
ω^=ω→/ω{\ displaystyle {\ hat {\ omega}} = {\ vec {\ omega}} / \ omega}![{\ displaystyle {\ hat {\ omega}} = {\ vec {\ omega}} / \ omega}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8f4c1eb1ba592be5b1fe453594532a60e3b0d4e)
Altre formulazioni
Matrici σ+ e σ-{\ displaystyle \ sigma ^ {+} {\ text {e}} \ sigma ^ {-}}
Nella meccanica quantistica, le matrici di Pauli possono essere sostituite da matrici , definite da
σ+ e σ-{\ displaystyle \ sigma ^ {+} {\ text {e}} \ sigma ^ {-}}![{\ displaystyle \ sigma ^ {+} {\ text {e}} \ sigma ^ {-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11e36254f571da2889bb2565c41f0d46dba39c9)
σ+=12(σX+ioσy)=(0100){\ displaystyle \ sigma ^ {+} = {\ frac {1} {2}} (\ sigma ^ {x} + i \ sigma ^ {y}) = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}
e .
σ-=12(σX-ioσy)=(0010){\ displaystyle \ sigma ^ {-} = {\ frac {1} {2}} (\ sigma ^ {x} -i \ sigma ^ {y}) = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}![{\ displaystyle \ sigma ^ {-} = {\ frac {1} {2}} (\ sigma ^ {x} -i \ sigma ^ {y}) = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a942db695024204374798137759bc868abf5803)
Il loro interruttore è .
[σ+,σ-]=σz{\ displaystyle [\ sigma ^ {+}, \ sigma ^ {-}] = \ sigma ^ {z}}![{\ displaystyle [\ sigma ^ {+}, \ sigma ^ {-}] = \ sigma ^ {z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca54c6e091a57163ffd210e6cf413841b214ba86)
Scegliendo i vettori come base , le matrici agiscono come e .
VS2{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}
|↑⟩=(10),|↓⟩=(01){\ displaystyle | \ uparrow \ rangle = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}, | \ downarrow \ rangle = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}
σ+ e σ-{\ displaystyle \ sigma ^ {+} {\ text {e}} \ sigma ^ {-}}
σ+|↑⟩=0,σ+|↓⟩=|↑⟩{\ displaystyle \ sigma ^ {+} | \ uparrow \ rangle = 0, \ sigma ^ {+} | \ downarrow \ rangle = | \ uparrow \ rangle}
σ-|↓⟩=0,σ-|↑⟩=|↓⟩{\ displaystyle \ sigma ^ {-} | \ downarrow \ rangle = 0, \ sigma ^ {-} | \ uparrow \ rangle = | \ downarrow \ rangle}![{\ displaystyle \ sigma ^ {-} | \ downarrow \ rangle = 0, \ sigma ^ {-} | \ uparrow \ rangle = | \ downarrow \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/014b7b1971f4e28bb0ba0b14913df222ffb1d176)
Quaternioni
I quaternioni verificano proprietà vicine a quelle delle matrici di Pauli. È infatti possibile identificare la reale unità dei quaternioni con la matrice identità e le tre unità , e con le matrici di Pauli (salvo un fattore moltiplicativo ).
io{\ displaystyle i}
j{\ displaystyle j}
K{\ displaystyle k}
±io{\ displaystyle \ pm i}![\ pm i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b7df63745bc6839de7b7df413c192f5816ff2e)
Fisico
Nella meccanica quantistica gli iσ j rappresentano i generatori di rotazioni su particelle non relativistiche di spin ½. Lo stato di queste particelle è rappresentato da spinori a due componenti, che è la rappresentazione fondamentale di SU (2). Una proprietà interessante delle particelle di ½ spin è che devono subire una rotazione di 4π radianti per tornare alla loro configurazione originale. Ciò è dovuto al fatto che SU (2) e SO (3) non sono globalmente isomorfe, nonostante il fatto che il loro generatore infinitesimale, su (2) e così (3), siano isomorfi. SU (2) è infatti un “rivestimento di grado due” di SO (3): ad ogni elemento di SO (3) corrispondono due elementi di SU (2).
Nella meccanica quantistica con diverse particelle, è utile anche il gruppo Pauli (en) G n . È definito come tutti i prodotti tensoriali n-dimensionali delle matrici di Pauli.
Con la matrice identità I, a volte indicata con σ 0 , le matrici di Pauli formano una base dello spazio vettoriale reale delle matrici hermitiane complesse 2 × 2. Questo spazio vettoriale è equivalente all'insieme dei quaternioni . Quando viene utilizzato come base per l'operatore di rotazione di ½ spin, è uguale a quello per la corrispondente rappresentazione di rotazione del quaternione.
Articoli Correlati
Riferimento
-
(en) Richard L. Liboff (en) , Introductory Quantum Mechanics , Addison-Wesley , 2002 ( ISBN 0805387145 )
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