Media geometrica
In matematica , la media geometrica è un tipo di media .
Definizione elementare
La media geometrica dei due numeri positivi a e b è il numero positivo c tale che:
avs=vsb{\ displaystyle {\ frac {a} {c}} = {\ frac {c} {b}}}.
Interpretazione geometrica
Geometricamente, questo numero c è il lato di un quadrato di area è la stessa di quella del rettangolo di lati un e b , poiché in questo caso:
vs2=ab.{\ displaystyle c ^ {2} = ab.}Possiamo calcolare direttamente la media geometrica di due numeri prendendo la radice quadrata dell'espressione precedente:
vs=ab=(ab)1/2.{\ displaystyle c = {\ sqrt {ab}} = (ab) ^ {1/2}.}
Generalizzazione
Custodia discreta
In quest'ultima forma, vediamo che il logaritmo (in qualsiasi base) trasforma l'espressione in una media aritmetica: (a condizione che uno e b non sono zero, il logaritmo non essendo definito 0).
logvs=loga+logb2{\ displaystyle \ log c = {\ frac {\ log a + \ log b} {2}}}
Da qui la generalizzazione: la media geometrica di una serie statistica quantitativa positiva diversa da zero è definita in modo tale che il suo logaritmo sia la media aritmetica dei logaritmi dei valori della serie.
La sua formulazione può essere fatta come segue:
logX¯=logX1+logX2+...+logXnonnon=1non∑io=1nonlogXio.{\ displaystyle \ log {\ bar {x}} = {\ frac {\ log x_ {1} + \ log x_ {2} + \ ldots + \ log x_ {n}} {n}} = {1 \ over n} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ log x_ {i}.}Possiamo dedurre:
X¯=X1×X2×...×Xnonnon=∏io=1nonXionon.{\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ times x_ {2} \ times \ ldots \ times x_ {n}}} = {\ sqrt [{n} ] {\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}}}}.}Per una serie statistica il cui numero totale di occorrenze è infinito o sconosciuto, ma il cui numero di possibili valori positivi diversi da zero è finito e le rispettive frequenze nella serie sono note, la formulazione matematica diventa:
logX¯=f1logX1+f2logX2+...+fnonlogXnonf1+f2+...+fnon=∑io=1nonfiologXio∑io=1nonfio,avevs∑io=1nonfio=1.{\ displaystyle \ log {\ bar {x}} = {\ frac {f_ {1} \ log x_ {1} + f_ {2} \ log x_ {2} + \ ldots + f_ {n} \ log x_ { n}} {f_ {1} + f_ {2} + \ ldots + f_ {n}}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {f_ {i} \ log x_ {i }}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {f_ {i}}}}, \ quad \ mathrm {con} \ quad \ sum _ {i = 1} ^ {n} {f_ {i }} = 1.}Si deduce (utilizzando ad esempio il logaritmo naturale ):
X¯=exp(f1lnX1+f2lnX2+...+fnonlnXnonf1+f2+...+fnon)=exp(∑io=1nonfiolnXio∑io=1nonfio),{\ displaystyle {\ bar {x}} = \ exp \ sinistra ({\ frac {f_ {1} \ ln x_ {1} + f_ {2} \ ln x_ {2} + \ ldots + f_ {n} \ ln x_ {n}} {f_ {1} + f_ {2} + \ ldots + f_ {n}}} \ right) = \ exp \ left ({\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n } f_ {i} \ ln x_ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {f_ {i}}}} \ right),}da dove :
X¯=X1f1×X2f2×...×Xnonfnon=∏io=1nonXiofio.{\ displaystyle {\ bar {x}} = {x_ {1}} ^ {f_ {1}} \ times {x_ {2}} ^ {f_ {2}} \ times \ ldots \ times {x_ {n} } ^ {f_ {n}} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} {{x_ {i}} ^ {f_ {i}}}.}Caso continuo
La media geometrica di una distribuzione f di una variabile continua con valore in un intervallo scalare finito [ x 0 , x 1 ] è la generalizzazione al limite della precedente formula statistica discreta:
logf¯X0X1=∫X0X1logXf(X) dX,{\ displaystyle \ log {{\ bar {f}} _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}}} = \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} {\ log xf ( x) ~ \ mathrm {d} x},}da dove :
f¯X0X1=exp(∫X0X1lnXf(X) dX)avevs∫X0X1f(X) dX=1.{\ displaystyle {\ bar {f}} _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} = \ exp \ left (\ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} \ ln xf ( x) ~ \ mathrm {d} x \ right) \ quad \ mathrm {con} \ quad \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} f (x) ~ \ mathrm {d} x = 1 .}La sua dimensione non è una frequenza, ma è quella della sua variabile continua.
Se la distribuzione f è definita su tutti i valori reali della sua variabile continua, la media geometrica della distribuzione è:
f¯=exp(∫-∞+∞lnXf(X) dX)avevs∫-∞+∞f(X) dX=1.{\ displaystyle {\ bar {f}} = \ exp \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ ln xf (x) ~ \ mathrm {d} x \ right) \ quad \ mathrm {con} \ quad \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x = 1.}
Interesse
Per gli statistici, la media geometrica ( antilogaritmo della media dei logaritmi di ciascuna osservazione) è meno sensibile della media aritmetica ai valori più alti di una serie di dati. Fornisce quindi un'altra e migliore stima della tendenza centrale dei dati nel caso di una distribuzione a coda lunga all'estremità superiore della curva (tipo di distribuzione frequente in misure sanitarie o ambientali, ad es. Di sostanze tossiche nel corpo, nel sangue o nell'ambiente , dove determinati individui o gruppi vulnerabili o esposti a casi particolari sono più colpiti).
Vedi anche
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