K -topologia

In matematica , K -topology o Smirnov topologia della sequenza soppressa , è una particolare topologia sul ℝ set di numeri reali , più fine rispetto alla usuale topologia e per cui l'insieme K delle inversi di non-zero interi naturali è chiuso ( mentre per la topologia usuale, 0 , che non appartiene a K , è un punto di accumulo di K ). Altre notevoli proprietà di questo spazio lo rendono un utile controesempio nella topologia generale .

Definizione

Sia K = {1 / n | n ∈ ℕ *}. La famiglia di tutti gli intervalli reali aperti ] a , b [e di tutti gli insiemi della forma ] a , b [\ K forma una base topologica . La topologia generata da questa famiglia si chiama K -topologie su ℝ e questo spazio topologico è notato qui ℝ K .

Proprietà

• Questa topologia è più fine della solita topologia su ℝ (quindi è separata e anche da Urysohn simile) ma non è paragonabile alla topologia della linea Sorgenfrey .
• Ha una base numerabile (quindi separabile , con basi numerabili di quartieri e Lindelöf ).
• Lo spazio ℝ K è connesso , ma non connesso da archi perché ha due componenti collegate da archi: ] −∞, 0] e ] 0, + ∞ [ .
• Non è quindi collegato localmente da archi .
• Inoltre, non è nemmeno connesso localmente a 0 (ma è in qualsiasi altro punto).
• La parte K è infinita e senza punto di accumulo quindi ℝ K non è compatta numerabile (quindi neanche sequenzialmente compatta , poiché ha base numerabile).
• Allo stesso modo, nessun sottospazio contenente K (come il segmento [0, 1]) è numerabilmente compatto.
• Lo spazio quoziente ℝ K / K non è separato.
• ℝ K non è regolare (la K chiusa e il punto 0 non sono separati  (in) da due aperture disgiunte ) ma è uno spazio G δ .
• Non è paracompatto (poiché non è normale ) ma solo metacompatto  (en) .

Note e riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato "  K-topology  " ( vedere l'elenco degli autori ) .

1. (EN) James Munkres , topologia , Prentice Hall ,2000, 2 °  ed. ( 1 a  ed. 1975), 537  p. ( ISBN  978-0-13-181629-9 , leggi online ) , p.  82 : "  La topologia generata da ℬ" sarà chiamato Scaduto il K-topologia è ℝ. Quando ℝ viene dato questa topologia, denotiamo facendo ℝ K .  "
2. (a) Lynn Arthur Steen e J. Arthur Seebach, Jr. , Controesempi in topologia , Dover ,1995( 1 a  ed. Springer , 1978), 244  p. ( ISBN  978-0-486-68735-3 , leggi online ), Controesempio 64: "  Topologia della sequenza eliminata di Smirnov  "
3. In effetti è l'unico.