Magma (algebra)

In matematica , un magma è una delle strutture algebriche utilizzate in algebra generale . Un magma è per definizione un insieme dotato di una legge di composizione interna .

Definizioni

Se denotiamo un insieme e una legge di composizione interna in , la coppia indicata è un magma. Con questa definizione, il tutto non è identico al magma, ma sono comunemente identificati. M{\ displaystyle M}⋆{\ displaystyle \ star}M{\ displaystyle M}(M,⋆){\ displaystyle (M, \ star)}M{\ displaystyle M}

Nessun assioma è imposto a questa legge della composizione interna, spesso indicata come moltiplicazione .

Diciamo che il magma è: (M,⋆){\ displaystyle (M, \ star)}

• unifica se ha un elemento neutro , vale a dire  ;e{\ displaystyle e}∀X∈M, e⋆X=X⋆e=X{\ displaystyle \ forall x \ in M, \ e \ star x = x \ star e = x}
• un mezzo gruppo (o associativo) se è associativo  ;⋆{\ displaystyle \ star}
• un monoide se soddisfa entrambe le proprietà (associatività ed esistenza di un elemento neutro ).

Se e sono magmi, un morfismo del magma , o omomorfismo del magma , di in è per definizione una mappatura f da M a N tale che, per tutti gli elementi x , y di M, abbiamo (M,⋅){\ displaystyle (M, \ cdot)}(NON,⋆){\ displaystyle (N, \ star)}(M,⋅){\ displaystyle (M, \ cdot)}(NON,⋆){\ displaystyle (N, \ star)}

f(X⋅y)=f(X)⋆f(y).{\ Displaystyle \ qquad f (x \ cdot y) = f (x) \ star f (y).}

Se, inoltre, f è una biiezione , il reciproco di f è un morfismo dei magmi da in e diciamo che f è un isomorfismo dei magmi. Il reciproco di un isomorfismo del magma è un isomorfismo del magma. (NON,⋆){\ displaystyle (N, \ star)}(M,⋅){\ displaystyle (M, \ cdot)}

Se il contesto è abbastanza chiaro, diciamo semplicemente "morfismo" piuttosto che "morfismo del magma", ma ci sono casi in cui questo potrebbe portare a confusione. Ad esempio, un morfismo di magmi tra monoidi non è necessariamente un morfismo di monoidi .

Esempi di magmi

• Il magma vuoto è l'unico magma sul set vuoto .
• (NON,+){\ displaystyle (\ mathbb {N}, +)}è un monoide commutativo . Inoltre, tutto è regolare .
• (NON,×){\ displaystyle (\ mathbb {N}, \ times)}è anche un monoide commutativo, ma 0 non è regolare.
• (Z,-){\ displaystyle (\ mathbb {Z}, -)}è un magma non associativo e non commutativo . Non è nemmeno unificante ma solo unificante a destra perché, se ammette un elemento neutro (unico, che non è automatico) a destra (0), non ne ammette nessuno a sinistra. D'altra parte, questo magma è permutativo e regolare.
• Chiamiamo magma opposto al magma magma dove per tutti .M=(E,⋆){\ displaystyle M = (E, \ star)}Mop=(E,⊞){\ displaystyle M ^ {op} = (E, \ boxplus)}X⊞y=y⋆X{\ Displaystyle x \ boxplus y = y \ star x}(X,y)∈E2{\ displaystyle (x, y) \ in E ^ {2}}
• Quoziente di magma

• Murskiǐ ha mostrato nel 1965 che il magma a tre elementi fornito con la legge interna di seguito non ha un'assiomatizzazione equazionale finita (o base equazionale).{0,1,2}{\ displaystyle \ {0,1,2 \}} ⋆{\ displaystyle \ star}

Magma {0,1,2} fornito con ⋆{\ displaystyle \ star}

⋆{\ displaystyle \ star}	0	1	2
0	0	0	0
1	0	0	1
2	0	2	2

Magmi liberi

Definiamo per induzione sull'intero una sequenza di insiemi come segue: non⩾1{\ displaystyle n \ geqslant 1}Mnon(X){\ displaystyle M_ {n} (X)}

Ci mettiamo in posa ; for è la somma degli insiemi per . M1(X)=X{\ displaystyle M_ {1} (X) = X}non⩾2{\ displaystyle n \ geqslant 2} Mnon(X){\ displaystyle M_ {n} (X)}Mp(X)×Mnon-p(X){\ displaystyle M_ {p} (X) \ times M_ {np} (X)}1⩽p⩽non-1{\ Displaystyle 1 \ leqslant p \ leqslant n-1}

Viene indicata la somma dell'insieme della famiglia  ; ciascuno dei set è identificato dalla sua immagine canonica in . (Mnon(X))non⩾1{\ displaystyle (M_ {n} (X)) _ {n \ geqslant 1}}M(X){\ displaystyle M (X)}Mnon(X){\ displaystyle M_ {n} (X)}M(X){\ displaystyle M (X)}

Per ogni elemento di , esiste un numero intero univoco tale che ; lo chiamiamo la lunghezza di e lo scriviamo . ω{\ displaystyle \ omega}M(X){\ displaystyle M (X)}non{\ displaystyle n}ω∈Mnon(X){\ displaystyle \ omega \ in M_ {n} (X)}ω{\ displaystyle \ omega}l(ω){\ displaystyle l (\ omega)}

Il set è composto dagli elementi di lunghezza 1 pollice . X{\ displaystyle X}M(X){\ displaystyle M (X)}

Lasciate ed in ; impostiamo e . L'immagine mediante l'iniezione canonica di nell'insieme di somma è chiamata il composto di e ed è annotata o . Abbiamo quindi e ogni elemento di lunghezza è scritto in un modo unico nella forma con e in . ω{\ displaystyle \ omega}ω′{\ displaystyle \ omega '}M(X){\ displaystyle M (X)}p=l(ω){\ displaystyle p = l (\ omega)}q=l(ω′){\ displaystyle q = l (\ omega ')}(ω,ω′){\ displaystyle (\ omega, \ omega ')}Mp(X)×Mq(X){\ displaystyle M_ {p} (X) \ times M_ {q} (X)}Mp+q(X){\ displaystyle M_ {p + q} (X)}ω{\ displaystyle \ omega}ω′{\ displaystyle \ omega '}ωω′{\ displaystyle \ omega \ omega '}ω∙ω′{\ displaystyle \ omega \ bullet \ omega '}l(ω∙ω′)=l(ω)+l(ω′){\ displaystyle l (\ omega \ bullet \ omega ') = l (\ omega) + l (\ omega')}M(X){\ displaystyle M (X)}⩾2{\ displaystyle \ geqslant 2}ω′ω″{\ displaystyle \ omega '\ omega' '}ω′{\ displaystyle \ omega '}ω″{\ displaystyle \ omega ''}M(X){\ displaystyle M (X)}

Chiamiamo magma libero costruito su X l'insieme fornito con la legge di composizione . M(X){\ displaystyle M (X)} ∙{\ displaystyle \ bullet}

Magmi usuali

Un gruppo è un monoide di cui tutti gli elementi sono invertibili.

La struttura ad anello coinvolge due leggi interne di composizione sullo stesso insieme, e quindi due magmi, ma un anello non è un magma in senso stretto. Lo stesso vale per altre strutture algebriche ancora più complesse, come quella del modulo su un anello .

Storico

Il termine magma è stato introdotto per la prima volta nel contesto dell'algebra generale da Nicolas Bourbaki .

Il vecchio nome "gruppoide del minerale", introdotto da Bernard Hausmann e Øystein Ore nel 1937 e talvolta utilizzato fino agli anni '60, è oggi da evitare, l'uso del termine gruppoide è oggi riservato alla teoria delle categorie , dove significa qualcosa altro.

Note e riferimenti

1. N. Bourbaki , Algebra I , capitoli da 1 a 3, p. I.12 §2 1, Elemento neutro, Definizione 2.
2. N. Bourbaki, AI, p. I.2-3.
3. (in) VL Murskiǐ, "L'esistenza nella logica a tre valori di una classe chiusa con base finita, non avendo un sistema completo di identità finito", Soviet Math. Dokl. , volo. 6, 1965, pag.  1020-1021 .
4. Bourbaki, A I.77, §7, Magmi liberi.
5. Bourbaki, A I.15, §2 3, Elementi reversibili, Definizione 6.
6. (in) BA Hausmann e Øystein Ore, "  Theory of Quasi-Groups  " , Amer. J. Math. , vol.  59, n o  4,1937, p.  983-1004 ( JSTOR  2371362 ).
7. Dov Tamari , “  Problemi di associatività dei monoidi e problemi di parole per gruppi  ”, Dubreil Seminar , vol.  16, n o  1, 1962-63 ( leggi in linea )Esposto n °  7, p.  1-29 .
8. (in) "  groupoid  " nel dizionario online di cristallografia .
9. (in) Massimo Nespolo, "  La cristallografia matematica ha ancora un ruolo nel XXI secolo?  » , Acta Crystallographica, sezione A , vol.  64,2008, p.  97 ( DOI  10.1107 / S0108767307044625 ).
10. (a) L. Beklemishev , Mr. Pentus e N. Vereshchagin , provability, Complexity, Grammars , al.  "  AMS Translations - Serie 2" ( n o  192)1999, 172  p.(Traduzione inglese di tre tesi di dottorato in russo, la prima delle quali: [ (ru)  letta online ] , 1992).

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