Categoria gruppoide

In matematica , e più particolarmente nella teoria delle categorie e nella topologia algebrica , la nozione di gruppoide generalizza allo stesso tempo le nozioni di gruppo , di relazione di equivalenza su un insieme e dell'azione di un gruppo su un insieme. È stato originariamente sviluppato da Heinrich Brandt (in) nel 1927.

I groupoidi sono spesso usati per rappresentare determinate informazioni su oggetti topologici o geometrici come le varietà .

Definizioni

Definizione nel senso di categorie

Un gruppoide è una piccola categoria in cui qualsiasi morfismo è un isomorfismo .

Definizione algebrica

Un gruppoide G è un insieme dotato di due operazioni: una legge di composizione parzialmente definita e una mappa (ovunque definita) , che soddisfano le seguenti tre condizioni sugli elementi f, g e h di G: $*$ $. ^ {{- 1}}$

ogni volta che e sono definiti simultaneamente, allora e sono anche definiti e sono uguali, li denotiamo o . Viceversa, se o sono definiti, è lo stesso per e ; $f * g$ $g * h$ $(f * g) * h$ $f * (g * h)$ $fgh$ $f * g * h$ $(f * g) * h$ $f * (g * h)$ $f * g$ $g * h$
$f ^ {{- 1}} * f$ e sono sempre definiti (ma possibilmente diversi); $f * f ^ {{- 1}}$
ogni volta che è definito, quindi , e . (Queste espressioni sono ben definite secondo gli assiomi precedenti). $f * g$ $f * g * g ^ {{- 1}} = f$ $f ^ {{- 1}} * f * g = g$

Quindi mostriamo che:

se allora . È sufficiente comporre a destra di ; $x * f = u * f$ $x = u$ $f ^ {- 1}$
se allora . Basta comporre a sinistra di ; $f * y = f * v$ $y = v$ $f ^ {- 1}$
$(f ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} = f$ . Infatti ,; $(f ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} = (f ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}} * (f ^ {{ -1}}) ^ {{- 1}} = (f ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}} * f * f ^ {{- 1}} * (f ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} = (f ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}} * f = f$
se è definito, lo stesso vale per , e . In effetti, quindi , ciò che è sufficiente per garantire l'esistenza di . A proposito, e basta semplificare a sinistra , e . $f * g$ $g ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}}$ $g ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}} = (f * g) ^ {{- 1}}$ $f = f * g * g ^ {{- 1}}$ $f * f ^ {{- 1}} = f * g * g ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}}$ $g ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}}$ $f ^ {{- 1}} * f * g * (f * g) ^ {{- 1}} = f ^ {{- 1}} = f ^ {{- 1}} * f * f ^ {{ -1}} = f ^ {{- 1}} * f * g * g ^ {{- 1}} * f ^ {{- 1}}$ $f ^ {- 1}$ $f$ $g$

Collegamento tra i due concetti

Con un gruppoide nel senso di categorie, possiamo associare il gruppoide nel senso algebrico dei morfismi (iso) di questa categoria.

Al contrario, se G è un gruppoide nel senso algebrico, possiamo associarlo a un gruppoide nel senso delle categorie come segue. Gli oggetti della categoria associata sono il quando varia (notiamo che questi elementi controllano :) . L'insieme dei morfismi x → y, annotato , è l'insieme di h tale che è definito (questo insieme può essere vuoto). $x = f ^ {{- 1}} * f$ $f$ $x ^ {{- 1}} = x = x ^ {n}$ $G (f ^ {{- 1}} * f, g ^ {{- 1}} * g) = G (x, y)$ $y * h * x$

Esempi

I gruppi sono groupoidi (con un singolo oggetto e per un insieme di frecce (morfismi) ). $X$ $G (x, x) = G$
Il gruppoide di Poincaré è un gruppoide.
Qualsiasi unione disgiunta di gruppi è un gruppoide, di cui l'insieme di oggetti è l'insieme di indici. $\ bigsqcup _ {{i \ in I}} G_ {i}$ $io$
Da un'azione di gruppo possiamo definire un gruppoide impostando G (x, y) = l'insieme di elementi del gruppo che inviano x a y.

Proprietà

I ( piccoli ) groupoidi stessi formano una categoria, i morfismi sono i funtori tra i groupoidi. Il gruppoide iniziale è il gruppoide vuoto e il gruppoide finale è il gruppo banale .

Sia G un gruppoide, definiamo la relazione di equivalenza se G (x, y) è non vuoto. Definisce un gruppoide quoziente notato . definisce un funtore ( componenti connesse ) dalla categoria dei groupoidi alla categoria degli insiemi. $x \ equiv {} \, y$ $\ pi _ {0} (G)$ $\ pi_0$

Sia G un gruppoide e un oggetto di G (diciamo anche un punto di G). La legge di composizione tra le frecce limitata a questo sottogruppoide è una legge di gruppo. Notiamo questo gruppo. $X$ $G (x, x)$ $\ pi _ {1} (G, x)$

Note e riferimenti

(De) H. Brandt , " Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes " , Mathematische Annalen , vol. 96,1927, p. 360-366 ( leggi in linea ).

(it) Ronald Brown , Topology and Groupoids , BookSurge ,2006, 3 e ed. , 512 p. ( ISBN 978-1-4196-2722-4 )