Disuguaglianza aritmetico-geometrica
In matematica , la disuguaglianza aritmetica-geometrica (AGI) stabilisce un collegamento tra la media aritmetica e la media geometrica . Questo è un risultato classico legato alla convessità .
stati
La media geometrica dei reali strettamente positivi è inferiore alla loro media aritmetica:
non{\ displaystyle n}X1,...,Xnon{\ displaystyle x_ {1}, \, \ dots, \, x_ {n}}
X1...Xnonnon⩽X1+⋯+Xnonnon{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ dots x_ {n}}} \ leqslant {\ frac {x_ {1} + \ dots + x_ {n}} {n}}},
con uguaglianza (se e) solo se .
X1=X2=⋯=Xnon{\ displaystyle x_ {1} = x_ {2} = \ dots = x_ {n}}
Dimostrazione
Essendo strettamente positivi i due reali (media aritmetica) e (media geometrica), la disuguaglianza da dimostrare è equivalente (per crescita rigorosa del logaritmo naturale ) a
X1+⋯+Xnonnon{\ displaystyle {\ frac {x_ {1} + \ dots + x_ {n}} {n}}}X1...Xnonnon=(X1...Xnon)1/non{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ dots x_ {n}}} = (x_ {1} \ dots x_ {n}) ^ {1 / n}}
ln((X1...Xnon)1/non)⩽ln(X1+⋯+Xnonnon),{\ displaystyle \ ln \ left ((x_ {1} \ dots x_ {n}) ^ {1 / n} \ right) \ leqslant \ ln \ left ({\ frac {x_ {1} + \ dots + x_ { n}} {n}} \ right),}o ancora (secondo l' equazione funzionale del logaritmo ) a
ln(X1)+⋯+ln(Xnon)non⩽ln(X1+⋯+Xnonnon).{\ displaystyle {\ frac {\ ln (x_ {1}) + \ cdots + \ ln (x_ {n})} {n}} \ leqslant \ ln \ left ({\ frac {x_ {1} + \ cdots + x_ {n}} {n}} \ right).}Quest'ultima disuguaglianza non è altro che la disuguaglianza di Jensen per isobarycenters , applicata alla funzione logaritmo , che è concava .
Il caso dell'uguaglianza nasce dal fatto che questa concavità è rigorosa .
La disuguaglianza aritmetico-geometrica può anche essere dimostrata come corollario della disuguaglianza di Muirhead , applicata alle sequenze (1,0, ecc. 0) e (1 / n, ecc., 1 / n).
Generalizzazione
Ponderazione
La disuguaglianza aritmetica-geometrica generalizza alle medie aritmetiche e geometriche ponderate :
Se e poi, notando :
X1,...,Xnon⩾0{\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ geqslant 0}α1,...,αnon>0{\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}> 0}α=α1+...+αnon{\ Displaystyle \ alpha = \ alpha _ {1} + \ ldots + \ alpha _ {n}}
X1α1...Xnonαnonα⩽α1X1+...+αnonXnonα,{\ displaystyle {\ sqrt [{\ alpha}] {x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ ldots x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}} \ leqslant {\ frac {\ alpha _ {1} x_ {1} + \ ldots + \ alpha _ {n} x_ {n}} {\ alpha}},}
con uguaglianza se e solo se tutti sono uguali.
XK{\ displaystyle x_ {k}}
Infatti, assumendo senza perdita di generalità che nessuno è zero e rilevando (strettamente positivo e di somma ), la disuguaglianza è equivalente ( vedi sopra ) a
XK{\ displaystyle x_ {k}}tK: =αK/α{\ displaystyle t_ {k}: = \ alpha _ {k} / \ alpha}1{\ displaystyle 1}
t1ln(X1)+⋯+tnonln(Xnon)⩽ln(t1X1+⋯+tnonXnon){\ displaystyle t_ {1} \ ln (x_ {1}) + \ dots + t_ {n} \ ln (x_ {n}) \ leqslant \ ln (t_ {1} x_ {1} + \ dots + t_ { n} x_ {n})},
che non è altro che la disuguaglianza generale di Jensen per la funzione logaritmica (concava), e il caso di uguaglianza nasce dalla concavità stretta.
Disuguaglianza di Maclaurin
Possiamo anche generalizzare la disuguaglianza aritmetico-geometrica osservando che la media aritmetica corrisponde alla prima funzione simmetrica elementare e la media geometrica all'ultima. La disuguaglianza aritmetico-geometrica viene riscritta:
σnon(nonnon)non⩽σ1(non1)1{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {\ frac {\ sigma _ {n}} {\ displaystyle {\ binom {n} {n}}}}} \ leqslant {\ sqrt [{1}] {\ frac {\ sigma _ {1}} {\ displaystyle {\ binom {n} {1}}}}}}E possiamo generalizzare:
σnon(nonnon)non⩽σnon-1(nonnon-1)non-1⩽⋯⩽σ1(non1)1{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {\ frac {\ sigma _ {n}} {\ displaystyle {\ binom {n} {n}}}}} \ leqslant {\ sqrt [{n-1}] {\ frac {\ sigma _ {n-1}} {\ displaystyle {\ binom {n} {n-1}}}}} \ leqslant \ dots \ leqslant {\ sqrt [{1}] {\ frac {\ sigma _ {1}} {\ displaystyle {\ binom {n} {1}}}}}}è
X1...Xnonnon⩽X1...Xnon-1+⋯+X2...Xnonnonnon-1⩽⋯⩽X1X2+⋯+Xnon-1Xnon(non2)⩽X1+⋯+Xnonnon{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ dots x_ {n}}} \ leqslant {\ sqrt [{n-1}] {\ frac {x_ {1} \ dots x_ {n- 1} + \ dots + x_ {2} \ dots x_ {n}} {n}}} \ leqslant \ dots \ leqslant {\ sqrt {\ frac {x_ {1} x_ {2} + \ dots + x_ {n -1} x_ {n}} {\ displaystyle {\ binom {n} {2}}}}} \ leqslant {\ frac {x_ {1} + \ dots + x_ {n}} {n}}}Queste sono le disuguaglianze di Maclaurin .
Vedi anche
Articoli Correlati
Bibliografia
-
Augustin Cauchy , Opere complete , Gauthier-Villard,1867( leggi in linea ) , p. 376leggi online su Gallica
- Martin Aigner e Günter M. Ziegler , Divine Reasonings , Springer ,2008, 2 ° ed. ( leggi in linea ) , p. 127-129
- (it) Peter S. Bullen, Manuale dei mezzi e delle loro disuguaglianze , Kluwer Academic Publishers ,2003( leggi in linea ) , p. 71-153
- (en) GH Hardy , JE Littlewood e G. Pólya , Inequality , CUP ,1952, 2 ° ed. ( leggi in linea ) , p. 16-21
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