Libro V degli Elementi di Euclide

Il quinto libro degli Elementi di Euclide si basa sull'opera di Eudosso di Cnido . È notevole per la sua astrazione e la potenza degli strumenti che sviluppa. Permette di trattare rapporti di quantità irrazionali , riducendosi a confronti di rapporti di quantità razionali . Nel Libro VI, ad esempio, consentirà il confronto delle aree delle figure, anche se queste figure non hanno lati razionalmente confrontabili. Per certi versi evoca la definizione di numeri reali che Dedekind darà 2000 anni dopo, per mezzo di rotture razionali.

Comprende:

20 definizioni
25 proposte

Le definizioni

Il libro V permette di confrontare tra loro due grandezze della stessa natura (due lunghezze, due aree piane, ...). In ogni caso non è consentito fare il rapporto tra due taglie di diversa natura (una lunghezza divisa per un'area). La Def. 3 definisce qual è la ragione di due di tali quantità: una ragione è un certo modo di essere di due quantità omogenee tra loro, secondo la quantità. Nella forma algebrica moderna, tenderemmo a vedere una ragione come il numero reale uguale al quoziente delle due quantità, ma questa è una visione totalmente anacronistica qui. Al tempo di Euclide, la ragione non era concepita come un numero, ma come una certa relazione che permetteva di confrontare due quantità. Dove diremmo , un tipico esempio di formulazione in Euclide consiste nel dire: il quadrato di a sta al quadrato di b ciò che 5 sta a 1. Da qui la definizione 4: una proporzione è un'identità di ragioni. Si trova Tali formulazioni, fino XVII ° o XVIII ° secolo. Così scrive Pascal , nel suo Trattato sulla gravità dell'aria : " Ho supposto che il diametro sia alla circonferenza, come 7 a 22 ". ${\ displaystyle a = {\ sqrt {5}} b}$

Per definire la ragione tra due grandezze, esse devono potersi superare a vicenda, in altre parole, supponiamo che ad esse valga l' assioma di Archimede (def. 5).

Le ragioni vengono quindi confrontate tra loro come segue (def. 6): si dice che le quantità hanno la stessa ragione, la prima alla seconda, e la terza alla quarta, quando qualunque equimultiplo della prima e della terza, e qualunque altri equimultipli del secondo e del quarto sono tali che i primi equimultipli superino ciascuno i secondi equimultipli, o siano contemporaneamente uguali ad essi, o contemporaneamente minori. Quindi, lascia che la ragione a / b si confronti con la ragione c / d . n e m essendo interi arbitrari, diremo che le due ragioni sono le stesse se na> mb è equivalente a nc> md . Diremmo oggi che a / b = c / d se e solo se, per ogni razionale m / n , a / b > m / n è equivalente a c / d > m / n . Ma Euclide realizza un analogo tipo di comparazione, senza appellarsi a nozioni numeriche, che all'epoca non esistevano.

Allo stesso modo, Euclide dice (def. 8) che la ragione a / b è maggiore della ragione c / d se ci sono due interi n ed m tali che na> mb , mentre nc <md . Diremmo a / b > m / n > c / d , ma ancora una volta, questa visione moderna è anacronistica.

Le ultime definizioni riguardano manipolazioni sui motivi (ragione alternativa (def. 14), ragione inversa (def. 15), ecc.)

Proposte

Sebbene il ragionamento di Euclide sia puramente geometrico, faremo ricorso a notazioni algebriche che consentono di abbreviare le formulazioni degli enunciati. Le lettere a , b , c ... designeranno le dimensioni, le lettere n , m interi. Ricorda che questa notazione algebrica è solo un accomodamento che adottiamo e che non è usato da Euclide. Le proposte affrontano i seguenti problemi:

distributività del prodotto rispetto alla somma. La Prop . 1 afferma essenzialmente che . Può essere interpretata come una regola di distributività del prodotto rispetto alla somma, da confrontare con la stessa regola del prop 1 del Libro II degli Elementi di Euclide , ma le regole sono di natura diversa, anche se algebricamente simili . Nel libro II, il prodotto è espresso sotto forma di un'area di rettangoli, in altre parole, ci occupiamo solo delle lunghezze, mentre qui si tratta di multipli interi di qualsiasi grandezza (lunghezze, aree, volumi . .. .). La Prop. 2 tratta il caso di una somma di interi moltiplicata per quantità. Le Prop. 5 e 6 riportano risultati comparabili per quanto riguarda la differenza. La Prop. 3 afferma essenzialmente che m ( na ) = ( mn ) a . ${\ displaystyle ka_ {1} + ka_ {2} + ... + ka_ {n} = k (a_ {1} + ... + a_ {n})}$

Proprietà dell'uguaglianza delle ragioni. Vengono dimostrate alcune regole relative al confronto delle ragioni: se a / b è la stessa ragione di c / d , allora per tutti gli interi n e m , na / mb ha la stessa ragione di nc / md (prop. 4 e 15). a / b ha la stessa ragione di c / b se e solo se a = c , e similmente a / b = a / c se e solo se b = c (Prop. 7, 9). Se a è maggiore di b , allora a / c è maggiore di b / c (prop. 8 e 10) e viceversa, ciò che potremmo chiamare, compatibilità della disuguaglianza delle ragioni con la disuguaglianza delle grandezze. Le Prop. 11, 13, 14, 20, 21, 22, 23 enunciano diverse proprietà di transitività relative all'uguaglianza o disuguaglianza delle ragioni. La Prop.12 afferma che se , ..., sono ragioni uguali, allora perché è uguale a ragione , essendo varianti date dalla prop.24. ${\ stile di visualizzazione a_ {1} / b_ {1}}$ ${\ stile di visualizzazione a_ {2} / b_ {2}}$ ${\ displaystyle a_ {n} / b_ {n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a_ {1} + \ cdots + a_ {n}} {b_ {1} + \ cdots + b_ {n}}}}$

Manipolazione sul terreno. Se a / b = c / d , allora a / c = b / d (prop. 16). Se a / b = c / d , allora ( a - b ) / b = ( c - d ) / d (prop. 17) e lo stesso con una somma (prop. 18 e 19). Se a / b = c / d , con a la più grande delle quantità e d la più piccola, allora a + d è maggiore di b + c (prop. 25).

Bibliografia

Le opere di Euclide, traduzione di F. Peyrard , Parigi (1819), nuova stampa di Jean Itard, Éditions Albert Blanchard (1993)
Euclide ( trad. Bernard Vitrac), Gli elementi [ dettaglio delle edizioni ]

Link esterno

Documento online sul sito Gallica della BNF

I quindici libri degli elementi geometrici della traduzione di Euclide di D. Henrion, 1632

Riferimenti

Morris Kline, Il pensiero matematico dall'antichità ai tempi moderni , 1980 (sesta edizione), p. 68